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2025-2026学年高二数学下学期期末模拟试卷（2）
（范围：人教A版选择性必修1-3）（解析附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B．0 C． D．
4．在等差数列中，前项和为，若，则（ ）
A．18 B．33
C．36 D．40
5．某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
6．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为米，则圆锥的SO的体积为（ ）
A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米
7．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ）
A．20 B．22 C．28 D．36
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设函数，则（ ）
A．是周期函数 B．的图象有对称轴
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
10．已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A．
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．l上存在点E，使得为等边三角形
11．已知向量，，已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．的最大值为2 D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，求函数的值域为______．
13．若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______．
14．龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式__________.
四、解答题
15．（13分）记数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，其中与曲线交于A、B两点，与曲线交于C、D两点，求的最大值.
17．（15分）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18．（17分）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设，求证：.
19．（17分）已知数列的前项和为，，数列满足：，且，分别为数列第二项和第三项.
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和；
(3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，直接写出数列的通项公式（不用说明理由）.
2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟试卷(2)（解析版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由复数的运算化简已知等式，再由共轭复数和复数的关系求出共轭复数的模长即可.
【详解】由已知可得，
所以，
所以，
故选：A.
2．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果.
【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,;
因此；
所以.
故选：C
3．已知，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义域代入解析式求解即可.
【详解】根据题意，.
故选：D.
4．在等差数列中，前项和为，若，则（ ）
A．18 B．33
C．36 D．40
【答案】B
【分析】设等差数列的首项为，公差为，由，列出方程，进而求得的值，得到答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，可得，
所以，解得.
故选：B.
5．某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【分析】可以考虑用间接法先不考虑限制求出共有种方法，进一步由分类原理即可求解.
【详解】不考虑限制条件则共有种方法，
若甲分到编号子任务，有两种情况：
甲分到一个子任务（即只有编号子任务），此时共有种方法；
甲分到两个子任务（即包含编号子任务），此时共有种方法；
则所求的分配方法共有种.
故选：C.
6．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为米，则圆锥的SO的体积为（ ）
A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米
【答案】C
【分析】设圆锥底面半径为r，如图，根据余弦定理得到，计算，，再计算体积得到答案.
【详解】设圆锥底面半径为r，如图，扇形是圆锥的侧面展开图，
中，，，，所以，
所以，所以，，
，
所以圆锥的体积为（立方米），
故选：C
7．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ）
A．20 B．22 C．28 D．36
【答案】C
【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长.
【详解】由题意知，，
所以 ，
又，
所以，
所以的周长为．
故选：C．
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解.
【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.
从而有，
整理得，
，
，
，，
由于皆为正整数，所以
（i）当时，，
当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设函数，则（ ）
A．是周期函数 B．的图象有对称轴
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【分析】A选项，，得到A正确；B选项， ，故B正确；C选项，先求出，计算出，故C错误；D选项，，D正确.
【详解】由题意得，故，
定义域为，关于原点对称；
A选项，，
是函数的一个周期，故A正确；
B选项，，
关于，故B正确；
C选项，，；，
显然，故在区间上不单调递增，故C错误；
D选项，
，
的图象关于点中心对称，D正确．
故选：ABD．
10．已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A．
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．l上存在点E，使得为等边三角形
【答案】BC
【分析】由题意可得直线经过抛物线焦点，设，联立直线与抛物线，可得的值，从而求解焦点弦，即可判断A；根据抛物线的定义过作，垂足为，从而可得的关系，即可判断B；结合抛物线的定义以及直线与圆的位置关系，即可判断C；根据抛物线的定义结合正三角形的几何性质，即可判断D.
.
【详解】易知，准线的方程为，则直线经过焦点.
设，
由整理得，则，
根据抛物线的定义可知，，故A错误；
如图，过作，垂足为，
则，又，
所以，所以，故B正确；
以为直径的圆的半径为，
易知四边形为直角梯形，其中位线长为，
所以为直径的圆与相切，故C正确；
当为等边三角形时，，
由抛物线的定义可知，所以，这与为等边三角形矛盾，
所以上不存在点，使得为等边三角形，故D错误.
故选：BC.
11．已知向量，，已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据向量的模的坐标公式求，判断A；根据向量平行的坐标表示列方程求，判断B，
根据数量积的坐标运算结合正弦函数性质求最大值，判断C，根据数量积的运算性质判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，若，则，
，，所以；B正确；
对于C，，
，所以当时最大值为2，C正确；
对于D，，，
， ，
当，取得最小值1，D错误
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，求函数的值域为______．
【答案】
【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得.
【详解】令，由，则，
则
，
由，则，
又当时，，
当时，，
有，
故，故函数的值域为.
故答案为：.
13．若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______．
【答案】2
【详解】由题意得：，则在点处的切线斜率，
又因为在点处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，
所以，解得：.
14．龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式__________.
【答案】
【分析】若，则得可能取值为，分别求解概率，再求解数学期望即可；根据题意求解游戏结束时进行到第关的概率为，由可得，于是根据递推关系式可得数列的通项公式.
【详解】若，则得可能取值为，
又，所以；
设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第关的概率为；
那么有，
由可得；
即，对两边同时取倒数，可得，即，又，
故是首项为1，公比为2的等比数列，
从而.
故答案为：；.
四、解答题
15．（13分）记数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用的关系求的通项公式；
（2）由题设写出的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，得，整理得，
所以从开始成公比为3的等比数列，则.
综上，；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
则，
两式相减，得，
所以也满足该式，
故.
16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，其中与曲线交于A、B两点，与曲线交于C、D两点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用两点距离公式与点到直线的距离公式，结合已知即可求得动点的轨迹方程；
（2）设直线的方程为，与动点的轨迹方程联立，可得根与系数的关系，由，分别求出，，从而可得 ，由，结合基本不等式可求得的最大值．
【详解】（1）动点到定点的距离为，
动点到定直线的距离为，
所以，平方后得，整理得，
故曲线的方程为；
（2）①不妨设直线的斜率不存在，直线的斜率为，
则，
所以；
②设直线的方程为，设,，,，,，,，
联立方程，消去可得：，
所以，，
则，
同理，用代换，可得，
则，
所以 ，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的最大值为．
综上，的最大值为．
17．（15分）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到 ，证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，假设存在M，使得平面，设，求出平面的法向量，得到方程组，方程组无解，假设不成立，不存在点M.
【详解】（1）∵，E为BD的中点，
∴⊥，
又平面⊥平面，且平面平面，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴ ，
而平面，平面，
∴平面；
（2）由（1）知，⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，又⊥，
故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，

设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
假设在线段AD上存在，使得平面，
设，则，
∴．则．
平面的法向量，
由，即，即，无解，不存在．
∴线段AD上不存点M，使得平面．
18．（17分）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）在上单调递增等价于在上恒成立，再分离参数，结合不等式求最值即可；
（2）令，利用小问（1）可得到：，再根据此式放缩，累加即得答案.
【详解】（1），
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
所以恒成立，令，只需，
，
当且仅当，即时等号成立，所以.
由，得，即的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
所以当时，，即.
令，，所以，
即，所以，.
当依次取1，2，…，n时，，，…，.
上面式子叠加即得.
19．（17分）已知数列的前项和为，，数列满足：，且，分别为数列第二项和第三项.
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和；
(3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，直接写出数列的通项公式（不用说明理由）.
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）利用与的关系求出，，再由知是等比数列，即可求解；
（2）由题意可得，对裂项，即可求解；
（3）通过对分类讨论，确定的取值，再利用不等式性质求解的取值个数即可.
【详解】（1），
当时，，
当时，，满足上式，
所以，
数列满足：，即数列为等比数列，
，，则，
所以；
（2）由（1）可得，，
则，
（3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，
若，则，与已知矛盾；
若，则，与已知矛盾，所以，，
又因为，
所以，对，，满足题意.
即，2，3，…，，共个解，故.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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