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2025-2026学年高二数学下学期期末模拟试卷（3）
（范围：人教A版选择性必修1-3）（解析附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．一质点 A 沿直线运动，位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为 则质点A在t=1秒时的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
2．如图，函数的图象在点P处的切线是，则（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
3．根据表中数据，得到关于的一元线性回归方程为，且，则（　　）
1 2 3 4 5 6 7
y
A．1 B．2 C．4 D．2.4
4．设双曲线的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为（ ）．
A． B． C． D．
5．某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A．84 B．72 C．76 D．130
6．从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
B．若随机变量ξ，η满足，则
C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D．若随机变量X服从两点分布，，则
8．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为1120 B．第4项二项式系数最大
C．所有项的二项式系数和为 D．所有项的系数和为
10．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增 B．的极小值为
C．的图象关于原点对称 D．有两个零点
11．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　）
A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为
C．点到直线的距离的最小值为
D．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为______.
13．某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______.
14．若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为______.
四、解答题
15．（13分）已知函数在处取得极值.
(1)求实数、的值；
(2)求函数在区间上的最值.
16．（15分）已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限.
(1)求圆 的方程；
(2)是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由.
17．（15分）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18．（17分）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为．
(1)求甲、乙两条生产线的产量之比．
(2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望．
(3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值．
19．（17分）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)已知数列满足，且.
（i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值.
参考数据：，，.
2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟试卷(3)（解析版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．一质点 A 沿直线运动，位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为 则质点A在t=1秒时的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
【答案】B
【分析】根据导数的定义计算.
【详解】由题意得，则，
所以质点在秒的瞬时速度为米/秒.
故选：B.
2．如图，函数的图象在点P处的切线是，则（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据图象求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，
与轴交于点，
则切线，
所以，，
所以.
故选：D．
3．根据表中数据，得到关于的一元线性回归方程为，且，则（　　）
1 2 3 4 5 6 7
y
A．1 B．2 C．4 D．2.4
【答案】B
【分析】根据线性回归直线经过样本中心点，求的值.
【详解】由题意：，.
因为一元线性回归直线经过点，
可得： .
故选：B
4．设双曲线的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合双曲线的性质设，利用点在双曲线上和点到直线的距离公式求出即可；
【详解】由已知，，，所以，，则．
设为双曲线C上任意一点，则，即．
而双曲线C的渐近线为，
所以点M到两条渐近线的距离之积为．
故选：B.
5．某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A．84 B．72 C．76 D．130
【答案】D
【分析】求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可.
【详解】依据题意分两类：第一类为：只有一个选中，
则不同演出顺序有种情况；
第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况，
故不同演出顺序的种数为，
故选：D．
6．从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解.
【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
从而，，
故.
故选：D
7．下列说法正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
B．若随机变量ξ，η满足，则
C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D．若随机变量X服从两点分布，，则
【答案】A
【分析】由卡方的独立性检验可判断A；故方差的性质可判断B；利用充分与必要条件的定义可判断C；设，可昨，可判断D.
【详解】A选项，，故可判断X与Y有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确．
B选项，若随机变量ξ，η满足，则，故B错误；
C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，
故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误；
D选项，随机变量X服从两点分布，设，由
得：，显然不是方程的解，故D错误．
故选：A.
8．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递增，再根据函数单调性解得，由充分性必要性的定义，即可得到结果.
【详解】因为，则，
令，则，所以在上单调递增.
，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为1120 B．第4项二项式系数最大
C．所有项的二项式系数和为 D．所有项的系数和为
【答案】ACD
【详解】对于A，展开式的常数项为，A正确；
对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误；
对于C，所有项的二项式系数和为，C正确；
对于D，取，得所有项的系数和为，D正确.
10．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增 B．的极小值为
C．的图象关于原点对称 D．有两个零点
【答案】ABC
【分析】求出函数的导数，求出单调递增区间判断A；求出极小值判断B；利用奇偶函数定义判断C；求出函数的零点判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
对于A，由，得或，函数在上单调递增，A正确；
对于B，由，得，函数在上单调递减，
结合选项A得函数在取得极小值，B正确；
对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，C正确；
对于D，由，解得，函数有3个零点，D错误.
11．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　）
A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为
C．点到直线的距离的最小值为
D．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】根据题意和正方体的性质、空间点到直线的距离、圆的定义等，逐项分析即可解出.
【详解】选项A，如图1所示，连接，在上任取一点，连接，
过在侧面作，与的交点为，连接，得四点共面，
在上都有类似结果，在其它棱上时，截面都是正方体的对角面，
所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，所以A正确；
选项B，如图2所示，取中点，根据分别为中点，易得，所以四点共面，该截面为四边形且为等腰梯形，
又，
所以等腰梯形的高，
所以截面的面积为，所以B错误；
选项C，如图3所示，建立空间直角坐标系，可得，所以.
设点，所以，
则点到直线的距离，
所以时，距离最小，最小为，所以C正确；
选项D，如图4所示，取的中点，连接，易得平面且，
又平面，所以，
所以，
则点在侧面内的运动轨迹为以点为圆心，以2为半径的劣弧，其圆心角为，
所以点的轨迹长度为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为______.
【答案】4
【分析】解法一：根据等式求解出方程的根，再根据等差数列性质列式求解即可；解法二：根据等差数列性质及绝对值等式的对称性设出四个解，再代入等式求解即可.
【详解】解法一：直接解方程
解得这四个解分别是：，，，
由等差关系，可知：，解得.
解法二：利用对称性
可知，这四个解分别是：，，，，计算可得，解得
即：.
故答案为：.
13．某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______.
【答案】
【分析】根据题意可知，从8人中抽出4人作为代表，求出其中男生代表为3人的概率，可用超几何分布的概率公式计算.
【详解】根据超几何分布的概率公式，本题中，
将数值代入可得：
.
故答案为：.
14．若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据两函数在公共点处的切线方程相同得及，令函数求其最小值即可.
【详解】，.
设曲线与的公共点为，两者在公共点处的切线方程相同，
因此，即，解得或.
因为，，所以舍去.
又，即.
令函数，则.
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，解得.
则的最小值为.
故答案为：
四、解答题
15．（13分）已知函数在处取得极值.
(1)求实数、的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)，
(2)最大值，最小值
【分析】（1）由题意可得，解出、的值，结合函数极值的定义验证即可；
（2）利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，即可得出答案.
【详解】（1）由，得.
又当时，有极值，所以，解得.
所以，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以当时，有极小值，所以，.
（2）由（1）知，，
令，得，，令得，
令得或，
、的值随的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
16．（15分）已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限.
(1)求圆 的方程；
(2)是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据抛物线方程求出点的坐标和的长，得解；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，由条件结合抛物线定义可得，代入韦达定理得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，令，得，所以，
所以圆的方程为.
（2）不存在这样的，理由如下：
设，，
联立，消去整理得，
故，，
若，则，即得，
又，所以，即，即，
所以，无解，故不存在这样的，使得.
17．（15分）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，进一步得到，作出辅助线易得，可证明平面，再根据线面垂直的定义即可证得；
（2）取中点，易知直线两两垂直，建立空间直角坐标系，设，再分别求出直线的方向向量与平面法向量，由线面角的夹角公式结合基本不等式求最大值即可.
【详解】（1）在三棱台中，取AC的中点O，连接BO，，，
由，得，
由平面平面，平面平面，
平面，得平面，
而平面，则，
又，，则四边形是菱形，故，
而，，平面，因此平面，
又平面，所以．
（2）取中点，则，
由平面平面，平面平面，平面，
则平面，直线两两垂直，
以点O原点，直线OB，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
设直线与平面所成的角为，
，
当且仅当时等号成立．
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．（17分）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为．
(1)求甲、乙两条生产线的产量之比．
(2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望．
(3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)或100
【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解；
(2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，可得，利用二项分布的分布列以及期望公式求解即可；
(3)由题可得，利用，解不等式即可求解.
【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件，
事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，
事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件“混合在一起的某一零件是合格品”，
则，．
由，
得．
所以甲、乙两条生产线的产量之比为．
（2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以．
，，
，，
所以的分布列：
0 1 2 3
．
（3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为，
则，
由，解得．
所以当或100时，取得最大值．
19．（17分）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)已知数列满足，且.
（i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值.
参考数据：，，.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）2
【分析】（1）依题意可得，当时可知单调递增，不符合题意，当时，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的值；
（2）（i）将两边取倒数，即可得到，结合等比数列的定义及通项公式计算可得；（ii）首先可得，则问题转化为，由（1）可得，当且仅当等号成立，即可得到，再利用放缩法及等比数列求和公式计算可得.
【详解】（1）函数的定义域为，
由题意可得.
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故.
（2）（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故.
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由（1）可得，当且仅当等号成立，从而得到，再就是利用放缩法得到.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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