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2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷(2)
（范围：人教A版必修二）（解析附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
5．在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
6．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若，则
7．有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（ ）
A．三人都解出的概率为 B．没有人能解出的概率为
C．恰有一人解出的概率为 D．恰有两人解出的概率为
8．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数,满足，则
C．在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是
D．若，则的最大值为
10．在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为，则下列说法正确的有（ ）
A．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变
B．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变
C．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小
D．这组数据的分位数为93
11．已知直四棱柱中，所有棱长均为2，，点，，，分别为，，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点在上运动，则三棱锥的体积不变
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．平面被直四棱柱所截的多边形周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若与垂直，则__________.
13．已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为______．
14．记的内角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为_____．
四、解答题
15．（13分）复数，其中．
(1)若复数为实数，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
16．（15分）某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)求满意度评分的中位数和平均数．
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
17．（15分）在中，分别为内角所对的边，满足：.
(1)求角；
(2)若，求内角平分线的长．
18．（17分）如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D．
(1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积；
(2)求直三棱柱外接球的表面积；
(3)求点到平面的距离．
19．（17分）已知向量，，函数．
(1)求的增区间；
(2)在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围．
(3)若将函数的图象向左移，再将各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，若在区间上没有最值，求的取值范围；
2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷(2)（解析版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，则，所以．
2．用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【详解】设直观图中，由题，
直观图是直角梯形，，所以为等腰直角三角形，
故梯形的高，直角梯形面积 ，
又斜二测画法中，原图形面积与直观图面积满足，
已知原图形面积，代入得，
化简得，即，
斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，轴，
故.
3．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度.
【详解】在中，根据余弦定理，
已知，，，设，则有：
解得或（边长不能为负舍去），所以.
因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得.
又因为，所以.
在中，再根据余弦定理，
将，，代入可得：
所以.的长度为
故选：D.
4．数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30，共有10个数据，可得，
所以数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即为.
故选：B.
5．在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
【答案】B
【分析】应用平面的基本性质画出截面图形，结合正方体的结构特征判断截面的形状.
【详解】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面，
由题设有，即为的中点，则且，
又，，则为平行四边形，
所以且，故且，又，
所以为等腰梯形.
故选：B
6．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误；
对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，由线面平行的判定定理可知C错误；
对于D，过直线作平面，且，
因为，所以，
过直线作平面，且，
同理可得，
所以，
因为，（若，则与重合）
所以，
因为，且，
所以，，故D正确.

7．有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（ ）
A．三人都解出的概率为 B．没有人能解出的概率为
C．恰有一人解出的概率为 D．恰有两人解出的概率为
【答案】D
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各选项对应事件的概率即可.
【详解】对A，三人都解出的概率为，故A错误；
对B，没有人能解出的概率为，故B错误；
对C，恰有一人解出的概率为，故C错误；
对D，恰有两人解出的概率为，故D正确.
故选：D.
8．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理化简得到，结合正弦定理、三角恒等变换公式，推导出，可得，然后将化简为，结合为锐角三角形算出角的取值范围，进而根据正弦函数的性质算出答案．
【详解】解：根据，
结合余弦定理，
得，即，
由正弦定理化简，
得，
其中，
所以，
结合、为三角形的内角，
可得，即，
因为为锐角三角形，所以，即，
解得，
而
，
因为，
所以，
即的取值范围为．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数,满足，则
C．在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【分析】利用复数为实数的充要条件判断A，举反例排除B，根据实系数方程虚根的共轭性判断C，结合复数模的几何意义（圆上点到定点的距离）判断D，
【详解】选项A：设，若，则，此时，，故A正确；
选项B：取反例，令，，则，但，，显然，故B错误；
选项C：实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，若一根为，则另一根为其共轭复数，而非，故C错误；
选项D：表示复平面内z对应的点在以原点为圆心、半径为1的单位圆上，
表示圆上的点到点的距离，
点到原点的距离为，故圆上点到该点的最大距离为，故D正确.
10．在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为，则下列说法正确的有（ ）
A．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变
B．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变
C．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小
D．这组数据的分位数为93
【答案】BC
【详解】对于A，原极差：；去掉最低分、最高分后，
剩余数据为，极差为，极差改变，故A错误；
对于B，原数据总和：，原平均数，
去掉两端后总和为，平均数，平均数不变，故B正确；
对于C，方差衡量数据波动程度，去掉了离平均数（）最远的两个数据和，剩余数据波动更小，因此方差变小，故C正确；
对于D，计算分位数：由，向上取整得分位数位置为第位，
第位数据是，不是，故D错误.
11．已知直四棱柱中，所有棱长均为2，，点，，，分别为，，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点在上运动，则三棱锥的体积不变
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．平面被直四棱柱所截的多边形周长为
【答案】BCD
【分析】对于A，根据线面垂直的性质判断即可；
对于B，根据线面平行推得面面平行，再得线面平行，进一步确定点在上运动时，点到平面的距离不变，即可判断；
对于C，根据异面直线成角的定义结合余弦定理求异面直线所成角判断即可；
对于D，根据截面的性质判断即可.
【详解】对于A，因为直四棱柱中，底面为边长为2的菱形，，
所以平面，可得，所以不正确，故A不正确；
对于B，连接，，易得，平面，所以平行于平面，
同理有，则平行于平面.
平面，所以平面平行于平面，故平行于平面.
当点在上运动时，点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变，故B正确；
对于C，如图，延长到点，使得，连接，，所以即为所求，
计算可得，，，所以，故C正确；
对于D，如图，取点，，分别为，，的中点，连接，，，，，
则多边形即为所求，根据题意，可得，，
所以多边形的周长为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若与垂直，则__________.
【答案】/
【详解】由向量，得.
若与垂直，则，
解得.
13．已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为______．
【答案】或
【分析】根据已知条件，列出关于底面半径和母线长的方程组，解方程组可得.
【详解】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l．如图：为圆锥的轴截面
所以
由①得③．
由得④．
将③代入④，得或，
所以或．
故答案为：或.
14．记的内角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为_____．
【答案】
【分析】根据正弦定理由边化角，再根据两角和的正弦公式进行化简，求出函数表达式，进而根据辅助角公式，求出最大值.
【详解】根据正弦定理得，
则，
化简得，其中，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．
故答案为：.
四、解答题
15．（13分）复数，其中．
(1)若复数为实数，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可；
（3）根据复数的几何意义列式求解即可.
【详解】（1）若复数为实数，则，解得或．
（2）若复数为纯虚数，则，解得，所以．
（3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得，可得，
所以实数的取值范围为.
16．（15分）某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)求满意度评分的中位数和平均数．
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
【答案】(1)
(2)（或），
(3)
【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得.
（2）利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解.
（3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】（1）；
（2）；所以中位数在内，设中位数为，
（或）．
．
（3）与的频率之比，
所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为，
，或者列举法：共10种情况，
符合条件的6种情况；．
17．（15分）在中，分别为内角所对的边，满足：.
(1)求角；
(2)若，求内角平分线的长．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出．
（2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长．
【详解】（1）由．
故，而，得．
（2）由，
设的长为，由．
即的长为．
18．（17分）如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D．
(1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积；
(2)求直三棱柱外接球的表面积；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据题意分别计算即可；
(2)根据对称性找到球心，求出半径即可；
(3)利用等体积法即可
【详解】（1）由题意得，
，从而，
所以AD⊥，所以，
，因为，，，
，，
所以，
所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为．
（2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O，
取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r，
根据正弦定理，则，因为，
所以，在Rt△AOH中，，
所以直三棱柱外接球的表面积
（3）因为三棱柱是直棱柱，
所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC，
三棱锥的体积
设点到平面的距离为h，则
所以
19．（17分）已知向量，，函数．
(1)求的增区间；
(2)在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围．
(3)若将函数的图象向左移，再将各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，若在区间上没有最值，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合题意结合三角恒等变换化简可得，再利用正弦型函数性质列不等式计算求解；
（2）由可得，由正弦定理可得，结合三角恒等变换以及三角函数性质可得，进而计算求解；
（3）由图象变换可得，结合题意理由余弦函数周期及性质计算求解.
【详解】（1）由题意可得，
令，解得，
所以的增区间为
（2）已知，则，
因为是锐角三角形，所以，则，
所以，解得，
由正弦定理可得，
因为，则，
所以
，
在锐角中，，得，
所以，故，
所以，故
（3）将函数的图象向左移得，
再将各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，
由在区间上没有最值，可得，
即，解得，
因为，所以，
因为，要使在区间上没有最值则，解得，
所以的取值范围为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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