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2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷(3)
（范围：人教A版必修二）（解析附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．为了解家里每月的用水量情况，小明收集并记录了家里连续6个月的用水量，分别是（单位：吨），关于这几个数据的说法，下列结论中正确的是（ ）
A．平均数是5 B．众数是6 C．中位数是5 D．方差是
2．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
4．如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．在中，角所对的边分别为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（ ）
A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4
8．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若，则（ ）
A．
B．的虚部为8
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则
C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）
A．，，，有两解
B．，，，有一解
C．，，，无解
D．，，，有两解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为__________.
13．如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则___________.
14．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______．
四、解答题
15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点.

(1)求证：M，N，C，D四点共面；
(2)求证：平面.
16．（15分）现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数；
(2)从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同）
17．（15分）在中，角的对边分别为，若，
(1)求角的大小；
(2)若为中点，，求边.
18．（17分）如图，正三棱柱中，各棱长均相等， 分别为棱 的中点.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面；
(3)求二面角的余弦值.
19．（17分）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求的周长；
(2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值；
(3)若，求锐角周长的取值范围.
2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷(3)（解析版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．为了解家里每月的用水量情况，小明收集并记录了家里连续6个月的用水量，分别是（单位：吨），关于这几个数据的说法，下列结论中正确的是（ ）
A．平均数是5 B．众数是6 C．中位数是5 D．方差是
【答案】D
【分析】将这组数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【详解】将这组数据重新排列为2、3、4、4、5、6，
∴这组数据的平均数为，
众数为4，
中位数为=，
方差为，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
2．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用列举法计算古典概率，再用互斥事件的概率公式计算作答.
【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，
，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
故选：C
3．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
则的虚部为1.
4．如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合图形，利用重心的性质由向量的加法法则可得.
【详解】由题意可得为三角形重心，
所以
.
故选：D.
5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】ABC可举出反例；D选项，利用线面垂直的性质可得.
【详解】对于A，若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误；
对于B，如图，满足，，，但是，故B错误；
对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确．
故选：D．
6．在中，角所对的边分别为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理和两角差的正弦公式即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，得，
所以，即，
因为，所以，
所以，或，所以，或（舍），
所以，所以.
故选：D.
7．正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（ ）
A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4
【答案】A
【分析】先求出截去的三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积得余下体积，得解.
【详解】如图，设正方体的棱长为，则该正方体的体积为，
则，所以剩余部分的体积为，
所以截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.
故选：A.
8．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得 ，
又因为，
所以，
所以当时，的最小值为，
即的最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若，则（ ）
A．
B．的虚部为8
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【分析】根据化简复数得，即可由模长公式求解A，根据复数的乘方可得，根据虚部的概念即可求解B，根据复数的除法运算即可求解C，根据复数对应的点为即可求解D.
【详解】，故，A错误.
，B正确.
，C正确.
在复平面内对应的点位于第四象限，D错误.
故选：BC
10．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则
C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则
【答案】ACD
【分析】根据事件互斥和独立的概率公式以及概率的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，若互斥，则，所以B错误；
对于C，若独立，则，
所以，C正确；
对于D，，D正确，
故选：ACD.
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）
A．，，，有两解
B．，，，有一解
C．，，，无解
D．，，，有两解
【答案】BC
【分析】根据题意，结合正弦定理，以及的值，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由正弦定理，可得，
因为，可得，则三角形有一解，故A错误；
对于B，因为，所以，则三角形有一解，故B正确；
对于C，因为，所以，则三角形无解，故C正确；
对于D，因为，所以，则三角形无解，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为__________.
【答案】
【分析】根据题意该三棱锥为正三棱锥，作出球心，构建勾股定理可得半径.
【详解】
该三棱锥正三棱锥，为底面的中心，
底面，球心在直线上，
底面是边长为的等边三角形，为底面的中心，
，，
，
设外接球半径为R，在中，
，，
所以体积，
故答案为：.
13．如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则___________.
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】由平面向量数量积的定义得，
依题意，，，
所以.
故答案为：
14．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______．
【答案】/
【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果.
【详解】
设，则，
平面，即为与底面所成角，即，
，，
，，；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，即，又，
顶点的曲率为.
故答案为：.
四、解答题
15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点.

(1)求证：M，N，C，D四点共面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意证明，即可证明M，N，C，D四点共面.
（2）取中点，连，，证明，进而可证明平面.
【详解】（1）∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴.
又在平行四边形中，，
∴，∴，，，四点共面.
（2）取中点，连，，

∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴且，
又∵平行四边形中，∴且，
∴且，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
16．（15分）现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数；
(2)从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同）
【答案】(1)估计第60百分位数为76.7，众数估计值为75，平均数估计值为71
(2)
【分析】（1）利用百分位，平均数及众数的概念直接求解；
（2）利用古典概型求解.
【详解】（1）得分在70以下的学生所在比例为，
得分在80以下的学生所占比例为，
所以第60百分位数位于内，
由，估计第百分位数为，
由图可，得众数位于之间，则估计值为，
平均数估计值为．
（2）样本中成绩是以上（包括）的学生共，
则选到前3名学生的概率．
17．（15分）在中，角的对边分别为，若，
(1)求角的大小；
(2)若为中点，，求边.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理对把边转换为三角函数，变形化简计算出角的三角函数值，计算角的大小；
（2）利用向量加法的法则可知，再利用余弦定理，计算边a.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，
在中，，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，所以
，
又，所以,所以，
又因为，所以.
18．（17分）如图，正三棱柱中，各棱长均相等， 分别为棱 的中点.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可；
（2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可；
（3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可.
【详解】（1）
连接，，，
又为的中点，，，
四边形是平行四边形，
又平面，平面，
平面，
（2）平面，，
是的中点，，又，平面，
平面，
又因为平面，，
在正方形中， 分别为棱 的中点，
，平面，
平面，
又平面，平面平面.
（3）由（2）知平面，平面，
平面平面平面，且平面平面，
，设与交于点，则平面，
过作垂直，连接，则，
为二面角的平面角，
令，则，，
，
又因为，，
为的中点，
，
在直角三角形中，，
由图知，为锐角，
，
由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补，
故二面角的平面角的余弦值为.
19．（17分）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求的周长；
(2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值；
(3)若，求锐角周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得；
（2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值；
（3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围.
【详解】（1），
由 ，
由，因此，
其中，则，故，
由，可得，
由，则，可得，
所以或，又，则，即，
综上，，故三角形的周长为；
（2）由已知，又的面积为，则，解得，
又，则
当且仅当时，等号取到，所以；
即边上中线长的最小值为．
（3）由正弦定理可知：，
因此有
，
由于，故，则，
可得，因此.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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