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湖南省平江县颐华学校迎期末考试数学模拟试卷（二）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则( )
A.86 B.87 C.88 D.89
2．设,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
3．已知复数z满足，则( )
A. B. C.4 D.8
4．在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,,,则( )
A. B. C.或 D.
5．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6．如图,中,点D是线段BC的中点,E是线段AD的靠近A的三等分点,则( )
A. B. C. D.
7．已知函数,若,则的一个单调递增区间可以是( )
A. B. C. D.
8．图1为迪拜世博会中国馆,建筑名为“华夏之光”,外观取自中国传统灯笼,寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2）,已知模型内层底面直径为,外层底面直径为,且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为,则此模型外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数的实部为,则下列说法正确的是( )
A.复数z的虚部为 B.z在复平面内对应的点位于第三象限
C. D.复数z的共轭复数
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是的一个周期 B.的图象关于点对称
C.为奇函数 D.在区间上的最大值为3
11．如图,在棱长为1的正方体中,已知M,N,P分别是棱,,BC的中点,点Q满足,,下列说法正确的是( )
A.平面
B.若Q,M,N,P四点共面,则
C.若,点F在侧面内,且平面,则点F的轨迹长度为
D.若,则以为顶点,以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
三、填空题
12．已知向量,若,则__________
13．如图,是水平放置的的直观图,则的周长为________.
14．若、是关于x的方程的两个根，则________.
四、解答题
15．已知，.
（1）若，，且A、B、C三点共线，求m的值
（2）当k为何值时，有与垂直
16．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若函数的图象经过点,求的最大值.
17．如图,已知正方形的边长为2,F为的中点,.
（1）若,求的值;
（2）求的取值范围.
18．已知为锐角三角形,分别为三个内角的对边,且,
（1）求;
（2）若,的面积为,求的周长;
（3）若,求周长的取值范围.
19．如图1,设半圆的半径为2,点三等分半圆,P,M,N分别是,,的中点,将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题.
（1）求在圆锥中的线段的长;
（2）求四面体的体积;
（3）若D是的中点,在线段上是否存在一点E,使得平面若存在,求的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：这组数据共有10个数，，故，所以.故选C.
2．答案：D
解析：因为是R上的减函数,则,
是上的增函数,则,
又是R上的增函数,则,
故得,即.
故选：D.
3．答案：B
解析：由可得，，所以，
故选：B.
4．答案：C
解析：因为,,,则,故,
由正弦定理得,
由于,故或.
5．答案：C
解析：设圆锥的底面圆半径为r,由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,
得该三角形面积为,解得,圆锥的母线,
所以该圆锥的侧面积为.
6．答案：B
解析：因为是的中点,所以,
因为是的靠近的三等分点,所以,
所以.
7．答案：D
解析：当时,有最小值为,
是方程,的一个解,得,.
,取,得.
因此函数表达式为.
令,,得,.
取,得的一个单调递增区间是,
故选：D.
8．答案：B
解析：设内、外层圆柱的高分别为,外接球的半径为,
由题意可得:,解得,
所以此模型外接球的体积为.
9．答案：ABC
解析：因为,且复数z的实部为,
所以,解得:,所以,
对于A,由,所以复数z的虚部为,故A正确;
对于B,由复数z在复平面内对应的点为,该点位于第三象限,故B正确;
对于C,由,故C正确;
对于D,由复数z的共轭复数,故D错误.
10．答案：BD
解析：对于A：函数的最小正周期为,故A错误;
对于B：因为,所以的图象关于点对称,故B正确;
对于C：不是奇函数,故C错误;
对于D：当时,,
所以当,即时,取得最大值3,故D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：
对于A,在正方体中平面平面,平面,故平面,故正确;
对于B,延展平面,结合平面的基本性质及正方体的结构特征得截面如图（2）,易知平面过的中点,所以,错误;
对于C,如图（1）,若,取的三等分点G(靠近),的中点H,则,
平面,平面,故平面,同理平面,
又且都在平面,所以平面平面,
当点F在线段上时,平面,则满足平面,所以即为F的轨迹,
由,得,正确;
对于D,如图（2）,,则正六边形的面积为,的面积为,所以棱锥的表面积为,故正确.
故选:ACD
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：根据斜二测画法的规则可知,,,,
所以,
所以的周长为.
故答案为:.
14．答案：/
解析：由题意得，，则或，
又，即，
解得或（舍去），则，
所以
.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），，
，，
A，B，C三点共线，
与共线，
，解得；
（2），，
与垂直，
，解得.
16．答案：（1）
（2）(或)
解析：（1）由,得,
由,得,即,
所以不等式的解集为.
（2）由题意得,
由,得,即,
因为,函数是增函数,
所以,即的最大值为(或).
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图所示,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,
因为,则,解得.
（2）由（1）知,,,
则,
当时,,即的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）在中,因为,
所以,即,
因为所以,故,则;
（2）因为的面积为,即,
所以.
由余弦定理得.
解得,所以周长为.
（3）由正弦定理得,即,
则,
因为为锐角三角形,则,故,
所以,则,
故,
故周长的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
（3）在线段OB上存在点E,且,证明见解析
解析：（1）在图2中,设圆锥的底面圆半径为r,
则,解得,
因为在图1中,点B、C三等分半圆,
所以在图中,点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点,
所以为等边三角形,所以,所以,
又因为点M、N分别是、的中点,
所以;
（2）,
圆锥的高,
所以,
所以,
即四面体的体积为;
（3）在线段OB上存在点E,且,使得平面ABC,
理由如下:如图,取AC的中点F,且D是AN的中点,连接DF,
所以,
取CB的四等分点G,使,连接GE,
因为,所以,,
所以,,
所以四边形DFGE是平行四边形,所以
又平面ABC,平面ABC,所以平面
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