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2025-2026学年高中数学苏教版必修二单元测试 第9章 平面向量
一、选择题
1．已知,,且,则x等于( )
A.2 B. C.1 D.
2．如图在梯形中，，，设，，则( )
A. B.
C. D.
3．如图，在四面体中，E是的中点，若，，，则( )
A. B. C. D.
4．已知向量，满足，，向量与的夹角为，则( )
A.12 B.4 C. D.2
5．已知平面向量，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
6．已知向量，，，若，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
8．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．关于向量,下列说法错误的有( )
A.温度、海拔、角度都是向量
B.零向量没有方向
C.若是等边三角形,则与的夹角为
D.若向量与共线,且,则
10．已知向量,,下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若为钝角,则
11．下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
三、填空题
12．已知,如果与的夹角为钝角,则x的取值范围是_____.
13．已知向量满足,,且,则与的夹角为_____________.
14．已知向量,若,则实数____________.
15．已知向量,,若,则______.
四、解答题
16．已知,
（1）求的值;
（2）求与的夹角.
17．已知平面向量,其中是夹角为的单位向量.
（1）若与共线,求;
（2）若与夹角为钝角,求的取值范围.
18．已知向量,满足,,.
（1）求与的夹角;
（2）若,求t的值.
19．在中，设向量，，且，.
(1)求的值；
(2)若，求.
20．已知平面向量,且.
（1）求的值;
（2）求向量与夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,,且,
所以,解得.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，，
所以，
又，，
所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意知，
.
故选：A
4．答案：C
解析：因为，，向量与的夹角为.
所以，
所以.
故选：C.
5．答案：A
解析：若向量，共线，则，，共线，此时A，B，C，D共线，
当向量，不共线时，
对于A选项，，所以A，B，D三点共线，A正确；
对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误；
对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误；
对于D选项， ，设 ，
即 ，即 ，无解，D错误.
故选：A
6．答案：A
解析：由题意可知，，
由，得，
解得.
7．答案：C
解析：，是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.
对于A，假设与共线，则存在实数λ，使，
所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以A能作为基底；
对于B，假设与共线，则存在实数λ，使，
所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底；
对于C，因为，
所以与共线，不能作为基底，所以C正确；
对于D，假设与共线，则存在实数λ，使，
所以，无解，所以假设不成立，
所以与不共线，能作为基底.
8．答案：C
解析：已知，，，
则，解得，
在方向上的投影向量为：.
9．答案：ABD
解析：选项A:温度、海拔、角度只有大小没有方向,不是向量,故A错误;
选项B:零向量的方向是任意的,故B错误;
选项C:等边三角形的角均为,则与的夹角为,
故C正确;
选项D:向量不能比较大小,故D错误.
10．答案：AC
解析：对于A选项,当时,,故A选项正确；
对于B选项,当时,,解得,故B选项不正确；
对于C选项,若,则,所以,所以C选项正确；
对于D选项,依题意,,且,,
故,故D选项错误.
11．答案：BD
解析：向量不能比较大小,A错误；
表示向量大小相等,方向相同,所以,B正确；
若是零向量,零向量平行于任意向量,此时即使满足、,但和也可以不平行,C错误；
由得、与同向；由得、与同向,因此、与同向,即,D正确.
12．答案：
解析：向量与的夹角为钝角,则,解得或;
又向量与不共线,所以,解得且;
故所求x的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为,所以,即,
设与的夹角为,则,
又,,所以,解得,
因为,所以.
14．答案：6
解析：若,则,则,
故答案为：6.
15．答案：
解析：因为,所以,解得.
故答案为:.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
所以,,得,
所以
（2）因为,
,
所以,
因为,
所以,
即与的夹角为
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由与共线,
设,
即.
由不共线,得且,
解得;
（2）夹角为钝角需满足,且不共线,
解得,
由（1）可知,当共线时,,此时共线反向,
所以的取值范围为.
18．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由已知,
,,,又,所以;
（2）,解得或.
19．答案：(1)5
(2)
解析：(1)由已知得，，
所以，
所以.
(2)因为，所以，
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由整理得,又,
代入得,解得,
则;
（2）因为,
又,
所以.
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