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2025-2026学年高中数学苏教版必修二单元测试 第13章 立体几何初步
一、选择题
1．若某平面图形用斜二测画法得到的直观图是边长为4的正三角形,则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
2．如图,是利用斜二测画法画出的的直观图,其中轴,轴,,则的周长为( )
A. B. C. D.
3．下列几何体为多面体的是( )
A.长方体 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台
4．已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示,已知,则边上的中线的长度为( )
A. B. C. D.5
6．直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形,且,在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小,则这个最小值是( )
A.2 B. C. D.
7．在空间中,若直线平面,直线平面,则l与m( )
A.相交
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行,也可能是异面直线
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )
A.
B.
C.
D.
10．下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是( )
A. B.
C. D.
11．沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,两个圆锥的底面直径和高均为,当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度h的.假设该沙漏每秒钟漏下的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为
B.沙漏的体积是
C.细沙全部漏入下部后,此锥形沙堆的高度为
D.该沙漏的一个沙时大约是900秒
三、填空题
12．在梯形ABCD中,,,．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为____________________________．
13．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍,高缩小为原来的,则其体积是原来的____________倍.
14．已知圆台的体积为,上底面半径为1,母线与下底面所成角的余弦值为,则该圆台的下底面半径为____________.
15．如图,在正四棱柱中,,则该正四棱柱的体积为______________.
四、解答题
16．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的正弦值.
17．如图,在四棱锥中,底面为菱形,,,平面,点G,H分别在棱,上,且.
（1）求证:;
（2）若,与平面所成的角为60°,点A关于平面的对称点为M,求点M到平面的距离.
18．如图所示的四棱锥中,已知底面ABCD是一个平行四边形,,且,.求证:面ABCD.
19．如图,在三棱柱中,平面,,,分别为,的中点.
（1）证明:侧面为矩形;
（2）若,求直线与平面夹角的正弦值.
20．如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,E是PD上的点.
(1)若E、F分别是PD和BC中点,求证：平面PAB；
(2)若平面AEC,求证：E是PD中点.
参考答案
1．答案：D
解析：如图,直观图是边长为4的正三角形,
则其高,
过作轴,交于E,则,
则在原中,,边上的高为,
故的面积为.
2．答案：A
解析：因为其中轴,轴,
所以,由余弦定理得,
,
即,解得,
由斜二测画法知原为直角三角形,,,
,
所以周长为．
故选：A．
3．答案：A
解析：由多面体的概念可知,长方体为多面体,圆锥、圆柱、圆台都不是多面体.
故选：A.
4．答案：A
解析：正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点O，
以点O为原点，，为y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则球心，的坐标为：
因为底面边长为6，所以底面正三角形外接圆半径；
故 ，，，
所以 ，，
设平面的法向量为，则由，即，
令，则，则是平面的一个法向量.
又，因此球心O到平面的距离
.
5．答案：C
解析：由斜二测画法还原得原图,
在中,,,,
所以,故边上的中线的长度为.
故选:C.
6．答案：D
解析：因为直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形,且,
所以,又是等腰直角三角形,,
把和所在平面沿摊平得四边形,如图,是这个四边形的对称轴,即为所求最小值.
故选:D.
7．答案：D
解析：由题意,在空间中,直线l与m没有公共点,即l与m不相交,
则l与m可能平行,也可能是异面直线.
8．答案：D
解析：
设球的半径为R，取的中点D，连接，，，.
三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，为球O的直径且，
球心O是的中点，，
，.
在中，，
，
在中，，，
在中，，.
又，平面，平面，
，平面，
点P到底面的距离为.
9．答案：AC
解析：对于A:,可以由和线性表示,所以共面.
对于B:假设,可得,此方程组无解,
所以不能用和线性表示,故不共面.
对于C:,可以由和线性表示,所以共面.
对于D:假设,
可得,此方程组无解,所以不能用和线性表示,故不共面.
10．答案：AB
解析：对于AB:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现AB可折成正四面体;
对于C:该展开图仅包含3个三角形,少于正四面体所需的4个面,无法围成正四面体,不符合要求.
对于D:折叠后会出现面重叠,无法围成封闭的正四面体,不符合要求;
11．答案：AD
解析：对于A,由圆锥的截面图可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,
所以细沙的底面半径,体积,故A正确;
对于B,沙漏的体积,故B错误;
对于C,设细沙流入下部后的高度为,根据细沙体积不变可得,即,故C错误;
对于D,因为细沙的体积为,沙漏每秒钟漏下的沙,所以一个沙时为秒,故D正确.
故选:AD
12．答案：
解析：梯形ABCD如图所示,
,,,
,,
,,
,解得．
故梯形ABCD为等腰梯形,,
过点A作于点T,则,．
旋转体是底面半径为,高为2的圆柱,挖去2个底面半径为,高为的圆锥,
则所围成的几何体的体积．
故答案为：.
13．答案：2
解析：设圆锥的底面半径以及高分别为,则变化之后的半径和高分别为,
则原来的体积为,变化后的体积为,
故,
故答案为：2.
14．答案：2
解析：如图,设圆台上底面圆心为,下底面圆心为,
梯形为圆台的轴截面,高为h.
过D作于E.
即为母线与下底面所成角,则.
在直角三角形中,,,
所以下底面半径,即,
,解得.
15．答案：112
解析：因为且四边形为正方形,故,
而,故,故,
故所求体积为,
故答案为：112.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题可知侧面，又平面，所以.
因为，，平面，所以平面.
（2）由（1）知平面，因为平面，所以，
又E为的中点，所以为等腰直角三角形，所以.
方法一：如图1，连接AC，BD相交于点O，连接，
因为平面，平面ABCD，所以.
又，，平面，
所以平面，O为点B在平面上的射影.
作，垂足为H，连接BH，则，所以为二面角平面角的补角.
设，则，，，，由，得.
在中，，所以.
即二面角的正弦值为.
方法二：如图2，分别取，，的中点F，G，H，
连接EF，FG，GH，GE，HE，过G作，垂足为P，连接BP.
易得四棱柱为正方体，所以，又，所以，
所以为二面角（即）的一个平面角.
连接BG，设，则，在中，，.
所以，所以，
故二面角的正弦值为.
方法三：如图3，连接AC，BD交于点O，连接OE，分别取，，的中点F，G，H，连接EF，FG，GH，GE，HE，显然四棱柱为正方体.
因为二面角的正弦值与二面角的正弦值相等，所以我们只需在正方体中求二面角的正弦值.
因为平面，平面ABCD，所以.
又，，平面，所以平面，所以是在平面ACGE上的射影.
令正方体的棱长为2，则，，
所以，.
设二面角大小为，由，可得，
所以，所以二面角的正弦值为.
方法四：如图4，以点B为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，
所以，，.
设是平面BEC的法向量，由可取.
设是平面的法向量，由可取.
则，所以二面角的正弦值为.
方法五：因为平面，平面，所以，
又，所以平面BCE，故为平面BCE的一个法向量.
连接，，，（图略），
因为平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量.
设，则，则为等边三角形，
故与的夹角为，
所以二面角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）证明:连,相交于点,连.∵底面为菱形,且.
又平面,平面,平面平面,,
,又,而.
平面,又,平面,而平面,
,,为等腰三角形,即.
（2）若,则,由（1）知,平面,
以为原点以,,分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系,
又,,则,,,,
,,平面,与平面所成的角为60°,
,,.
,,.
设平面的法向量为
则取,,,,
设,,则A,M到平面的距离相等,
,
.
又,,解得
,
设平面的法向量为,,.
则取,,,,
则点M到平面距离为.
18．答案：证明见解析
解析：证明:由已知可得O为AC的中点.
在中,因为,且,
所以由等腰三角形三线合一可知.
同理,.
又因为,面ABCD,面ABCD.
所以面ABCD.
19．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图,连接,由题知,E是的中点,,
平面,而平面平面,平面,
又平面,.
又,,平面,平面,
又平面,.
分别是,的中点,,.
侧面为矩形.
（2）连接,以D为坐标原点,直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
易知,,,
,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则,取.
,
直线与平面夹角的正弦值为.
20．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：取中点G,连接,,
在中,因为E,G分别为所在边的中点,所以,且,
又因为底面ABCD为平行四边形,F为的中点,
所以,且,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,
所以,因为平面,平面,
所以平面；
(2)连接,交于H,连接,
因为平面,平面,平面平面,
所以,在中,H为中点,
所以E为中点.
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