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2025-2026学年高中数学苏教版必修二单元测试 第15章 概率
一、选择题
1．已知甲盒中有5个白球、5个黑球,乙盒中有1个黑球,所有球除颜色外均相同,每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中,当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为( )
A. B. C. D.
2．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为.若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为( )
A. B. C. D.
3．口袋内有大小、质地相同的红球2个,黄球、蓝球各3个.依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到黄球”为事件B,则( )
A. B. C. D.
4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是( )
A.0.85 B.0.8 C.0.2 D.0.15
5．已知随机事件A,B,若,则( )
A. B. C. D.
6．在某校新高考物理方向的学生中,有60%的同学选了化学学科,40%同学选了生物学科,80%的同学选了化学学科或生物学科.现从该校新高考物理方向的学生中,随机调查一名同学,已知该同学选了化学学科,则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为( )
A. B. C. D.
7．一盒中装有5张彩票,其中2张有奖,3张无奖,现从此盒中不放回地抽取2次,每次抽取一张彩票.设第1次抽出的彩票有奖的事件为A,第2次抽出的彩票有奖的事件为B,则( )
A. B. C. D.
8．2025年福清市元宵晚会共有3个语言类节目,2个杂技魔术类节目,5个歌舞类节目,假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会,求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下,第二次抽到语言类节目的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是( )
A.“甲被选中”和“乙被选中”
B.“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中”
C.“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中”
D.“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中”
10．甲盒中有4个红球和3个白球,乙盒中有2个红球和3个白球,这些球除颜色外其他都相同,分两次从盒子中取球,第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中,第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球,事件表示从甲盒中取出的小球是白球,事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球,事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球,则( )
A. B.
C. D.
11．为测试一种新药的有效性,研究人员对某种动物种群进行试验,从该试验种群中随机抽查了100只,得到如表数据(单位:只):
发病 未发病 合计
使用药物 10 40 50
未使用药物 30 20 50
合计 40 60 100
从该动物种群中任取1只,记事件A表示此动物发病,事件B表示此动物使用药物,定义A的优势,在B发生的条件下A的优势,则( )
A.的估值为,的估值为
B.的估值为,的估值为
C.可化简为
D.可化简为
三、填空题
12．如图,一动点P从点A出发,在正方形的各顶点上移动.每次移动时,动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次,有的概率沿竖直方向向上或下移动一次,每次移动独立.设动点P移动了步之后,停在点A的概率为.则____________.
13．某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动,抽奖方法如下：袋中各有5张奖券,其中A袋中有2张一等奖和3张二等奖,B袋中有3张一等奖和2张二等奖,先从装着标有数字1,2,3,4,5,6的号签筒中任抽1签,若是1,2,3,4号签,则从A袋中随机抽取1张奖券,若是5,6号签,则从B袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券,则该一等奖奖券来自B袋的概率__________________________．
14．已知事件A,B是互斥事件,若,,则______________.
15．将一枚六个面点数分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使得一元二次方程有相等的实数解的概率为________________________；
四、解答题
16．某足球队的5人围成一圈进行单球传球训练，甲与乙相邻，每阶段第1次都由甲将球传出，第一阶段进行短传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给相邻的人；第二阶段进行长传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给不相邻的人，规定球传回到甲或传到乙时结束长传练习.记“第一阶段经过次传球后球在甲脚下”，“第二阶段结束时共进行了次传球”，“第二阶段结束时球在甲脚下”.
(1)求，及；
(2)求及.
17．某足球队的5人围成一圈进行单球传球训练，甲与乙相邻，每阶段第1次都由甲将球传出，第一阶段进行短传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给相邻的人；第二阶段进行长传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给不相邻的人，规定球传回到甲或传到乙时结束长传练习.记“第一阶段经过次传球后球在甲脚下”，“第二阶段结束时共进行了次传球”，“第二阶段结束时球在甲脚下”.
(1)求，及；
(2)求及.
18．11分制乒乓球比赛规则如下:在每一局比赛中,每两球交换发球权,每胜一球得1分,先得11分且至少领先2分者获胜,该局比赛结束;当某局比分打成后,每一球交换发球权,领先2分者获胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的比赛结果互不影响,且本局开始由甲率先发球.
（1）双方比分为,求甲以获得比赛胜利的概率;
（2）双方比分为,求甲以获得比赛胜利的概率;
（3）双方比分为,求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率.
19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20．从集合中随机选取一个数记为k，从集合中随机选取一个数记为b，求一次函数的图像不经过第二象限的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件A,第1次取2白球为事件B.
则,
,
所以.
故第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为.
2．答案：C
解析：记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，
这两个活动有且仅有一个失误的概率为.
3．答案：C
解析：,,
故.
4．答案：C
解析：设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，
依题意，，，则，
即某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率0.8，
所以某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为不优良的概率是0.2.
5．答案：B
解析：因为,故,而,故,
故,同理,
故,
故选：B.
6．答案：B
解析：设事件C表示“选化学”,事件B表示“选生物”,
题目给出,,,
则,
已知选了化学,所求为条件概率：.
7．答案：D
解析：由题意,第1次抽出的彩票有奖,剩下4张彩票,其中1张有奖,3张无奖,
所以.
故选:D.
8．答案：D
解析：设事件第一次抽到杂技魔术类节目为A,事件第二次抽到语言类节目为B,
则,
,
则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下,第二次抽到语言类节目的概率
,
故选:D.
9．答案：BD
解析：“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意；
“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中”两个事件不会同时发生，故它们互斥，
同时两事件的并集{丙丁，乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意；
“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中”不会同时发生，即它们互斥，
且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意；
“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中”不会同时发生，故它们互斥，
例如当选出的是{甲，丁}时，该结果不属于这两个事件，
即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意.
10．答案：ACD
解析：由题意可得,,则,A正确.
,B错误.
,C正确.
,D正确.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：由列联表可知,,
所以,,故A正确、B错误.
已知,,则,
由条件概率公式,所以
,故C正确、D错误.
12．答案：
解析：移动两步后,依旧在A点的概率为,
则移动两步后,在C点的概率为,
则,
.
13．答案：
解析：设事件抽到1,2,3,4号签,事件抽到5,6号签,事件B：抽到一等奖奖券,
则,,,,
,
．
14．答案：0.5
解析：由题意.
故答案为：0.5.
15．答案：
解析：若一元二次方程有相等的实数解,则,即,
一个骰子连续抛掷两次,得到的点数依次为,记为,
则
共36种,
其中满足题意的有,,,共3种.
故使得一元二次方程有相等的实数解的概率为.
故答案为：.
16．答案：(1)；；
(2)；
解析：（1）当时，实现的方法为向左传5次或向右传5次，
共有种，而此时总共种可能的传球方式，
所以；
当时，实现的方法有3种：
向左传5次，向右传5次，概率为；
向左传10次，概率为；
向右传10次，概率为；
所以；
当时，
实现的方法数为解的数量，
可能的取值为个1；个1和5个；
个1和10个；…，
个，共有种情况，
而此时所有可能的传球方法有种，
故；
（2）如图，将甲、乙、…、戊5人依次用1、2、3、4、5表示，
根据长传规则，甲（1）只能将球等可能传给丙（3）或丁（4），依此类推，
当时，表示4次长传后球传回给甲，画出树状图：
可知只有1种方法：，而此时所有可能的传球方法有种，
故；
记事件“第二阶段结束时球在甲脚下”=“球从甲（1）传出，
最终回到甲（1）”，
“球从戊（5）传出，最终回到甲（1）”，
分解事件B，可能的情况是：，
将，视作整体量，则；
再分解C，可能的情况是：，，
则；
联立，，
解得，，
即第二阶段结束时球在甲脚下的概率为.
17．答案：(1)；；
(2)；
解析：（1）当时，实现的方法为向左传5次或向右传5次，
共有种，而此时总共种可能的传球方式，
所以；
当时，实现的方法有3种：
向左传5次，向右传5次，概率为；
向左传10次，概率为；向右传10次，概率为；
所以；
当时，实现的方法数为解的数量，
可能的取值为个1；个1和5个；
个1和10个；…，
个，共有种情况，
而此时所有可能的传球方法有种，
故；
（2）如图，将甲、乙、…、戊5人依次用1、2、3、4、5表示，根据长传规则，甲（1）只能将球等可能传给丙（3）或丁（4），依此类推，
当时，表示4次长传后球传回给甲，画出树状图：
可知只有1种方法：，而此时所有可能的传球方法有种，
故；
记事件“第二阶段结束时球在甲脚下”=“球从甲（1）传出，最终回到甲（1）”，
“球从戊（5）传出，最终回到甲（1）”，
分解事件B，可能的情况是：，，，
将，视作整体量，则；
再分解C，可能的情况是：，则；
联立，，
解得，，
即第二阶段结束时球在甲脚下的概率为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）设甲以获得比赛胜利的事件为A,
双方比分为时,轮到由乙发球,则.
（2）设甲以获得比赛胜利的事件为B,
双方比分为时,轮到由甲发球,则.
（3）设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C,
双方比分为时,轮到由甲发球,再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲输赢各一个,第三、四球均为甲赢,
则.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）记事件Z为“甲连胜四场”，
则.
（2）记事件A为“甲输”，事件B为“乙输”，事件C为“丙输”，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为.
（3）记事件A为“甲输”，事件B为“乙输”，事件C为“丙输”，
记事件M为“甲赢”，事件N为“丙赢”，则“甲赢”的基本事件包括：
BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，
所以.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以.
20．答案：
解析：依题意k和b的所有可能的取法有，，，，，，，，，共9种.
因为题中k，b均不为0，所以当一次函数的图像不经过第二象限时，应有，，
满足条件的取法有，，，，共4种，
故所求概率为.
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