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七年级数学下学期期末模拟试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
范围：新教材人教版七下7-12章（相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集整理与描述）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2026 榆树市模拟）篆体，为汉字古代书体之一，也叫篆书．下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026春 闵行区月考）若点A（m，n）在第四象限，则点B（m，﹣n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025秋 桥东区期末）用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　）
A．a2+b2＞2ab B．a2+b2≥2ab
C．a2+b2≤2ab D．（a+b）2≥2ab
4．（2026 鼓楼区校级模拟）每年的6月6日是全国爱眼日．为了解某初中学校2000名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　）
A．抽取八年级200名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取200名学生进行调查
C．抽取九年级200名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取5名学生进行调查
5．（2026春 鼓楼区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．64的立方根是8 B．﹣8的算术平方根是﹣2
C．的算术平方根是3 D．0.01的平方根是±0.1
6．（2026春 青山区期中）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为（1，﹣3），表示“开阳”的点的坐标为（﹣5，4），则表示“天璇”的点的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（5，﹣2） C．（﹣2，5） D．（10，7）
7．（2026春 惠州期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
若，，则（　　）
A．48.5 B．485 C．15.3 D．153
8．（2026 朝阳二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026春 杨浦区校级期中）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）
A．52° B．54° C．48° D．42°
10．（2026春 工业园区校级期中）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当k＝1时方程组无解；④无论k为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025秋 宝应县期末）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式是 　 　 ．
12．（2026 吉首市模拟）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频数分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为8，12，16，20，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约有 　 　 人．
13．（2026春 顺义区校级期中）已知|x+y﹣1|+（x﹣2y﹣4）2＝0，则x y＝　 　 ．
14．（2026 洛阳模拟）已知a是4的算术平方根，b是64的立方根，c是的整数部分，则a+b+c＝　 　 ．
15．（2025秋 金凤区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　 　 ．
16．（2026春 顺义区校级期中）已知关于x的不等式组有以下说法：
①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜2；
②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜2，那么a＝﹣3；
③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，1，那么a＝﹣2；
④如果不等式组无解，那么a＞2；
其中所有正确说法的序号是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（2025秋 莱州市期末）（）．
18．（2025秋 安宁区校级期末）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（2025秋 南通期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
20．（2025春 苍溪县期末）如图，在方格边长为1的方格纸上画平面直角坐标系，若△ABO内任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0﹣3），用一句话描述该点的平移过程：　 　 ．
若将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．完成下面问题：
（1）画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
21．（2024春 马尾区期末）某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 　 　 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 　 　 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 　 　 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60.5 kg的学生大约有多少名？
22．（2026 鲁山县二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进2箱复印纸和3箱墨盒共需700元；购进5箱复印纸和2箱墨盒共需760元．
（1）求复印纸和墨盒每箱的价格．
（2）若复印店计划采购复印纸和墨盒共40箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的4倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过5000元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案）
23．（2025春 唐县期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式|x|＞2的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出|x|＝2时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式|x|＞2的解集为x＜﹣2或x＞2．
【迁移应用】
（1）填空：|x|＞5的解集是　 　 ；
（2）求绝对值不等式|x+1|＞3的解集；
（3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，则m的取值范围　 　 ．
24．（2025秋 陵水县期末）【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．
请将下列证明过程补充完整：
证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝　 　 （角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CMA＝　 　 （两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC．
【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数．
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七年级数学下学期期末模拟试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
范围：新教材人教版七下7-12章（相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集整理与描述）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2026 榆树市模拟）篆体，为汉字古代书体之一，也叫篆书．下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可．
【解答】解：四个图形中只有B选项中的图形是经过平移得到的．
故选：B．
2．（2026春 闵行区月考）若点A（m，n）在第四象限，则点B（m，﹣n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据第四象限点的坐标特征得到m，n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在的象限．
【解答】解：∵点A（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴﹣n＞0，
∴点B在第一象限．
故选：A．
3．（2025秋 桥东区期末）用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　）
A．a2+b2＞2ab B．a2+b2≥2ab
C．a2+b2≤2ab D．（a+b）2≥2ab
【答案】B
【分析】根据“平方和不小于积的2倍”即a2+b2≥2ab，“不小于”表示大于或等于，表示为≥，由此即可求解．
【解答】解：表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”为a2+b2≥2ab，
故选：B．
4．（2026 鼓楼区校级模拟）每年的6月6日是全国爱眼日．为了解某初中学校2000名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　）
A．抽取八年级200名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取200名学生进行调查
C．抽取九年级200名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取5名学生进行调查
【答案】B
【分析】根据抽取的样本要具有代表性进行判断．
【解答】解：A、抽取八年级200名女生进行调查，抽取的学生年级、性别单一，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
B、按学籍号随机抽取200名学生进行调查，调查方案合理，符合题意；
C、抽取九年级200名男生进行调查，抽取的学生年级、性别单一，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
D、按学籍号随机抽取5名学生进行调查，抽取的学生的样本容量小，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
故选：B．
5．（2026春 鼓楼区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．64的立方根是8
B．﹣8的算术平方根是﹣2
C．的算术平方根是3
D．0.01的平方根是±0.1
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一分析各选项即可．
【解答】解：根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项分析判断如下：
A、64的立方根是4（因为43＝64），而非8，故本选项错误，不符合题意；
B、算术平方根仅针对非负数，﹣8是负数，无算术平方根，故本选项错误，不符合题意；
C、，3的算术平方根是，故本选项错误，不符合题意；
D、0.01的平方根是±0.1（因为（±0.1）2＝0.01），故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6．（2026春 青山区期中）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为（1，﹣3），表示“开阳”的点的坐标为（﹣5，4），则表示“天璇”的点的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（5，﹣2） C．（﹣2，5） D．（10，7）
【答案】B
【分析】根据“天玑”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天璇”的点的坐标即可．
【解答】解：由表示“摇光”的点的坐标为（﹣7，2）与表示“开阳”的点的坐标为（﹣3，3）得：平面直角坐标系，如图：
表示“天璇”的点的坐标为（5，﹣2）；
故选：B．
7．（2026春 惠州期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
若，，则（　　）
A．48.5 B．485 C．15.3 D．153
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义及性质即可求得答案．
【解答】解：若一个正数的小数点每向左（或向右）移动两位，那么其算术平方根的小数点向左（或向右）移动一位，
若，
则48.5，
故选：A．
8．（2026 朝阳二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
9．（2026春 杨浦区校级期中）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）
A．52° B．54° C．48° D．42°
【答案】D
【分析】由平角的定义求出∠MAB＝88°，由平行线的性质推出∠ABN+∠MAB＝180°，求出∠ABN＝92°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝48°，
∴∠MAB＝180°﹣48°﹣48°＝84°，
∵a∥b，
∴∠ABN+∠MAB＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣84°＝96°，
∵∠2＝∠4，
∴．
故选：D．
10．（2026春 工业园区校级期中）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当k＝1时方程组无解；④无论k为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用代入消元法整理方程后，分情况讨论k的取值，逐一判断四个说法即可．
【解答】解：方程组，
由②得 x＝3﹣y，
把x＝3﹣y代入①整理得2（k﹣1）y＝﹣3（k﹣1），
∵当k＝1时，等式化为0＝0，恒成立，方程组有无数组解，
∴①错误，②正确，③错误；
验证④：把代入方程组，得，满足方程②，
，满足方程①，
∴无论k取何值，该解都满足方程组，④正确，
综上，正确的说法是②④，共2个．
故选：B．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025秋 宝应县期末）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式是 　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
12．（2026 吉首市模拟）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频数分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为8，12，16，20，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约有 　1500　 人．
【答案】1500．
【分析】先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频数，再求出体重不小于60千克的学生人数，最后用总人数乘以样本中体重不小于60千克的学生人数所占比例即可．
【解答】解：前四组的频数依次为8×5＝40、12×5＝60、16×5＝80、20×5＝100，
∴体重不小于60千克的学生人数为400﹣（40+60+80+100）＝120（人），
所以估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约有50001500（人），
故答案为：1500．
13．（2026春 顺义区校级期中）已知|x+y﹣1|+（x﹣2y﹣4）2＝0，则x y＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x+y﹣1|+（x﹣2y﹣4）2＝0，
∴，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴x y＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（2026 洛阳模拟）已知a是4的算术平方根，b是64的立方根，c是的整数部分，则a+b+c＝　9　 ．
【答案】9．
【分析】先根据算术平方根定义求出a，根据立方根的定义求出b，估算的大小，然后确定c，计算代数式的值即可．
【解答】解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴的整数部分为3，即c＝3，
∴a+b+c＝2+4+3＝9．
故答案为：9．
15．（2025秋 金凤区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　135°　 ．
【答案】135°．
【分析】根据角平分线的定义得出∠BOD＝2∠BOF，∠BOF＝∠DOF，根据∠AOD：∠BOF＝4：1求出∠AOD：∠BOD＝4：2，根据邻补角互补求出∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，求出∠AOC＝60°，根据角平分线定义求出∠COE，再求出答案即可．
【解答】解：∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOF，∠BOF＝∠DOF，
∵∠AOD：∠BOF＝4：1，
∴∠AOD：∠BOD＝4：2，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠BOF＝∠DOF30°，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COECOF，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135°．
16．（2026春 顺义区校级期中）已知关于x的不等式组有以下说法：
①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜2；
②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜2，那么a＝﹣3；
③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，1，那么a＝﹣2；
④如果不等式组无解，那么a＞2；
其中所有正确说法的序号是 　①②　 ．
【答案】①②．
【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．
【解答】解：不等式组整理得，
①∵a＝﹣2，
∴它的解集是﹣2≤x＜2，故本小题正确；
②∵不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
∴a＝﹣3，故本小题正确；
③∵不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，1，2，
∴﹣3＜a≤﹣2，故本小题错误；
④∵不等式组无解，
∴a≥2，故本小题错误；
故答案为：①②．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（2025秋 莱州市期末）（）．
【分析】先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：
＝3﹣6（﹣2）
＝3﹣（﹣2）+2
＝3+2+2
＝7．
18．（2025秋 安宁区校级期末）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
①﹣②×3得：8y＝0，
解得：y＝0，
将y＝0代入①得：3x＝6，
解得：x＝2，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理得，
①×3﹣②得：25y＝150，
解得：y＝6，
将y＝6代入②得：3x﹣6＝12，
解得：x＝6，
故原方程组的解为．
19．（2025秋 南通期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数．
【解答】解：（1）∵AC∥DE，
∴∠C＝∠1，
又∵∠AFD＝∠1，
∴∠C＝∠AFD，
∴DF∥BC．
（2）∵∠1＝70°，DF∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝70°，
又∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF＝70°，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝70°．
故∠B的度数为70°．
20．（2025春 苍溪县期末）如图，在方格边长为1的方格纸上画平面直角坐标系，若△ABO内任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0﹣3），用一句话描述该点的平移过程：　将点P先右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点P1 ．
若将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．完成下面问题：
（1）画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】利用点P与P0的坐标特征确定平移的方向与距离；
（1）利用点平移的坐标规律写出A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：故答案为：将点P先右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点P0；
（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（1，1），B1（﹣1，﹣4），C1（4，﹣3）；
（2）△A1B1C1的面积＝5×55×15×23×4＝11.5．
21．（2024春 马尾区期末）某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 　50　 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 　0.32　 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 　72　 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60.5 kg的学生大约有多少名？
【分析】（1）从两个统计图中可得“A组”的频数为4人，占调查人数的8%，根据频率进行计算即可，求出“B组”的频数即可补全统计图；
（2）根据频率进行计算即可，求出“D组”所占的百分比进而求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中体重超过60.5 kg的学生所占的百分比，从而估计总体中体重超过60.5 kg的学生所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
【解答】解：（1）4÷8%＝50（人），
50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12（人），
故答案为：50，补全统计图如下：
（2）“C组”的频率为16÷50＝0.32，
“D组”所对应的圆心角的度数为：36072°，
故答案为：0.32，72；
（3）600216（名），
答：该校600名初三年级的学生体重超过60.5kg大约有216名．
22．（2026 鲁山县二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进2箱复印纸和3箱墨盒共需700元；购进5箱复印纸和2箱墨盒共需760元．
（1）求复印纸和墨盒每箱的价格．
（2）若复印店计划采购复印纸和墨盒共40箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的4倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过5000元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案）
【分析】（1）设复印纸每箱x元，墨盒每箱y元，由题意得，然后解方程组即可；
（2）设购进墨盒m箱，则购进复印纸（40﹣m）箱，由题意得，然后解不等式组即可．
【解答】解：（1）设复印纸每箱x元，墨盒每箱y元，
由题意列二元一次方程组得，，
解得，
即复印纸每箱80元，墨盒每箱180元，
答：复印纸每箱80元，墨盒每箱180元；
（2）设购进墨盒m箱，则购进复印纸（40﹣m）箱，
由题意列一元一次不等式组得，，
解得8≤m≤18，
∵m为整数，
∴18﹣8+1＝11（种），
∴该复印店共有11种采购方案．
23．（2025春 唐县期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式|x|＞2的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出|x|＝2时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式|x|＞2的解集为x＜﹣2或x＞2．
【迁移应用】
（1）填空：|x|＞5的解集是x＜﹣5或x＞5　 ；
（2）求绝对值不等式|x+1|＞3的解集；
（3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，则m的取值范围　﹣4≤m≤2　 ．
【分析】（1）先求出|x|＝5时的x的值，再仿照题意可得答案；
（2）当|x+1|＝3时，则x+1＝3或x+1＝﹣3，分界点把数轴分为三部分：
数﹣4左边的数与数﹣1的差的绝对值大于3；数﹣4和数2之间的数与数﹣1的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与﹣1的差的绝对值大于3，据此可得答案；
（3）把方程组中的两个方程相加可得x+y＝m+1，则|m+1|≤3，同（2）分析可得答案．
【解答】解：（1）当|x|＝5时，x＝±5，
∴根据题意可得|x|＞5的解集是x＜﹣5或x＞5；
故答案为：x＜﹣5或x＞5；
（2）当|x+1|＞3时，则x+1＞3或x+1＜﹣3，
解得x＞2或x＜﹣4，
|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，
分界点把数轴分为三部分：
数﹣4左边的数与数﹣1的差的绝对值大于3；
数﹣4和数2之间的数与数﹣1的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与﹣1的差的绝对值大于3，
∴|x+1|＞3的解集为x＜﹣4或x＞2；
（3）关于x、y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，
，
∴方程组中的两个方程相加可得x+y＝m+1，
∵|x+y|≤3，
∴|m+1|≤3，
当|m+1|＝3时，则m+1＝3或m+1＝﹣3，解得m＝2或m＝﹣4，
|m+1|＝|m﹣（﹣1）|，
分界点把数轴分为三部分：
数﹣4左边的数与数﹣1的差的绝对值大于3；
数﹣4和数2之间的数与数﹣1的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与﹣1的差的绝对值大于3，
∴|m+1|≤3的解集为﹣4≤m≤2．
24．（2025秋 陵水县期末）【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．
请将下列证明过程补充完整：
证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝　∠BAM （角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CMA＝　∠BAM （两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC．
【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数．
【分析】（1）依据题意，由角平分线的定义及平行线的性质即可判断得解；
（2）依据题意，由AM平分∠BAC，结合∠CAM＝∠CMA，从而AB∥CD，故∠AEF＝∠EFD，可得∠EFD＝∠C进而得解．
（3）依据题意，过M作MG∥AC，从而EF∥MG，再结合又MG∥AC，证得∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME，从而求得∠AME．
【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
故答案为：∠BAM，∠BAM．
（2）证明：∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM．
又∠CAM＝∠CMA，
∴∠CMA＝∠BAM．
∴AB∥CD．
∴∠AEF＝∠EFD．
又∠AEF＝∠C，
∴∠EFD＝∠C．
∴EF∥AC．
（3）解：由（2）EF∥AC，过M作MG∥AC，
∴EF∥MG．
∴∠GME＝∠FEM．
又MG∥AC，
∴∠CAM＝∠AMG．
∴∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME．
∵∠CAM＝3∠MEF＝57°，
∴∠MEF＝19°．
∴∠AME＝∠CAM+∠FEM＝57°+19°＝76°．
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