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八年级数学下学期期末模拟试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
范围：新教材人教版八下19-24章（二次根式、勾股定理、四边形、函数、一次函数、数据的分析）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2026春 万州区校级月考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≥2且x≠5 D．x＞2且x≠5
2．（2026 越秀区二模）为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5
3．（2025秋 启东市期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026春 长乐区校级月考）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1的度数是（　　）
A．70° B．60° C．50° D．48°
5．（2026春 巢湖市校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（　　）
A．10 B．15 C．25 D．50
6．（2026 武陟县二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAC＝90°，点E为边BC上一点，且BE＝3CE，若BC＝4，则OE的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（2026春 西城区校级期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
8．（2026春 西城区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（2，0），与y＝x+1的图象交于点P（1，2），则下列说法错误的是（　　）
A．方程kx+b＝0的解是x＝2 B．方程kx+b＝x+1的解是x＝1
C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式kx+b＜x+1的解集是x＜1
9．（2026春 长乐区校级月考）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（　　）
A．甲车的速度是120km/h B．两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
10．（2026春 雁塔区校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：
①PDDF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2026春 海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，b）在函数的图象上，则b＝　 　 ．
12．（2026春 惠城区期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有　 　 个．
13．（2026春 瑞安市期中）按照“组内离差平方和最小”的方法将6个数据分成了两组，第一组是{2，4}，第二组是{5，6，6，7}，则该分组情况下的组内离差平方和是　 　 ．
14．（2026春 龙岗区校级期中）如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合．以直角顶点为圆心，直角边长为半径作弧，交数轴于点A，则点A所表示的数为　 　 ．
15．（2026春 拱墅区月考）如图，矩形ABCD的长AB＝6，宽AD＝8，点G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，点G在运动过程中，线段EF的最小值为　 　 ．
16．（2026春 成华区校级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）B（x2，y2）．若x2﹣x1＝y2﹣y1＝a，a为常数，且a＞0，则称点B为点A的“a级上升点”．如点为点（2，0）的上升点”．若点C为点（﹣2，﹣1）的“1级上升点”，则点C的坐标为　 　 ；若直线上恰有一点的“（n+1）级上升点”在y关于x的函数y＝x﹣3（x≥2）的图象上，则n的取值范围为　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（2026春 北京校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2026春 龙岗区校级期中）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E，F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：CE＝FG；
（2）若AC＝9，AB＝15，CE＝4.5，求△ABC的面积．
19．（2026 碑林区校级三模）2026春晚舞台上，机器人表演节目成一大亮点，《武BOT》惊艳亮相．这不仅是一场精彩的科技表演，更是中国科研能力的集中展现．某科研团队研发时发现此型号机器人的剩余电量y/%与表演时长x/分钟之间存在一次函数关系，相关数据记录如表．
表演时长x/分钟 3 6 10 15
剩余电量y/% 94 88 80 70
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若机器人剩余电量为8%时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟？
20．（2026春 南开区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
21．（2026春 衢江区期中）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查．
收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下：
86～90分评分的具体分值
88 90 87 86 89 88 90 87
线路B的评分情况
分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99
人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1
描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下：
线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差
A 86.5 92 b 18.05
B c a 86 62.9475
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）求出统计表中c的值．
（3）利用表中统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析（至少写两条）．
22．（2026春 北京校级期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简．
例如，，
所以．
请仿照上例化简下列根式．
（1）　 　 ；
（2）　 　 ；
（3）计算：．
23．（2026春 呼兰区期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，0）为x轴上一点，以OA为边作平行四边形ACBO，BC交y轴于点D，OA＝OD，OB＝5．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，点P在线段OB上，连接AP，若线段OP的长为m，△AOP的面积为s，用含m的式子表示s．
（3）在（2）的条件下，如图3，若时，AP交y轴于点F，点E在BC的延长线上，连接AE，若∠E＝2∠OPF+3∠EAC，求点E的横坐标．
24．（2025秋 淮安期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．
例如：一次函数y＝x﹣1，它的“友好函数”为．
【定义2】平面直角坐标系中将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．
已知一次函数y＝2x﹣4，请回答下列问题：
（1）该一次函数的“友好函数”为 　 　 ；
（2）已知点A（a，2）在该一次函数的“友好函数”的图象上，求a的值；
（3）当﹣1≤x≤1时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；
（4）已知直线y＝b与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
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八年级数学下学期期末模拟试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
范围：新教材人教版八下19-24章（二次根式、勾股定理、四边形、函数、一次函数、数据的分析）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2026春 万州区校级月考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≥2且x≠5 D．x＞2且x≠5
【答案】C
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵函数有意义，
∴3x﹣6≥0且x﹣5≠0，
解得x≥2且x≠5．
故选：C．
2．（2026 越秀区二模）为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，5，6，6，7，
故中位数为，出现次数最多的数是5，故这组数据的众数为5，
故选：A．
3．（2025秋 启东市期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减乘除四则运算法则，逐项判断即可．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
4．（2026春 长乐区校级月考）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1的度数是（　　）
A．70° B．60° C．50° D．48°
【答案】D
【分析】如图所示，根据正多边形的各外角都相等，外角和为360°，可以求出∠2和∠3的度数，然后再根据三角形的内角和定理，即可求出∠1的度数．
【解答】解：如图所示，
∵正多边形的各外角都相等，外角和为360°，
∴∠2＝360°÷5＝72°，∠3＝360°÷6＝60°，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠3
＝180°﹣72°﹣60°
＝108°﹣60°
＝48°．
故选：D．
5．（2026春 巢湖市校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（　　）
A．10 B．15 C．25 D．50
【答案】D
【分析】直角三角形中，两直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，据此可得a2+b2＝c2，再代值计算即可得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝2c2，
∵c＝5，
∴a2+b2+c2＝2×52＝50，
故选：D．
6．（2026 武陟县二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAC＝90°，点E为边BC上一点，且BE＝3CE，若BC＝4，则OE的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】取BC中点F，连接OF，可知CF＝2，根据平行四边形的性质得到O是AC的中点，根据三角形中位线定理得到OF∥AB，可知∠FOC＝∠BAC＝90°，证明E是CF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OE的长．
【解答】解：如图，取BC中点F，连接OF，可知CF＝2，
∵在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是AC的中点，
∴OF是△ABC中位线，
∴OF∥AB，
∴∠BAC＝∠FOC＝90°，
∵BE＝3CE，
∴CE＝1，
即E是CF的中点，
∴若BC＝4，．
故选：A．
7．（2026春 西城区校级期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，可得四边形DCBE是矩形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝∠B＝∠DCB＝90°，
∴四边形DCBE是矩形，
∴BE＝CD＝1.1米，DE＝CB＝1.2米（矩形的性质），
∵AE＝AB﹣BE＝1.6﹣1.1＝0.5（米），
∴（米）．
则该感应器感应长度AD为1.3米，
故选：B．
8．（2026春 西城区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（2，0），与y＝x+1的图象交于点P（1，2），则下列说法错误的是（　　）
A．方程kx+b＝0的解是x＝2 B．方程kx+b＝x+1的解是x＝1
C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式kx+b＜x+1的解集是x＜1
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线y＝kx+b在直线y＝x+1下方的部分的自变量取值解答D．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，
所以方程y＝kx+b＝0的解是x＝2，则A正确，不符合题意；
∵一次函数y＝kx+b的图象和一次函数y＝x+1的图象交于点（1，2），
∴当x＝1时，两个函数值相等，
即方程kx+b＝x+1的解是x＝1，则B正确，不符合题意；
方程组的解是，则C正确，不符合题意；
不等式kx+b＜x+1的解集是x＞1，则D错误，符合题意；
故选：D．
9．（2026春 长乐区校级月考）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（　　）
A．甲车的速度是120km/h B．两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
【答案】C
【分析】由图象可知两车起始距离为60，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【解答】解：乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，
甲车出发1.5小时就追上乙，因此速度差为60÷1.5＝40千米/小时，
故甲车的速度为100千米/小时，故选项A不合题意；
甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷40＝2（小时），
甲车行全程需要2+1.5＝3.5（小时），
全程为100×3.5＝350千米，故选项B不合题意；
此时乙车出发3.5+1＝4.5（小时），故选项C符合题意；
甲车休息小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5＝5（小时），
此时乙车距B地350﹣60×5＝50（千米），
返回时相遇时间为50÷（100+60）小时，
此时甲车行驶的时间为3.5+0.54（h），故选项D不合题意．
故选：C．
10．（2026春 雁塔区校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：
①PDDF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】①先证△PDF是等腰直角三角形，则PDDF，即可判断；
②先证明△PEB是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长＝2BC＝8，即可判断；
③证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，当AP⊥BD时，垂线段最短，即可判断；
④证明Rt△AMP≌Rt△FPE，得到∠BAP＝∠PFE，进而求解．
【解答】解：如图，连接PC，
①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，
∴∠PDC＝45°，
又∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
∴△PDF为等腰直角三角形，
∴PDDF，故①正确；
②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，
∴PE＝BE，
∵∠PEC＝∠ECF＝∠PFC＝90°
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；
③∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
当AP最小时，EF最小，
∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即APBD＝2时，EF的最小值等于2；故③错误；
④延长FP交AB于M，延长AP交EF于H，
∵AB∥CD，PF⊥CD，
∴FM⊥AB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴∠PHF＝90°，
∴AP⊥EF，故④正确；
综上，①②④正确．故选：B．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2026春 海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，b）在函数的图象上，则b＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入求值即可．
【解答】解：根据函数图象上点的坐标满足函数解析式可知：
点P（3，b）在函数的图象上，
∴．
故答案为：2．
12．（2026春 惠城区期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有　1　 个．
【答案】1．
【分析】根据最简二次根式的概念，先将各二次根式化简，再判断符合条件的个数即可．
【解答】解：，故不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式，符合题意；
，故不是最简二次根式，不符合题意；
，故不是最简二次根式，不符合题意；
，故不是最简二次根式，不符合题意．
综上，最简二次根式只有1个．
故答案为：1．
13．（2026春 瑞安市期中）按照“组内离差平方和最小”的方法将6个数据分成了两组，第一组是{2，4}，第二组是{5，6，6，7}，则该分组情况下的组内离差平方和是　4　 ．
【答案】4．
【分析】先分别计算出两组的平均数，然后套用方差公式算出每组的离差平方和，最后将两组的结果相加即可．
【解答】解：第一组：平均值为3，
组内离差平方和为（2﹣3）2+（4﹣3）2＝2．
第二组：平均值为6，
组内离差平方和为（5﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2＝2．总组内离差平方和：2+2＝4．
故答案为：4．
14．（2026春 龙岗区校级期中）如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合．以直角顶点为圆心，直角边长为半径作弧，交数轴于点A，则点A所表示的数为　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【分析】结合图形由勾股定理求出CB的长，根据同圆的半径相等得出CA的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可．
【解答】解：如图，
由勾股定理得BC，
∴CA＝CB，
∵点C表示﹣1，
∴点A所表示的数为﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（2026春 拱墅区月考）如图，矩形ABCD的长AB＝6，宽AD＝8，点G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，点G在运动过程中，线段EF的最小值为　4.8　 ．
【答案】4.8．
【分析】根据EF＝GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD，
连接CG，
，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
∴当CG最小时，EF最小，
∴当CG⊥BD时，CG最小，
∵，
∴，
∴CG＝4.8，
∴EF最小值为4.8，
故答案为：4.8．
16．（2026春 成华区校级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）B（x2，y2）．若x2﹣x1＝y2﹣y1＝a，a为常数，且a＞0，则称点B为点A的“a级上升点”．如点为点（2，0）的上升点”．若点C为点（﹣2，﹣1）的“1级上升点”，则点C的坐标为　（﹣1，0）　 ；若直线上恰有一点的“（n+1）级上升点”在y关于x的函数y＝x﹣3（x≥2）的图象上，则n的取值范围为n＞﹣1　 ．
【答案】（﹣1，0），n＞﹣1．
【分析】根据新定义及一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：根据新定义可知点C的坐标为（﹣2+1，﹣1+1）即（﹣1，0）；
设直线上恰有一点为P（t，），t≥0，则“（n+1）级上升点”Q（t+n+1，），即Q（t+n+1，），
∵点Q（t+n+1，）在y＝x﹣3（x≥2）图象上，
∴，
解得t＝2，
∵x≥2，
∴xQ＝n+3≥2，
∵恰有一点的“（n+1）级上升点”
∴n+3＞2，
解得n＞﹣1．
故答案为：（﹣1，0），n＞﹣1．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（2026春 北京校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可；
（2）根据二次根式的运算法则化简即可；
（3）根据二次根式的运算法则化简即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
18．（2026春 龙岗区校级期中）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E，F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：CE＝FG；
（2）若AC＝9，AB＝15，CE＝4.5，求△ABC的面积．
【分析】（1）由角平行线的性质推出FG＝FC，由等角对等边得到CE＝CF，即可证明CE＝FG．
（2由勾股定理求出BC12，即可求出△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，FG⊥AB，FC⊥AC，
∴FG＝FC，
∵CD是AB的高，
∴∠EDA＝∠ACF＝90°，
∵∠EAD＝∠CAF，
∴∠AED＝∠AFC，
∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG．
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，
∴BC12，
∴△ABC的面积AC×BC9×12＝54．
19．（2026 碑林区校级三模）2026春晚舞台上，机器人表演节目成一大亮点，《武BOT》惊艳亮相．这不仅是一场精彩的科技表演，更是中国科研能力的集中展现．某科研团队研发时发现此型号机器人的剩余电量y/%与表演时长x/分钟之间存在一次函数关系，相关数据记录如表．
表演时长x/分钟 3 6 10 15
剩余电量y/% 94 88 80 70
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若机器人剩余电量为8%时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟？
【分析】（1）先判断y是x的一次函数，再设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出y＝8时的自变量的值即可．
【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，
设y＝kx+b（k≠0），把（3，94），（6，88）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+100；
（2）在y＝﹣2x+100中，令y＝8得，﹣2x+100＝8，
解得：x＝46；
∴该机器人在充满电后最长表演时长为46分钟．
20．（2026春 南开区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
【分析】（1）首先通过角平分线的定义和平行四边形的性质，平行线的性质得出∠BAC＝∠ACB，则有AB＝BC，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）首先根据题意和菱形的性质证明四边形OCPD是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴．
21．（2026春 衢江区期中）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查．
收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下：
86～90分评分的具体分值
88 90 87 86 89 88 90 87
线路B的评分情况
分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99
人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1
描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下：
线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差
A 86.5 92 b 18.05
B c a 86 62.9475
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中a＝　82　 ，b＝　87　 ．
（2）求出统计表中c的值．
（3）利用表中统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析（至少写两条）．
【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序，通过中间两个数的平均数求出中位数b；
（2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c；
（3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议．
【解答】解：（1）线路B收集的评分中出现次数最多的是a＝82，
，
故答案为：82；87；
（2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c可得：
（分），
答：统计表中c的值为86.45分．
（3）从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B；
从众数来看，线路A中92分＞82分，说明线路A大众满意度优于线路B；
从中位数来看，88分＞86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B；
从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大．
22．（2026春 北京校级期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简．
例如，，
所以．
请仿照上例化简下列根式．
（1）　1　 ；
（2）　　 ；
（3）计算：．
【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）原式
．
23．（2026春 呼兰区期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，0）为x轴上一点，以OA为边作平行四边形ACBO，BC交y轴于点D，OA＝OD，OB＝5．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，点P在线段OB上，连接AP，若线段OP的长为m，△AOP的面积为s，用含m的式子表示s．
（3）在（2）的条件下，如图3，若时，AP交y轴于点F，点E在BC的延长线上，连接AE，若∠E＝2∠OPF+3∠EAC，求点E的横坐标．
【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得BD＝3，得B（﹣3，4），进而得C（1，4）．
（2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出；
（3）由得m＝4，推出△OAP为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出EA为∠CAH的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出，求得CE，从而算出E的横坐标．
【解答】解：（1）由A（4，0）得OA＝4，
又∵OA＝OD，
故D（0，4）．
∵四边形ACBO为平行四边形，
∴BC∥OA且BC＝OA＝4．
∴∠BDO＝∠DOA＝∠CDO＝90°，
∵OB＝5，
∴，
∴B（﹣3，4），CD＝BC﹣BD＝1，
∴C（1，4）；
（2）如图，连接AB，
∵，
∴△AOP的面积为，
（3）当时，即，
解得m＝4，即OP＝4，
∴OP＝AO，
∴∠OPA＝∠PAO，
∵四边形ACBO为平行四边形，
∴OB＝AC＝5，OB∥AC，BC∥OA，
∴∠CAP＝∠OPA，∠CEA+∠EAO＝180°，
∴∠CAP＝∠OAP＝∠OPA，
∴∠EAO＝2∠OPF+∠EAC，
∵∠CEA＝2∠OPF+3∠EAC，
∴2∠OPF+3∠EAC+2∠OPF+∠EAC＝180°，
∴2∠OPF+2∠EAC＝90°，
过点A作AH⊥BE，垂足为H，过点E作EG⊥AC，垂足为G，
∴∠OAH＝90°，
∴∠EAH＝90°﹣∠EAO＝（2∠OPF+2∠EAC）﹣（2∠OPF+∠EAC）＝∠EAC，
即EA是∠CAH 的角平分线，
∴EH＝EG，
∵，S△AHE，
∴，
又∵∠DOA＝∠CDO＝90°，
∴四边形OAHD是矩形，
∴AH＝OD＝4，DH＝OA＝4，
∴，CH＝DH﹣CD＝4﹣1＝3，
∴CECH，
∴DE＝CD+CE＝1，即点E的横坐标为．
24．（2025秋 淮安期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．
例如：一次函数y＝x﹣1，它的“友好函数”为．
【定义2】平面直角坐标系中将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．
已知一次函数y＝2x﹣4，请回答下列问题：
（1）该一次函数的“友好函数”为 y　 ；
（2）已知点A（a，2）在该一次函数的“友好函数”的图象上，求a的值；
（3）当﹣1≤x≤1时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；
（4）已知直线y＝b与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当x≥0时，y＝2x﹣4，从而当x＜0时，y＝﹣2x+4，进而可以判断得解；
（2）依据题意，分a≥0和a＜0，结合点A（a，2）在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出a，即可得解；
（3）根据相关函数的增减性结合x的范围求得最值；
（4）依据题意，画出一次函数y＝2x﹣4的“友好函数”y的图象，进而结合直线y＝b与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，故可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，根据“友好函数”的定义，∵当x≥0时，y＝2x﹣4，
∴当x＜0时，y＝﹣2x+4．
∴该一次函数y＝2x﹣4的“友好函数”为y．
故答案为：y．
（2）由题意，①当a≥0时，∵点A（a，2）在该一次函数的“友好函数”的图象上，
∴2a﹣4＝2．
∴a＝3，符合题意．
②当a＜0时，∵点A（a，2）在该一次函数的“友好函数”的图象上，
∴﹣2a+4＝2．
∴a＝1＞0，不符合题意．
综上，a＝3．
（3）如图，由题意，
当x＝﹣1时，y有最大值6，
当x＝0时，y有最小值﹣4；
综上，该一次函数的“友好函数”的最大值为6，最小值为﹣4．
（4）由题意，画出一次函数y＝2x﹣4的“友好函数”y的图象如下．
∵直线y＝b与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，
∴﹣4≤b≤4．
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