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2026 年湖南初中学业水平考试押题试卷
数学参考答案
(三)
1—5 BADBD　 6—10 ACADD
11、4(答案不惟一)　 12、x≠2　 13、1　 14、60　 15、4 2 　 16、(1)π;(2) 1
13 2
17、解:原式= 1-3+5-2× 1 = 1-3+5-1 = 2.
2
a2 - - 2 2 -18、 : 1 1 (a 2) a (a 2)
2 a-2
解 原式= ( +- - )· 2
= · 2 =- - ;a 1 a 1 a (a-2) a 1 a (a-2) a 1
∵ a2 -
- -
4 = 0,a-2≠0,∴ a= -2, = 2 2 = 4原式 - - .2 1 3
19、(1)证明:连接 OC,∵ AB 是☉O 的直径,
∴ ∠ACB= 90°,∴ ∠A+∠ABC= 90°.
∵ OB=OC,∴ ∠ABC= ∠OCB,
∵ ∠BCD= ∠A,∴ ∠BCD+∠OCB= 90°,
即∠OCD= 90°,∴ OC⊥CD,
∵ OC 为☉O 的半径,∴ CD 是☉O 的切线;
(2)解:∵ 点 B 是 AD 的中点,∴ BD=AB= 2OC.
∵ OB=OC,∴ OD=OB+BD= 3OC,∴ OC = 1 ,
OD 3
∵ BE⊥AD,∴ ∠DBE= 90°,
BE OC 1
又∵ ∠OCD= 90°,∴ sinD= = = ,∴ DE= 3BE= 9,
DE OD 3
在 Rt△DBE 中,BD= DE2 -BE2 = 92 -32 = 6 2 ,
∴ OC= 3 2 ,即☉O 半径为 3 2 .
20、解:(1)200,144;
(2)B 软件的人数为:200-80-20-40 = 60(人),
补全条形统计图如下:
(3)画树状图如下:
共有 12 种等可能的结果,其中恰好抽到使用 A、B 两类软件各 1 人的结果有 6 种,
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∴ 6 1恰好抽到使用 A、B 两类软件各 1 人的概率为 = .
12 2
21、解:由题意得,四边形 FGAB,四边形 NHAG 为矩形,
∴ FG=AB=AD+BD= 10+4 = 14m,NG=AH=AD+DB+BH= 4+10+13. 5 = 27. 5m,
∵ 在 Rt△EFG 中,tan∠EFG=EG,
FG
∴ tan43° =EG≈0. 93,
14
∴ EG= 14×0. 93 = 13. 02m,
在 Rt△MNG 中,tan∠MNG=MG,
NG
∴ tan21. 8 = MG ≈0. 40,
27. 5
∴ MG= 1lm,
∴ EM=EG-MG= 13. 02-11 = 2. 02m,
答:校徽的高度约为 2. 02m.
22、解:(1)设甲种路灯的单价是 x 元,乙种路灯的单价是 y 元,
:{x+2y= 220 x= 60根据题意得 4y-3x= 140,解得:{y= 80.
答:甲种路灯的单价是 60 元,乙种路灯的单价是 80 元;
(2)设购买 m 盏甲种路灯,该社区购买甲、乙两种路灯共花费 w 元,则购买(40-m)盏乙种路
灯,
根据题意得:w= 60m+80(40-m)= -20m+3200,
∵ -20<0,∴ w 随 m 的增大而减小,
∵ m≤ 1又 (40-m),∴ m≤10,
3
∴ 当 m= 10 时,w 取得最小值,此时 40-m= 40-10 = 30(盏) .
答:当购买 10 盏甲种路灯,30 盏乙种路灯时,所需费用最少.
23、解:(1)∵ ∠BAD= ∠ABC= ∠BDC= 90°,∴ AD∥BC,
∴ ∠ADB= ∠DBC,∴ △ADB∽△DBC,∴ AD = AB,
BD CD
∵ ∠BAD= 90°,AD= 2,AB= 4,∴ BD= 22 +42 = 2 5 ,
∴ 2 = 4 ,∴ CD= 4 5 ;
2 5 CD
(2)①四边形 DBA′F 是矩形,理由如下,
由折叠的性质得∠A= ∠A′= 90°,∠ABD= ∠A′BD′,
∵ ∠ABD+∠DBC= ∠ABC= 90°,
∴ ∠A′BD= ∠A′BD′+∠DBC= 90°,
∴ 四边形 DBA′F 是矩形;
②延长 AD 和 A′D′相交于点 Q,连接 BQ,
由折叠的性质得∠A= ∠A′= 90°,∠ABD= ∠A′BD′,∠EBD= ∠EBD′,
∵ 点 A′恰好落在边 BC 上,
∴ AB=A′B= 4,∠ABA′= 90°,
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∴ 四边形 ABA′Q 是矩形,
∵ AB=A′B= 4,
∴ 四边形 ABA′Q 是正方形,
∵ ∠ABE= ∠ABD+∠EBD = ∠A′BD′+∠EBD′ = ∠A′BE = 0. 5 ×
90° = 45°,
∴ 点 E 在对角线 BQ 上,
∴ DQ=AQ-AD= 2,BC= BD2 +CD2 = (2 5 ) 2 +(4 5 ) 2 = 10,
∵ 四边形 ABA′Q 是正方形,
∴ AQ∥CB,
∴ △DQE∽△CBE,
∴ DE=DQ= 2 = 1 ,
CE BC 10 5
∴ DE= 1 CD= 2 5 ;
6 3
(3)由折叠的性质得∠EBD= ∠EBD′,BD=BD′,
∴ BE 是线段 DD′的垂直平分线,
∴ ∠BPD= 90°,
∴ 点 P 在以 BD 为直径的☉O 上,连接 OC,OP,
∴ CP≥OC-OP,即点 P 在 OC 上时,线段 CP 存在最小值,
∵ OC= OD2 +CD2 = ( 5 ) 2 +(4 5 ) 2 = 85 ,
线段 CP 的最小值为 85 - 5 .
24、解:(1)∵ 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象经过 A( -3,0),B(1,0),C(0,-3)三点,
{9a-3b+c= 0∴ a+b+c= 0 ,
c= -3
{a= 1∴ b= 2 ,
c= -3
∴ 抛物线解析式为 y= x2 +2x-3;
(2)设直线 AC 的解析式为 y= kx+b1(k≠0),
∵ A( -3,0),C(0,-3),
{-3k+b1 = 0∴ b1 = - ,3
∴ {k= -1b ,1 = -3
∴ 直线 AC 的解析式为 y= -x-3;
如图所示,过点 P 作 PE∥y 轴交 AC 于 E,连接 AP,CP,
设 P(p,p2 +2p-3)( -3∴ PE= -p-3-(p2 +2p-3)= -p2 -3p= -(p+ 3 ) 2 + 9 ;
2 4
∵ S△ACP =S△APE+S△CPE,
∴ S = 1△ACP PE·(xE-xA) +
1 PE·(xC-x )2 2 E
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= 1 PE·(xC-x
1
A)= PE·[0-( -3)] =
3 PE,
2 2 2
∴ 当 PE 有最大值时,S△ACP 有最大值,
∵ PE= -(p+ 3 ) 2 + 9 ,-1<0,-32 4
∴ 3 3 9当 p+ = 0,即 p= - 时,PE 有最大值,最大值为 ,
2 2 4
∴ S 3 9 27△ACP 的最大值为 × = ,2 4 8
∵ A( -3,0),C(0,-3),
∴ OA=OC= 3,∠AOC= 90°,
∴ AC= OA2 +OC2 = 3 2 ;
设点 P 到直线 AC 的距离为 h,
∴ S 1△ACP = AC·h=
3 2 h,
2 2
∴ h= 2 S
3 △ACP
,
∵ 当 S△ACP 有最大值时,h 有最大值,
∴ h 2 ×27 = 9 2的最大值为 ,
3 8 8
∴ 9 2点 P 到直线 AC 的最大距离为 ;
8
(3)如图所示,当点 Q 在 x 轴下方时,设抛物线对称轴交 x 轴于 H,过点 D 作 DG⊥QH 交直线
QH 于 G,
∵ 抛物线解析式为 y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4,
∴ 抛物线对称轴为直线 x= -1,
∴ H( -1,0),
∴ OH= 1;
∵ A( -3,0),
∴ AH= -1-( -3)= 2;
设点 Q 的坐标为( -1,q),则 QH= -q;
由旋转的性质可得∠AQD= 90°,
又∵ ∠AHQ= ∠QGD= 90°,
∴ ∠HAQ+∠HQA= ∠HQA+∠GQD= 90°,
∴ ∠HAQ= ∠GQD,
又∵ AQ=QD,
∴ △HAQ≌△GQD(AAS),
∴ DG=QH= -q,QG=AH= 2,
∴ HG=QH+QG= 2-q,
∴ 点 D 的横坐标为-1-( -q)= -1+q,纵坐标为-(2-q)= q-2,
∴ D( -1+q,q-2),
∵ 点 D 在抛物线上,
∴ ( -1+q) 2 +2( -1+q) -3 = q-2,
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∴ q2 -2q+1-2+2q-3 = q-2,
∴ q2 -q-2 = 0,
解得 q= -1 或 q= 2(舍去),
∴ 此时点 Q 的坐标为( -1,-1);
如图所示,当点 Q 在 x 轴上方时,过点 Q 作 RS∥x 轴,分别过点 A,点 D 作直线 RS 的垂线,垂足
分别为 R、S,设点 Q 的坐标为( -1,q),
∴ ∠R= ∠S= 90°;
由旋转的性质可得∠AQD= 90°,
∴ ∠RAQ+∠RQA= ∠RQA+∠SQD= 90°,
∴ ∠RAQ= ∠SQD,
又∵ AQ=QD,
∴ △RAQ≌△SQB(AAS),
∴ QS=AR= q,DS=QR= -1-( -3)= 2,
∴ 点 D 的横坐标为-1+q,纵坐标为 q-2,
∴ D( -1+q,q-2),
∵ 点 D 在抛物线上,
∴ ( -1+q) 2 +2( -1+q) -3 = q-2,
∴ q2 -2q+1-2+2q-3 = q-2,
∴ q2 -q-2 = 0,
解得 q= 2 或 q= -1(舍去),
∴ 此时点 Q 的坐标为( -1,2);
综上所述,存在点 Q 使 AQ=QD,此时点 Q 的坐标为( -1,-1)或( -1,2) .
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