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(共13张PPT)
1.2.5 有理数的大小比较
1.通过探究得出有理数大小的比较方法.（重点）
2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.（难点）
1、什么叫做绝对值？
数轴上表示一个数的点与原点的距离，就是这个数的绝对值．
2、到原点的距离为3的点有几个？它们分别表示什么数？
2个，分别表示+3，-3．
3、请比较下列几组数的大小：

＞
＞
＜
如图，给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少 最高气温呢 你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周天
0-8℃ 1-7℃ -1-6℃ -2-5℃ -4-3℃ -3-4℃ 2-9℃
七天中的最低气温按照从低到高的顺序排序为：
-4<-3<-2<-1<-0<1<2
数轴表示为
从左至右逐渐增大
按照这个顺序排列的温度，在竖直温度计上所对应的点是从下到上的.按照这个顺序，你能把这些数表示在数轴上吗？能发现什么规律？
小 大
利用数轴比较大小：
在水平数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.


例2 已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　)
A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a
C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b
解：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D.
D
结论：
（1）正数大于0，
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
负数小于0，
正数大于负数；
例如，1 0,0 -1,1 -1，-1 -2.
对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？
利用法则比较大小：
＞
＞
＞
＞
例3 比较下列各组数的大小：
（1）5和－2； （2）－3和－7；
（3）－(－1)和－(＋2)； （4）－(－0.5)和|－1.5|.
解：(1)因为正数大于负数，所以5＞－2.
(2)先求绝对值，|－3|=3,|－7|=7.因为3＜7,
即|－3|＜|－7|,所以－3＞－7.
（3）先化简，－(－1)=1,－(+2)＝－2.因为正数大于负数，
所以1＞－2,即－(－1)＞－(+2).
(4)先化简，－(－0.5)＝0.5,|－1.5|＝1.5.因为0.5＜1.5,
所以－(－0.5)＜|－1.5|.
例4 设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　)
A．0，－1，1 B．1，0，－1
C．1，－1，0 D．0，1，－1
A
通过本题我们了解到利用绝对值可以比较两个负有理数的大小．
比较两个负数大小的步骤：
第一步：分别求出两个负数的绝对值；
第二步：比较求出的绝对值的大小；
第三步：两个负数，绝对值大的反而小．

D
＞
＞


利用数轴比较大小
有理数大小的比较
利用法则比较大小(共12张PPT)
1.2.1 有理数的概念
1.掌握有理数的概念.（重点）
2.会对有理数按一定的标准进行分类.（重点）
3.了解0在有理数分类中的作用.（重点）
通过前面的学习，我们已经知道很多不同类型的数，回想一下我们学过哪些数？你是怎么划分的？
请观察下列一组数：

以上各数，哪些时小学学过的数？它们可以分为哪几类？试说出名称.
我们以前学过的数，
－1，－2，－3，…称为负整数；
像1，2，3，…称为正整数；
特别提示：0既不是正数，也不是负数！
正整数、0、负整数统称为整数.
思考 2，-3,0是否也可以写成分数的形式？
整数可以写成分数的形式.


我们还学习过的：
可以写成分数形式的数称为有理数.
其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，
可以写成负分数形式的数为负有理数.

D



D
C
1.下列说法正确的是( )
A．一个有理数不是正数就是负数
B．正有理数和负有理数组成有理数
C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数
D．负整数和负分数统称为负有理数
D
D
2．下面各数中，既是分数，又是正数的是( )
A．5 B．－2.25 C．0 D．8.3

负数集合
整数集合
－2 022，－1，
－30，

0,15，
定义
有理数
1.按定义分类
2.按性质分类
分类
注意0的特殊性，分类时不要遗漏0．(共14张PPT)
1.2.4 绝对值
1.理解绝对值的概念及性质.（难点、重点）
2.会求一个有理数的绝对值.
1.在数轴上分别表示－5，3.5，0及它们的相反数所对应的点．
2．在数轴上找出与原点的距离等于6的点．
3．什么是相反数？
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
规定：0的相反数是0.
3
-5
0
1
2
-1
-2
4
-3
-4
6
-10
0
2
4
-2
-4
8
-6
-8
两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A,B两地，它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相同吗？
－10
10
0
O
B
A
解析：以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置
则A、B两点与原点距离分别是10km，行驶路线不相同，它们行驶的路程相同
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记|a|.(这里的数a可以是正数、负数和0).
－10
10
0
O
B
A
-10到原点的距离是10,所以-10的绝对值是10,记做|-10|=10
10到原点的距离是10,所以10的绝对值是10,记做|10|=10
0到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记做|0|=0
注意：任何数都有绝对值，并且只有一个，数a的绝对值，是表示它的点到原点的距离.因为距离不可能是负数，所以数a的绝对值为非负数，即|a|≥0.


例2 若|x|＝2 024，则x＝ .
2024或－2024
方法点拨：根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示数x的点与原点的距离为2 024 个单位长度，即可确定x的值.
思考：
一个正数的绝对值是
一个负数的绝对值是
0的绝对值是
问题：观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点？
|5|=5
|3.5|=3.5
|-3|=3
|-4.5|=4.5
|0|=0
它本身
它的相反数
0

注意 任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0
绝对值的性质：
非负性
问题：相反数、绝对值的联系是什么？
互为相反数的两个数的绝对值相等.
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
|-5|=5
|+5|=5
互为相反数，符号相反
绝对值相等
例3 若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值
解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，
又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，
所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，
所以a＝3，b＝2015.
注意 如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
1.下列四组数中不相等的是( )
A．－(＋3)和＋(－3) B．＋(－5)和－5
C．＋(－7)和－(－7) D．－(－1)和|－1|
2．一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是( )
A．1 B．＋1，－1，0
C．1或－1 D．非负数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.绝对值小于2的整数有 个，它们分别是 ．
C
D
3
±1,0


定义
绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距
离叫做数a的绝对值，记作|a|
性质
(共19张PPT)
1.2.3 相反数
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.(重点)
2.会求有理数的相反数.（难点）
复习数轴，指出：用数轴上的点表示数可以帮助我们从形的视角更好的认识数，进而发现某些数具有的一些特殊性质．
问题：在数轴上与原点距离是2的点有几个？这些点各表示哪个数？
在数轴上与原点距离是2的点有2个；
分别为＋2和－2.


符号不同
如果设a是一个正数，数轴上与原点距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
归纳 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示-a和a，如图，这两个数只有符号不同.

定义：


结合数轴考虑：
0 的相反数是_____；
一个正数的相反数是一个　　　；
一个负数的相反数是一个　　　；
负数
正数
相反数是它本身的数是______．
0
0
a的相反数是　　　；
－a
相反数的性质：
0
-1
1
在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观察这两个点具有怎样的特征？
位于原点两侧，且到原点的距离相等.
5
-5
a
-a
数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什么特点？
借助数轴填一填：
1. 数轴上到原点距离是 2 的点有____个，这些点表示的
数是________；
2. 与原点的距离是 5 的点有____个，这些点表示的数是
________.
0
1
2
-2
两
2 和 -2
5 和 -5
两
5
-5
1. 互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)；
几何意义
3. 一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是 a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示数－a 和 a，我们说这两点关于原点对称.
2. 互为相反数的两个数到原点的距离相等；
例2 (1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________．
(2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，
B＝______．
互为相反数
3或－3
－6.4
6.4
例3 如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为(　　)
A．2 B．－4 C．－1 D．0
解析：由题意如图，
数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，∴点C所表示的数为－1，故应选C.
C
问题1：a 的相反数是什么？
在这个数前加一个“－”号.
问题2：如何求一个数的相反数？
a 的相反数是 －a ， a 可表示任意有理数.
－(＋1.1) 表示什么？－(－7) 呢？－(－9.8) 呢？它们的结果应是多少？
问题3：若把 a 分别换成 ＋5，－5，0 时，这些数的相反数怎样表示？
a ＝＋5， －a = －(＋5)
a = －5， －a = －(－5)
a = 0， －a = 0
思考：如果在一个数前面加上“＋”号所得到的结果是什么呢？
归纳 容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数，在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数.
在一个数前面加上“＋”号所得到的结果仍是它本身
例4 化简下列各数（先读后写）
(1) －(－3)； (2)－(＋2)； (3)＋(－8)；
(4)－[＋(－2)]； (5)－{－[－(＋a)].
解：(1) －(－3) = 3.
(2) －(＋2) = －2.
(3) ＋(－8) = －8.
(4) －[＋(－2)] =－(－2)=2.
(5) －{－[－(＋a)] =－［－(－a)］=－a.
归纳 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.
由内向外依
次去括号
B


0
负数
正数
0
1


定义
相反数
代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数
相反数的应用
多重符号化简
几何意义：在原点两旁，到原点的距离相等
规定
在原数前面加负号，0的相反数是0(共17张PPT)
1.2.2 数轴
1.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.(重点)
2.会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.(难点)
3.体会数轴三要素和有理数（实数集）中0，1和数的符号之间的对应关系
温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗 尝试读出图中两个温度计所表示的温度.
问题1：温度计中“0”刻度线有什么作用
问题2：两个温度计上显示的温度分别是多少？
0刻度线表示0°C，是温度的基准点.
－20℃，+40℃
0
把温度计平放，我们能从中发现什么？
零下
零上
分刻度
思考：你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗
在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
图中没有表示出来东西方向，那我们怎样表示出东西方向呢？
东西方向可以用前面我们学过的相反意义的量来表示.
画一条水平直线，在直线上任取一点表示数 0，并把这个点叫做原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴.
-2 -1 0 1 2 3
0
①
0
0
1
2
3
-1
-2
-3
②
③
数轴的画法：
1. 在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点；
2. 通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，
从原点向左 (或下) 为负方向；
3. 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···.
画数轴注意事项：
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
0
-3 -2 -1 1 2 3

1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？
2.每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？
解:(1)正确；
(2)(3)(4)都不正确. 其出错之处分别是：
(2)中的数轴缺少原点；
(3)中的数轴负半轴上所标的负数的顺序不对，应将“－2”写在“－1”的左边；
(4)中的数轴上的单位长度不统一.
例1 判断下列数轴是否正确. 如果不正确，请指出错在哪里.
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度．
右
a
a
左
例2 如图，数轴上的点A，B，C，D 分别表示哪个有理数？

解：如图所示.
例4 数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是(　　)
A．5 B．±5 C．7 D．7或－3
D
1.在数轴上表示－1.2的点在( )
A．－1与0之间 B．－2与－1之间
C．1与2之间 D．－1与1之间
2．在数轴上点A表示的数是－4，如果把原点向负方向移动1.5个单位长度，那么在新数轴上点A表示的数是( )
A．－5 B．－4 C．－2 D．2
3．数轴上表示－8的点在原点的左侧，距离原点8个单位长度；数轴上点P距原点5个单位长度，且在原点的左侧，则点P表示的数是 ．
B
C
－5
4．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E所表示的数．
解：点A，B，C，D，E所表示的数分别是0，－2，1，2.5，－3.
定义
数轴
一是知数画点，
二是知点读数．
数轴的“两点应用”：
数轴上的点与有理数间的关系
三要素(共20张PPT)
第一章 有理数
棉花产量比上年增长7.8%,玉米产量比上年减少0.7%.
某公司今年7月份盈利50万元，8月份亏损10万元.
北京冬季某一天的最高气温为零上3摄氏度，最低气温为零下3摄氏度；
能用数表示温度、增长减少、盈利亏损的变化吗？
上面的问题都涉及意义相反的两个量，为了能用数表示像这样具有相反意义的两个量，需要引入负数.本章我们将认识负数的意义，把数的范围扩大到有理数，并在有理数范围内研究数的表示和大小比较等.
1.1 正数和负数
1.了解正数与负数是从实际需要中产生的.
2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法.
3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点）
在我国古代，由记数、排序，产生数 1,2,3...
观察下列图片，体会数的产生和发展过程.
在古印度，由表示“没有”“空位”，产生数 0
？
在北京冬季某一天的最高气温为零上3摄氏度，最低气温为零下3摄氏度，如何用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”？
温度比0℃高，称为零上温度；温度比0℃低，称为零下温度，零上和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量.
从天气预报中可以看出，零上3摄氏度用3℃表示，零下3摄氏度则用-3℃表示，这里出现了“-3”.
(1)某公司今年7月份盈利50万元，8月份亏损10万元.该公司在记账时如何用数分别表示“盈利50万元”和“亏损10万元”
(2)某年，我国棉花产量比上年增长7.8%,玉米产量比上年减少0.7%.统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长7.8%”和“减少0.7%”
增长的百分率和减少的百分率是具有相反意义的量，如果用7.8%表示增长7.8%,就可以用-0.7%表示减少0.7%.
盈利额和亏损额是具有相反意义的量，如果用50万元表示盈利50万元，就可以用一10万元表示亏损10万元.
在数学中，像3，50，,7.8%，这样大于0的数叫做正数.像－3，－10，－0.7%这样在正数前加上符号“－”的数叫做负数.
读法:
符号“－”是负号，读作“负”；
符号“+”是正号，读作“正”；
例如：+0.5读作正0.5；-3读作负3.


例2 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装.一盒橘子的标准质量为2.5 kg.如果用正数表示超过标准的质量，那么
(1)比标准质量多65g和比标准质量少30 g各怎么表示
(2)50 g,—27 g各表示什么意思
解：(1)比标准质量多65g用+65g表示，比标准质量少30 g用-30 g表示；
(2)50 g表示这盒橘子的质量比标准质量多50 g,-27 g表示这盒橘子的质量比标准质量少27 g.
如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们.
海平面
珠穆朗玛峰
吐鲁番盆地艾丁湖面
8848.86 米
154.31 米
下图是吐鲁番盆地的海拔高度示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它的含义是什么？
记为 +8848.86米
记为－154.31 米
高度看作 0
0 只表示没有吗
1. 空罐中的金币数量；
2. 温度中的 0 ℃；
3. 海平面的高度；
4. 标准水位；
5. 身高比较的基准；
0是正负数的分界点. 它不再简简单单的只表示没有，它具有丰富的意义，如
0可以用来表示基准，
一般地，高于基准的量用
正数表示，低于基准的
量用负数表示
例3 (1)一个月内.李明体重增加1.2 kg.张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
(2)四种品牌的手机今年的销售量与去年相比，变化率如下：
A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减少3%
写出今年这些品牌的手机销售量的增长率
解：(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg.
(2)四种品牌的手机今年销售量的增长率是：
A品牌 -2%,B品牌 4%,C品牌 1%，D品牌 -3%.
增长率-2%，是什么
意思？什么情况下
增长率是0
1. 下列语句正确的是 （ ）
A. 0 ℃ 表示没有温度
B. 0 表示什么也没有
C. 0 既不是正数，也不是负数
D. 0 既可以看作是正数又可以看作是负数
C
2.你能举出实际生活中 0 表示的实际意义吗？请举两例.
解：答案不唯一，如：收支为 0 元，表示收入和支出平衡；水位变化 0 m，表示水位不上升也不下降.
例4 某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？
解：“500±30(mL)”是500mL为标准容量，470～530(mL)是合格范围，503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，抽查产品的容量是合格的．
1.下列结论中正确的是( )
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数
2．在－7，0，－3，78，＋9 100，－0.27中，负数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
D
D
3．如果上升8 m记作＋8 m，那么下降5m记作 m.如果－22元表示亏损22元，那么＋45元表示 ．
－5
盈利45元

30.03
29.98
5.七(1)班某次数学测验的平均成绩是85分，老师以平均成绩为基准，记为0，超过85分的记为正，那么92分，78分各记作什么？若老师把某3名同学的成绩简记为：－5，0，＋8，则这3名同学的实际成绩分别为多少分？
解：＋7，－7；80，85，93.
正数
负数
正数和负数
大于0的数叫做正数；
在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
0既不是正数也不是负数.
相反意义的量
①表示同一类量；
②表示的意义相反；
③成对出现；
④有数量且带单位．

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