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(共17张PPT)
第六章 几何图形初步
观察图中包含了哪些图形？
千姿百态的图形美化了我们的生活空间，也启发我们思考很多问题.例如怎样画一个五角星？不同的图形各有什么特点和性质？等等.所有这些，都需要我们知道更多的图形知识.
几何就是一门研究图形的形状、大小和位置关系的学科.本章我们在小学直观认识图形的基础上，继续学习几何图形的基础知识，进一步探索直线、线段、角等基本的几何图形的性质.
6.1 几何图形
6.1.1 立体图形与平面图形
第1课时 认识立体图形与平面图形
1.能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并初步了解立体图形与平面图形的概念；(难点)
2. 会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别简单几何体.(重点)
从特色民居到城市建筑，从交通标志到立交桥，从剪纸艺术到城市雕塑，从自然界的生物到北京冬奥会标志……图形世界是多姿多彩的！
一.立体图形
说一说下面这些几何图形有什么共同特点？
这些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.
图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.
正方体
球
六棱柱
圆锥
长方体
四棱锥
例1 观察下列实物模型，其形状是圆柱体的是(　　)
解析：圆柱的上下底面都是圆，所以正确的是D.
如图所示为8个立体图形：
其中，是柱体的序号为 __________，是锥体的序号为_____，
是球的序号为________．
归纳：立体图形分为：柱体、锥体和球.
①②⑤⑦⑧
④⑥
③
想一想立体图形如何分类？
这些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形
如图，下列这些图形包含哪些图形，你能找出它们有什么规律吗？
二.平面图形
你能对这些几何图形分类吗？
几何图形分为立体图形和平面图形
2.月球、西瓜、易拉罐、篮球、热水瓶、书本等物体中，形状类似圆柱的有 （ ）
1. 下列几何体中属于棱锥的是 ( )
B
B
A.①⑤ B.① C.①⑤⑥ D.⑤⑥
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的
是（ ）
A
A B C D
圆锥 圆柱 棱柱 棱锥 球
4.把图中的几何图形与它们相应的名称连接起来.
立体图形
几何图形
①柱体;②锥体;③球.
平面图形(共15张PPT)
6.3.3余角和补角
1. 了解余角、补角的概念，
2.掌握余角和补角的性质,并能利用余角、补角的知识解决相关问题；
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了 4 个角.
1
2
3
4
思考 1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1 +∠2 = 90°.
2. ∠3 与∠4 有什么数量关系？
∠3 +∠4 = 180°.
1
归纳 如果两个角的和等于 90° (直角)，就说
这两个角互为余角 (简称这两个角互余).
如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或 ∠1和∠2 互余.
2
如果两个角的和等于180° (平角)，就说这两个角互为补角 (简称为这两个角互补).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4 是∠3 的补角，或∠3 和∠4 互补.
4
3
若∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
性质1：同角 (等角) 的余角相等.
∠2 = 90°－∠1
∠3 = 90°－∠1
=
类似地，与同一个角互补的两个角的大小有什么关系？
性质2：同角 (等角) 的补角相等.
例1 已知∠α = 53°27'，∠α 与∠β 互为余角，求∠β 的度数.
解：因为∠α 与∠β 互为余角 (已知)，
所以∠α +∠β = 90° (余角定义)，
所以 ∠β = 90° -∠α.
因为 ∠α = 53°27'，
所以 ∠β = 90° -∠α
= 90° - 53°27' =36°33'.
如图，已知∠1 = 35°，
(1) ∠1的余角是多少度？
(2) 能试着画出∠1 的余角吗？
1
(1)解：∠1 的度数为 90°- 35° = 55°.
1
2
1
3
例2 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解： 设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
例3 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B 的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为(3x+30)°.
根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90
解得 x =15.
故 ∠B 的度数为15°.
例4 如图，点 A，O，B 在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点 A，O，B 在同一直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角.
O
A
B
C
D
E

所以∠COD 和∠COE 互为余角，
同理∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和
∠COE，∠COD 和∠BOE 也互为
余角.
1. 如图，已知∠AOB = 90°， ∠AOC =∠BOD，则与∠AOC 互余的角有________________.
∠BOC 和∠AOD
O
A
B
C
D
2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（　 ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，
则∠C的度数是_______.
150°
4. ∠1 与∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1 = °，∠2 = °.
62
28
5. ∠α的补角是它的 3 倍，∠α是多少度？
分析： 根据补角的定义，它的补角表示为
(180° -∠α)，题目中的数量关系：补角 = 这个角的 3 倍.
解：依题意得 180° -∠α = 3∠α，
解得 ∠α = 45°
答：∠α 是 45°.
余角和补角的定义
余角和补角
余角和补角的性质(共11张PPT)
6.1.1 线段的比较与运算
第2课时 线段的长短比较与尺规作图
1. 学生掌握用尺规做一条线段等于已知线段的方法
2.使学生掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短．
（1）上节课我们学习了直线、射线和线段，下面请同学们在练习本上任意画一条线段，并把它表示出来；
（2） 你还能再作出一条与它同样大小的线段来吗？想一想，然后说一说你的想法．
可以用刻度尺先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段.
思考 如果没有带刻度的尺子怎么办？
作一条线段等于已知线段
已知：线段AB ，作一条线段 CD，使 CD= AB.
第一步：用直尺画直线l；
第二步：用圆规在直线l 上截取CD = AB.
则线段CD即为所求.
C(A)
l
D(B)
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
尺规作图要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹.
A
B
你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
1.5m
1.56 m
(1) 先测量出两人的身高后再比较；
(2) 站在同一水平线上，看两人头顶的高低比较.
比较两个同学高矮的方法
——叠合法
② 让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮.
① 用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较.
——度量法
D
C
B
试比较线段 AB，CD 的长短.
(1) 度量法；
(2) 叠合法：
将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
(A)
C D
A B
尺规作图
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 C，D 之间，则 AB CD.
(A)
B
＜
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，则 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 CD 的延长线上，则 AB
CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
例 为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则 (　　)
A．ABCD
C．AB＝CD D．以上都有可能
解析：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB>CD，故选B.
(教材166页练习1) 估计下图中线段AB 与AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验
解析： (1)AB>AC
(2)AB(3)AB=AC
做一条线段等于已知线段
线段的比较
比较线段长短(共19张PPT)
6.2.1直线、射线、线段
1. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实；
2. 进一步认识表示直线、射线、线段，掌握直线、射线、
线段的表示方法，理解直线、射线、线段的联系与区别.
植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上.想一想这是为什么呢？我们一起学习本节课知识来寻找答案吧.
过一点 O 可以画几条直线？过两点 A，B 可以画几条直线？
·
O
·
A
·
B
解：经过一个点能画无数条直线，经过两个点只能画一条直线.
如果你想将一根木条固定在墙上并使其不能转动，至少需要几个钉子？你知道这样做的依据是什么吗？
经过思考，可以得到一个基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.
建筑工人砌墙时，会在两个墙角的位置分别插 一根木桩，然后拉一条直的参考线.
想一想，生产生活中还有哪些应用“两点确定一条直线”原理的例子？
射击的时候，瞄准目标
C
E
m
解：直线 m、直线 CE、直线 EC
如图，有哪些方法可以表示下列直线？
归纳 表示直线的方法：①用一个小写字母表示，
②用直线上任意两个点的大写字母表示
注意：两个大写字母可交换顺序.
判断下列语句是否正确，并把错误的语句改过来：
① 一条直线可以表示为“直线 A”；
② 一条直线可以表示为“直线 ab”；
③ 一条直线既可以表示为“直线 AB”又可以表示为“直线 BA”，还可以记为“直线 m”.
改正：①一条直线可以表示为“直线 a”；
改正②一条直线可以表示为“直线 AB”；
×
×
√
观察下图，说一说点和直线有哪些位置关系.
A
B
l
解：如图：点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外
或者说：直线 l 经过点 A，
点 B 不在直线 l 上 (直线 l 不经过点B )
归纳 点在直线上 (直线经过点)；点在直线外 (直线不经过点).
b
a
如图，直线a与直线b有什么位置关系？
交点
O
解：直线 a 和 b 相交于点O
O
归纳 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称
这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.
O
A
l
O
射线的表示方法
① 射线用它的端点和射线上的另一点来表示 记作：射线OA
②用一个小写字母表示 记作：射线l
类比直线的表示方法，想一想射线该如何表示？
注意： 表示端点的字母必须写在前面
线段的表示方法
①用表示端点的两个大写字母表示 记作：线段 AB ( 或线段 BA )
②用一个小写字母表示 记作：线段 a
a
A
B
类比直线的表示方法，想一想线段该如何表示？
A
B
A
B
A
B
直线、射线、线段三者的联系:
1. 将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
2. 将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
3. 线段和射线都是直线的一部分.
分别画一条直线、射线和线段，议一议它们之间的联系和区别.
例1 按下列语句画出图形：
(1) 直线 EF 经过点 C；(2) 点 A 在直线 l 外.
(2)
A
l
C
E
F
(1)
解：
(2)
C
B
A
D
例2 下列语句画出图形：
(1) 经过点 O 的三条线段 a，b，c；
(2) 线段 AB，CD 相交于点 B.
解：(1)
a
b
c
O
例3 如图，A，B，C三点在一条直线上，
(1) 图中有几条直线，怎样表示它们？
(2) 图中有几条线段，怎样表示它们？
(3) 图中有几条射线？写出以点B为端点的射线.
A
B
C
A
C
解：(1) 1条，直线AB或直线AC或直线BC；
(3) 6条.以B为端点的射线有射线BC、射线BA.
(2) 3条，线段AB，线段BC，线段AC；
1. 在同一平面内有三个点 A，B，C，过其中任意两个点作直线，可以画出的直线的条数是 ( )
A. 1 B. 2 C.1 或 3 D. 无法确定
2. 下列表示方法正确的是 ( )
A. 线段 L B. 直线 ab
C. 直线 m D. 射线 Oa
3. 下列语句准确规范的是 ( )
A. 延长直线 AB B. 直线 AB，CD 相交于点 M
C. 延长射线 AO 到点 B D. 直线 a，b 相交于一点 m
C
C
B
4. 如图，在平面上有四个点 A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1) 作射线 BC； (2) 连接 AC，BD 交于点 F；
(3) 画直线 AB，交线段 DC 的延长线于点 E；
(4) 连接 AD，并将线段 AD 反向延长.
E
F
A
B
C
D
基本事实
直线、
射线、线段
表示方法
联系与区别(共23张PPT)
6.3.1角的概念
1.理解角的形成，建立几何中角的概念，掌握角的两种定义形式、几种表示方法，理解角的度量制．
2.了解平角和周角的概念并能换算.
3.了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
观察钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，你能抽象出什么样的共同形象？
——角
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
公共端点
——角的顶点
两条射线
——角的边
角的有关概念
动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
1. 用三个大写字母表示，
如：∠AOB 或∠BOA；
必须把顶点字母放在中间
A
B
O
或用一个大写字母表示，如：∠O；
思考：如图，还能把∠AOB 记作∠O 吗？为什么？
C
答：不能，从∠O 出发的角有三个.
当两个或两个以上的角共一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
2. 用一个数字表示，如∠1；
3. 用小写希腊字母表示，如∠α.
α
1
A
B
O
C
注意 用数字或希腊字母
表示角时，一定要在图形中用角弧标出.
1. 判断下列哪些图形是角：
( ) ( ) ( ) ( )
是
不是
是
是
A
E
C
O
2. 图中有几个角，你能把它们表示出来吗？
3个：∠AOE，∠COE，∠AOC.
始边
终边
O
A
B
(B)
平角
周角
如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB 和 OA 重合时，又形成什么角？
平角、周角的定义
归纳 由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角(旋转前的射线叫做始边，旋转后的射线叫做边)．当角的终边与始边成一条直线时，形成的角是平角；当终边旋转一周与始边重合时，形成的角是周角．
角的度量工具：
量角器
怎么知道这个角的大小？
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1″.
1 周角＝　　°，1 平角＝　　°.
360
180
1°＝　　′，1′＝　　″.
60
60
例1 度、分、秒互化：
(1) 57.32° = ° ′ ″；
解析：57.32 = 57 + 0.32×60′
= 57 + 19.2′
= 57 19′ + 0.2×60″
= 57 19′12″.
57
19
12
归纳 按 1°＝60′，1′＝60″，先把度化成分，再把分化成秒. (小数化整数)
(2) 17°6′36″ = °.
17.11
解析：17°6′36″= 17°+ 6′+ ′
= 17° + 6.6′
= 17° + °
= 17.11°
5°＝　　　′＝　 　　″；
38.15°＝　　　°　　　′；
36″＝　　　′＝　　　°；
38°15′＝　　 °.
300
18000
38
9
0.6
0.01
38.25
角度的换算填空
例2 如图，货轮 О 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北 (即北偏西 45°) 方向上又分别发现了客轮 B、
货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的
方法，画出表示客轮 B、货轮 C 和海岛
D 方向的射线.
画法：以点 O 为顶点，表示正北方向的射线为角的一边画 40° 的角，使它的另一边 OB 落在东与北之间，射线 OB 的方向就是北偏东 40°，即客轮 B 所在的方向.
同理画出货轮 C 和海岛 D 方向的射线.
40°
B
45°
D
10°
C
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东 60° 和北偏东 30° 的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
●
●
远望一号
远望二号
●
●
远望一号
远望二号
60°
30°
●
1.下列关于角的说法正确的个数是(　　)
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是(　　 )
A
B
C
D
B
3.（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）用度表示37°24′36″.
(2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′，24.6′÷60＝0.41°，
所以37°24′36″用度来表示为37.41°.
解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′
＝48°15′＋0.6×60″
＝48°15′36″；
60°
30°
4. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东 60° 方向有白色漂浮物，同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏西 30°方向.试在图中确定白色漂浮物C 的位置；
A
B
北
北
C
角的概念
角
角的表示方法
方位角
角的度量与转换(共16张PPT)
6.3.2 角的比较与运算
第1课时 角的比较与运算
1.掌握角的大小的比较方法；
2.理解角的和、差意义及数量关系，并能解答相关问题.
线段长短的比较
AB > CD
AB < CD
AB = CD
AB > CD
AB = CD
AB = AC + BC
BC = AB－AC
AC = AB－BC
线段的和、差
线段的中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
度量法
A
B
O
(O' )
B'
(A' )
A
B
O
A
B
O
你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗 (两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )？
(O' )
B'
(A' )
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB =∠A'O'B'
∠AOB＞∠A'O'B'
(O' )
(B' )
(A' )
用叠合法比较角的大小时，一定要将两个角的另一边落在重合边的同侧．两边都不重合，或有一边重合但另一边在重合边的异侧的两角，可通过度量法比较大小．
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有 3 个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC = ∠AOB+∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB = .
∠BOC
A
B
O
C
利用角的和差借助一副三角尺，你能画出哪些度数的角？
75°
15°
你还能画出其他角吗？
例 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，
求∠BOC 的度数.
解：因为∠AOB 是平角，
∠AOB＝∠AOC +∠BOC，
所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
O
C
B
A
(2) 如图②，若∠AOB＝60°，∠BOC＝40°，则
∠AOC＝ °．
(1) 如图①，若∠AOC＝35°，∠BOC＝40°，
则∠AOB＝ °．
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
图① 图②
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC＝30°，则∠BOC＝
°．
30 或 90
O
B
A
C
C
注意 无图条件下分情况讨论
1.如图所示：
(1) ∠AOC 是哪两个角的和？
(2) ∠AOB 是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB =∠COD，那么∠AOC 与∠BOD
的大小关系如何？
B
A
O
C
D
∠AOC =∠AOB +∠BOC.
∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
∠AOC =∠BOD.
2. 如图，∠AOB =∠COD = 90°，∠AOD
= 146°，则∠BOC =____°.
3. 已知∠AOB = 38°，∠BOC = 25°，那么
∠AOC 的度数是 .
34
13° 或 63°
O
A
B
C
D
4. 如图，∠AOB = 170°，∠AOC =∠BOD = 90°，求∠COD 的度数.
解：∠BOC =∠AOB－∠AOC
= 170°－ 90°= 80°
∠COD = ∠BOD－∠BOC
= 90°－ 80°= 10°.
O
A
B
C
D
角的大小
比较
角的比较与运算
度量法
角的运算
叠合法
角的差
角的和(共16张PPT)
6.1.2 点、线、面、体
1. 知道点、线、面、体是几何图形的元素，进一步认识点、线、 面、体的几何特征.
2．知道点、线、面、体之间的关系.
日常生活中，我们经常看到下列情况：夏天的夜空散布着点点星星；流星划过天空留下一道明亮的光线；把一枚硬币在桌面上快速旋转，呈现在眼前的是一个球．你能从几何的角度来解释这些现象吗？
1.这些几何图形是什么图形？
这些立体图形都是几何体，简称体.
2.这些几何体有什么围城的？它们的面有什么不同？
注意：数学中的面是无厚薄的
体是由面围成的.面分为平面和曲面.
1. 面和面相交的地方形成了什么？它们有什么不同吗？
2. 线和线相交处又形成了什么？它们有什么不同吗？
归纳 面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线.线和线相交形成点.
笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？
点动成线
线动成面
思考
汽车雨刷可以看作什么几何图形？它在挡风玻璃上运动时的路线形成什么几何图形？
思考 长方形纸片绕它的一边旋转一周，会形成什么图形？
面动成体
让我们一起体会一下面动成体
你能总结出点、线、面、体与几何图形之间的关系吗？
几何图形都是由点、线、面、体组成的.
点是构成图形的基本元素.点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形.
例1　如图所示的是一个棱柱，请问：
(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？
(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？
(3)该棱柱有几个顶点？　　
解：(1)这个棱柱由5个面围成，各面的交线有9条，它们是直的．
(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．
(3)有6个顶点．
例2 如下图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的 立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.
1.下面几何体中，全是由曲面围成的是(　　)
A．圆锥 B．正方体
C．圆柱 D．球
2.在球、圆锥、圆柱、棱柱中，由曲面和平面围成的是(　　)
A．球和圆锥 B．球和圆柱
C．圆锥和圆柱 D．圆柱和棱柱
D
C
3. 请把下图中的平面图形与其绕轴旋转一周后得到的立体图形连接起来.
点
几何图形的元素
线
体
面(共17张PPT)
6.1.1 线段的比较与运算
第2课时 线段的和差倍分
1.理解角的平分线概念；
2.能运用角平分线进行角度的相关计算和证明.
A
B
M
如图，点M 把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点 M 叫做线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
A
a
a
M
B
M是线段AB的中点.

点M，N 是线段AB 的三等分点
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
动手做一做：在纸上画∠AOC，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边 OA 与 OC 重合. 将角展开，折痕上任取一点记作点 B. 类比线段中点的定义，填空：
∠AOB_____∠BOC，
∠AOC=_____∠AOB.
=
2
B
C
A
O
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
角的n等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将分成相等的n个角，叫做角的n等分线，
将一个角三等分
射线OC、OD为∠AOB的
三等分线
将一个角四等分
射线OC、OD 、OE 为∠AOB的
四等分线
例1 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线.
(1) 如果∠AOC = 80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，∠AOC = 80°，
O
A
B
C
D
E
(2) 如果∠AOB = 40°，∠DOE = 30°，那么∠BOD 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC =∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD =∠DOE = 30°.
所以∠BOD =∠BOC +∠COD
= 40° + 30° = 70°.
O
A
B
C
D
E
(3) 如果∠AOE = 140°，∠COD = 30°，那么∠AOB 是多少度？
解：因为∠COD = 30°，OD 平分∠COE，
所以∠COE = 2∠COD = 60°.
所以∠AOC =∠AOE－∠COE
= 140°－60°
= 80°.
又因为 OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7
= 51° + 180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是约 51°26′ 的角.
注意 有余数，可以把度的余数化成分后再除
如图，点A，O，B在同一条直线上OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)求∠DOE的度数；
(2)如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数

解：(2)由(1)，可知
∠BOE＝∠COE ＝90°－∠COD
＝90°－55°
＝25°.
所以 ∠AOE＝180°－∠BOE
＝180°－25°
＝155°.
如图，点A，O，B在同一条直线上OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC.
(2)如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数
1. 如图，OC 是平角∠AOB 的平分线，∠COD = 32°，
求∠AOD 的度数.
答案：因为∠AOB 是平角，
所以∠AOB = 180°，
因为OC 是平角∠AOB 的平分线
所以∠AOC = 90°
因为∠COD = 32°,
所以∠AOD =∠AOC +∠COD
= 90° + 32°= 122°.
O
A
B
C
D
2.如图，已知∠AOC = 60°，∠BOD = 90°，∠AOB 是∠DOC的 3 倍，求∠AOB 的度数．
解：设∠DOC = x，
因为 ∠DOC = 60°，∠BOD= 90°，
所以 ∠AOD= 60° - x.
所以 ∠AOB = 90° + 60° - x= 150° - x.
因为∠AOB 是∠DOC的 3 倍，
所以 150° - x = 3x，解得 x = 37.5°.
所以 ∠AOB = 3×37.5°= 112.5°.
O
A
D
C
B
角的平分线的定义
角的平分线
角的平分线的相关计算(共15张PPT)
6.1.1 线段的比较与运算
第2课时 线段的和差倍分
1.体验两点之间线段最短的性质，并能初步应用；
2.知道两点之间的距离和线段中点的含义；
3.能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度；
如图，草坪上被踩出了一条小路，在这里，从A地到B地，人们为什么不走马路而走踩出来的小路？
如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.


A
B
归纳 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离.


A
B
在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b，线段 AC 就是 与 的和，记作AC= . 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么段 AD 就是 与 的差，记作
AD = .
A
B
C
D
a + b
a - b
a
b
b
a
b
a + b
a
b
a - b
线段的
A
B
M
如图，点M 把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点 M 叫做线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
A
a
a
M
B
M是线段AB的中点.

点M，N 是线段AB 的三等分点
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
例1 如图，已知线段 a，b，画一条线段 AB，使 AB = 2a－b.
a
b
A
B
2a－b
2a
b
解析：答案如图所示.
例2 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少
解：因为C 是线段 AB 的中点，
因为 D 是线段 CB 的中点，
所以 AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).
所以 CD = CB = ×3=1.5 (cm).
所以 AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
理由：两点之间，线段最短
1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.
.
B
A
.
2. 如图，点 C 是线段 AB 的中点，若 AB = 8 cm，
则 AC = cm.
4
A
C
B

A
C
B
A
C
4. 已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使BC = 2AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为________.
C
A
D
B
15 cm
5. 点 A，B，C 在同一条数轴上，其中点 A，B 表示的数分别是 -3，1，若 BC = 5，则 AC =_______.
9 或 1
基本事实
线段的
和差倍分
线段的中点
线段的和差及计算(共20张PPT)
6.1.1 立体图形与平面图形
第3课时 立体图形的展开图
1. 能根据展开图初步判断和制作立体模型．
2．进一步认识立体图形与平面图形的关系．
生活中，我们经常见到正方体形状的物体．将它们的表面完全展开后形状是怎样的？下面我们先将面前的正方体盒子沿一些棱剪开，看看能得到一个什么样的平面图形？
沿着棱剪，展开后是一 个平面图形
将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展成哪些平面图形？
思考 ①这些正方体展开图可以分为几类？
②观察上面的 11 类正方体的展开图有没有什么规律？
③哪些展开图可以归为一类，为什么？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
第一类：四个一行排中间，上下各一任意放，共六种.（记忆口诀：1 4 1 型）
第二类：一在三上任意放，二在三下露一端，共三种.（记忆口诀：1 3 2 型）
第三类：两两三行排有序，恰似登天上云梯，仅一种.（记忆口诀：2 2 2 型）
第四类：三个三个排两行，中间一“日” 放光芒， 仅一种.（记忆口诀：3 3 型）
蓝
黄
红
展开图中的位置有什么特点？
相对两面不相连
上下隔一行
左右隔一列
相间、“Z”端是对面
A
B
A
B
A 和 B 为相对的两个面
间二、拐角邻面知
C
C
D
D
C 和 D 为相邻的两个面
归纳
正方体盒巧展开，
六个面儿七刀裁，
十一类图记分明：
一四一呈 6 种，
二三一有 3 种，
二二二与三三各1种；
对面相隔不相连，
识图巧排“凹”和“田”.
蓝
黄
红
下列立体图形的平面展开图是什么
展开
展开
例 你还记得长方体和圆柱的展开图吗？下图是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同．
解：第一个图形能围成正方体；第二个图形能围成圆柱(含上、下底面)；第三个图形能围成三棱柱(含上、下底面)；第四个图形能围成圆锥(含底面)；第五个图形能围成四棱柱(或长方体)．
下列图形中，不是正方体表面展开图的是 ( )
A B C D
C
1.如图是书桌上放的一本书，则从上面看得到的平面图形是( )
2．下面的四张纸板中，经过折叠可以围成一个三棱柱的是( )
A
C
3．一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中，和“值”字相对的字是 ( )
A．记 B．观 C．心 D．间
A
正方体的展开图
立体图形的展开图
圆柱的展开图
圆锥的展开图(共11张PPT)
6.1.1 立体图形与平面图形
第2课时 从不同方向看立体图形
1.能从不同角度观察一些几何体，以及有它们经过简单的组合得到的平面图形.
2.初步培养学生的空间概念和几何直觉.
对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理.从不同方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形．在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形.平面图形围成了立体图形，那立体图形怎么样得到平面图形呢 要解决这个问题，我们需要对立体图形进行研究，从不同的角度来确定立体图形如何由平面图形组合而成.
例1 如图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？
解：　
如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体从上面看得到的图形是下图中的（ ）
答案:选C
例2 分别画出圆柱体、圆锥及球体的从正面、左面、上面看到的图形.
从正面看
从左面看
从上面看
1.下列几何体中，从左面看和从上面看得到的图形相同的是( )
D
2.已知一个几何体如图所示，则该几何体从上面看是( )
B
3.如图是由4个相同的正方体堆成的立体图形，指出图中的平面图形分别是从哪个方向看此立体图形得到的平面图形．
答：分别是从左面、正面、上面得到的平面图形．
4.如图，这是一个机械模具，则从正面看得到的图形是 ( )
5.沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它从上面看到的图形是(　　)
C
D
从正面看
从不同方向看立体图形
从左面看
从上面看

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