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(共14张PPT)
5.2 解一元一次方程
第3课时 利用去括号解一元一次方程
1. 准确熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.(重点)
2. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点)
3. 熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.(难点)
1.化简下列各式：
(1) (－3a＋2b) ＋3(a－b)；
(2) －5a＋4b－(－3a＋b).
解：(1) 原式=－b；(2) 原式=－2a＋3b.
2.去括号法则：
去掉“+ ( )”，括号内各项的符号不变.
去掉“– ( )”，括号内各项的符号改变.
用三个字母a，b，c表示去括号前后的变化规律：
a＋(b＋c)＝a＋b＋c
a－(b＋c)＝a－b－c
问题：某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时),全年用电15万kW·h(千瓦·时),这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
思考：怎样用方程解这道题，这个问题中的等量关系是什么？
全年用电量＝上半年用电量＋下半年用电量
分析：设上半年每月平均用电 x kW·h.
则下半年每月平均用电 .
上半年共用电 .
下半年共用电 .
全年共用电 .
(x－2 000) kW·h
6xkW·h
6(x－2 000) kW·h
150 000 kW·h
列得方程 6x＋6(x－2 000)＝150 000.
去括号
6x + 6 ( x－2000 ) = 150000
6x+6x－12000=150000
6x+6x=150000+12000
12x=162000
x=13500
移项
合并同类项
系数化为1
通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
例1 解下列方程：
(1) 2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)； (2) 3x－7(x－1)＝3－2(x＋3).

解:去括号，得
3x－7x＋7＝3－2x－6.
移项，得
3x－7x＋2x＝3－6－7.
合并同类项，得－2x＝－10.
系数化为 1，得x＝5.
分析：等量关系：这艘船往返的路程相等，即
顺流速度___顺流时间___逆流速度___逆流时间
×
＝
×
例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.
解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度
为(x＋3) km/h，逆流速度为(x－3) km/h.
去括号，得 2x＋6＝2.5x－7.5.
移项及合并同类项，得 0.5x＝13.5.
系数化为1，得 x＝27.
答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.
根据顺流速度×顺流时间=逆流速度 ×逆流时间
列出方程，得2(x＋3)＝2.5(x－3).
1.将方程3(x－1)＝6去括号，正确的是( )
A．3x－1＝6 B．x－3＝6
C．3x＋3＝6 D．3x－3＝6
2．方程2(x－1)＝x＋2的解是( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
D
D
3．解方程：3(3x＋5)＝2(2x－1)．

4．某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？
解：设安排x名工人生产镜片， 则
安排(28－x)名工人生产镜架．
由题意，得60x＝2×40(28－x)，
解得x＝16.
所以28－x＝12.
答：应安排16名工人生产镜片，12名工人生产镜架．
去括号
利用移项解一元一次方程
注意符号，防止漏乘.
步骤
去括号→移项→合并同类项→系数化为1(共13张PPT)
5.2 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套问题与工程问题
1. 理解配套问题、工程问题的背景.
2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系. (难点)
3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺柱或2 000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
思考1：“1个螺钉需要配2个螺母”这句话包含着什么等量关系？
思考2：完成表格.
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺柱
螺母
每天生产的螺母数量是螺柱数量的2倍时，它们刚好配套.
x
22－x
1 200
2 000
1200x
2000(22－x)
思考3：你能找出其中的等量关系，并列出方程吗？
思考4：写出完整的解题过程.
解：设应安排x 名工人生产螺柱，
则安排(22－x) 名工人生产螺母.
根据螺母的数量是螺柱的两倍，列出方程
2000 (22－x)＝2×1200x.
解方程，得 x＝10.
22－x＝12.
答：应安排10 人生产螺柱，12 人生产螺母.
螺母数＝螺柱数×2，所以列出方程为2000(22－x)＝2×1200x.
归纳
1.分析配套问题时需要注意问题中所涉及的量的比例关系,
比如：1个螺钉需要配2个螺母可表示为螺钉数:螺母数= 1:2;
2.注意通过找到的比例关系列方程；
如：根据螺钉数:螺母数= 1:2
3.可以根据比例式的內项积等于外项积将含比的方程转化为我们熟悉的形式.
1.螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？
解：设安排x人去加工生产汤料包，
则安排(80－x)人生产配料包.
依题意，得4×110x＝200(80－x)，
解得x＝25.
答：安排25名工人去加工汤料包.

例2 整理一批图书，由一个人做要40 h完成.现计划由一部分人先做 4 h,然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

这类问题中常常
把总工作量看作1，并 利用“工作量=人均效率×人数×时间” 的关系考虑问题.
2.一个水池有进水管甲和出水管乙，单独开放甲管10分钟可以注满水池，单独开放乙管15分钟可以把满水池的水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？

1.机械厂加工车间有27名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
解：设需安排x名工人加工大齿轮，
安排(27－x)名工人加工小齿轮，
依题意，得12×(27－x)×2＝10x×3，
解得x＝12.
则27－x＝15.
答：安排12名工人加工大齿轮，
安排15名工人加工小齿轮.
2.由于洪水渗漏造成堤坝内积水，用三部抽水机抽水，单独用一部抽水机抽尽，第一部需用24小时，第二部需用30小时，第三部需用40小时．现在第一部、第二部共同抽8小时后，第三部也加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才把水抽尽？

配套问题
实际
问题
弄清题目中涉及量的比例关系
工程问题
基本关系式：
工作量＝工作效率×工作时间
利用物品之间具有的数量关系列方程
常见的相等关系为：
总工作量＝各部分工作量之和．
通常在没有具体数值的情况下，
把工作总量看作1(共12张PPT)
5.2 实际问题与一元一次方程
第3课时 比赛积分问题
1.通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息传递形式的多样性.
2.会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.(重点、难点)
3.掌握解决“比赛积分表问题”的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.(重点、难点)
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分榜如表所示：
问题1 胜一场和负一场各积多少分
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
·由最后一行可以得到：
① 钢铁队胜场总积分＝0；
② 钢铁队负场总积分＝14＝14×1；
③ 负一场积分＝1.
·由第一行可以得到：
① 前进队负场总积分＝1×4＝4；
② 钢铁队胜场总积分＝20＝2×10；
③ 胜一场积分＝2.
问题2 怎样用式子表示总积分与胜场数之间的关系？
解：若一个队胜m场，则负(14－m)场，
胜场积分为2m，负场积分为14－m，
总积分为2m＋(14－m)＝m＋14.
即胜 m 场的总积分为 (m＋14) 分.
问题3 某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？
解：设一个队胜y场，则负(14－y)场，
依题意得 2y＝14－y.

y表示什么量？
它可以是分数
吗？
注意 解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际.
例 12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4 名学生参加法制知识竞赛，共设20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2 名参赛学生的得分情况.

参赛者 答对题数 答错题数 得分/分
A 20 0 100
B 17 3 79
(1)参赛学生C 得72分，他答对了几道题？答错了几道题？
(2)参赛学生D 说他可以得88 分，你认为可能吗？为什么？

1.中超联赛中，甲足球队在联赛30场比赛中除输给乙足球队外，其他场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设甲足球队一共胜了x场，则可列方程为( )
A.3x＋(29－x)＝67
B．x＋3(29－x)＝67
C.3x＋(30－x)＝67
D．x＋3(30－x)＝67
2.一张数学试卷有20道选择题，规定答对一道得5分，不做或做错一道扣1分，结果某学生得了76分，则他做对的题数为 道.
16
A
3.爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人各赢了多少盘？
解：设爷爷一共赢了x盘，则孙子赢了(12－x)盘．
由题意，得
x＝(12－x)×3.
解得x＝9.则12－9＝3(盘).
答：爷爷赢了9盘，孙子赢了3盘.
解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题.
比赛积分问题
用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，还要检验是否符合问题的实际意义．(共16张PPT)
5.1.2 等式的性质
1. 理解、掌握等式的性质. (重点)
2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程. (难点)
小明和王力在玩跷跷板，当他们位于跷跷板两端的时候，恰好处于平衡的位置．这时，李强和小丽也来了，如果他们二人的体重相等，他们这时也分别坐在跷跷板的两端，这时候跷跷板是否仍然平衡？
像m＋n＝n＋m,x＋2z＝3x,3×3＋1＝5×2,3x＋1＝5y这样的式子，都是等式.我们可以用a＝b表示一般的等式.
首先，给出关于等式的两个基本事实.
等式两边可以交换，如果a＝b,那么b＝a.
相等关系可以传递，如果a＝b,b＝c,那么a＝c.
在小学，我们已经知道：等式两边同时加(或减)同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等.引入负数后，这些性质还成立吗 你可以用一些具体的数试一试.
在平衡天平的两边,加（或减）相同的量，天平仍然保持平衡.
+c
a
b
a
b
a
b
-c
a
b
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.
等式两边加（或减）同一数（或式子）,结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
等式的性质1：
字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示一个式子.
×3
÷ 3
在平衡天平的两边,乘（或除以）相同的量，天平仍然保持平衡.

备注：1.等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算.　　　　　　　　　　
2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
3.等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.
等式的性质2：

x
5
－7
2
根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等.
根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等.
根据等式的性质2,等式两边乘－7,结果仍相等.
根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等.

解：(1)两边减7,得x＋7－7＝26－7.
于是x＝19.

归纳 解一元一次方程要“化归”为“x＝a”的形式.
为使 (2) 中未知项
的系数化为 1，将要
用到等式的什么
性质？


方程两边同时乘 －3，
得 x ＝－27.
x＝－27 是原方程的解吗
思考：对比方程(1)，方程(3)有什么新特点？

方程的左右两边相等，所以x＝－27是原方程的解.


C
B
3．如果am＝an，那么下列等式不一定成立的是( )
A．am－3＝an－3 B．5＋am＝5＋an
C．m＝n D．0.5am＝0.5an
C

解：(1)a＝－16. (2)x＝25.
基本性质1
等式的
性质
如果a＝b，那么a±c＝b±c.

基本性质2
应用
运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式x＝a.(共12张PPT)
5.2 实际问题与一元一次方程
第2课时 销售利润问题
1. 会用一元一次方程解决销售问题.(重点)
2. 让学生经历从定性考虑到定量考虑的过程，提高对数学应用价值的认识.(重点)
3. 适当结合商品经营中的问题，增加学生的经济知识和经营意识.(难点)
与销售有关的几个概念：
1．进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价)．
2．售价：在销售商品时的售出价(有时也叫成交价，卖出价)．
3．标价：在销售时的标出价(有时称原价，定价)．
4．利润：在销售商品的过程中的纯收入，在教材中规定：
利润＝售价－进价．
5．利润率：利润占进价的百分率，即利润率＝利润÷进价×100%.
6．打折:销售价占标价的百分率(如打八折，即按标价的80%出售)．
你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
60
60
1.销售的盈亏取决于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
总售价(120元) ＞ 总成本
总售价(120元) ＜ 总成本
总售价(120元) ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
2.现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？
两件衣服的成本(即进价).
设盈利那件衣服的进价x元，它的商品利润是_______元，
列出方程 ，
解得________.
25%x
x＋25%x＝60
x＝48
利润=利润率×进价；售价= 进价+利润.
设亏损那件衣服的进价y元，它的商品利润是_______元，列出方程是____________，
解得________.
－25%y
y－25%y＝60
y＝80
3.根据两件衣服的进价，能判断具体盈亏吗？
解：两件衣服进价为
80＋48＝128（元）.
两件衣服售价为
60＋60＝120（元）.
利润=售价－进价＝120－128＝－8（元）.
答：卖这两件衣服共亏损了8元.

例1 某商场因换季准备处理一批服装，若每套服装按标价的六折出售，则每套将亏110 元，而按标价的八折出售，每套将赚 70 元，则每套服装的标价是多少元，进价是多少元？
解:设每套服装的标价为x 元，
依题意，得 0.6x＋110＝0.8x - 70.
解这个方程，得 0.2x＝180，
x＝900.
0.6x＋110＝650 (元).
答：每套服装的标价是900元，进价是650元.
归纳 在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几.
例2 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格销售了400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45% 的预期目标？
解:设每件衬衫降价x 元，
根据题意，得
120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%).
解得x＝20.
答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
1.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 折．
2．一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
解：设这种服装每件的标价是x元，
根据题意，得10×0.8x＝11(x－30)，
解得x＝110，
答：这种服装每件的标价为110元．
八
常出现的量
销售利润问题
进价、售价、标价、利润、利润率
关系式

利润＝售价－进价，
利润＝进价×利润率；
售价＝标价×折扣率
售价＝进价＋利润
售价＝进价×(1＋利润率)．(共16张PPT)
第五章 一元一次方程
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
怎样根据问题中的数量关系列方程 怎样解方程 这是本章研究的主要问题.
通过解决本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用一元一次方程解决问题的方法.
5.1.1 方程
第1课时 方程
1.掌握方程的概念，学会判断某个式子是不是方程.（重点）
2.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.（难点）
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？
(3＋1)÷(1.2－0.8)＝5 h
思考：你能用不同的方法解决导入的问题吗？
分析：甲、乙两队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知的.“路程=速度×时间”.
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
如果设两队行进的时间为x h
甲队和乙队的行进路程可以分别表示为1.2x km和0.8t km,
则甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为
(1.2x＋1)km和(0.8x＋3)km.
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时
甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，
因此 1.2x+1＝0.8x+3.
问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元
解：设大水杯的单价为x元，
则小水杯的单价为(x－5)元.
由题意，得 3x＝4(x—5).
分析：因为用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，所以等量关系为3×大水杯的单价＝4×小水杯的单价


像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程(equation).

解:(1)不是，因为不含有未知数；(2)是方程；
(3)不是，因为不是等式；(4)是方程；
(5)不是，因为不是等式．
归纳 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
例2 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人，这所学校有多少名学生
(2)如图5.1-2,一块正方形绿地沿某一方向加宽5m,扩大后的绿地面积是500 m ,求正方形绿地的边长.
解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,
男生数为(1－0.52)x.
根据“女生比男生多80人”,列得方程
0.52x－(1－0.52)x=80.
(2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积
为(x ＋5x)m .
根据“扩大后的绿地面积是500 m ”,列得方程
x ＋5x=500.
1．“一个数比它的相反数大－4”，若设这个数是x，则可列出关于x的方程为( )
A．x＝－x＋4 B．x＝－x＋(－4)
C．x＝－x－(－4) D．x－(－x)＝4
2．小丁今年5岁，妈妈今年30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍，则x年后小丁的年龄为 岁，妈妈的年龄为 岁．根据题意列出方程为 ．
B
(x＋5)
(x＋30)
2(x＋5)＝x＋30
定义
方程
步骤(共14张PPT)
5.2 实际问题与一元一次方程
第4课时 分段计费与方案决策问题
1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案.(重点、难点)
2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.(重点)
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，如表所示，是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
分析：在这个问题中，综合费用＝空调的售价＋电费.
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.
设空调的使用年数是t,则
1级能效空调的综合费用是
3000＋0.5×640t,
即 3000＋320t.
3级能效空调的综合费用是
2600＋0.5×800t,
即 2600＋400t.
问题 当t取什么值时，两款空调的综合费用相等？
列方程 3000＋320t＝2600＋400t,
解得 t＝15.
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000＋320t)＋(80t－400),
也就是 3 000＋320t＋80(t－5).
这样，当t<5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；
当t>5时，t－5是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于此较省电；使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此购买、使用1级能效空调更划算.
例 近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识到节水的重要性. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用阶梯价格的调控手段以达到节水的目的. 该市自来水收费价格见价目表(水费按月结算).
(1)若某户居民2 月份用水10.5 m3，
应交水费多少元？
(2)若该户居民3，4月份共用水16m3
(4月份用水量超过3月份)，共交水
费44元，则该户居民3，4月份各用
水多少立方米？(结果精确到0.1m3)
价目表
每月用水量 价格
不超出6m 的部分 2元/m
超出6m 但不超出10m 的部分 4元/m
超出10m 的部分 8元/m
解：(1)由题意，得
2×6＋4×(10－6)＋8×(10.5－10)＝32(元).
所以应交水费32 元.
(2)设3 月份用水x m3，则4 月份用水(16－x)m3.
①当x ≤ 6 时，16－x ≥ 10，
依题意，得2x＋2×6＋4×4＋8(16－x－10)＝44.
整理，得6x＝32，所以x≈5.3，
此时16－x≈10.7，符合题意.
②当6 ＜ x ≤ 10 时，6 ≤ 16－x ＜10，
依题意，得
2×6＋4×(x－6)＋2×6＋4(16－x－6)＝44.
整理，得40＝44，故此方程无解.
所以6＜x≤10不可能成立.
③因为4 月份用水量超过3 月份，
所以x 不可能超过10.
综上所述，3 月份用水约5.3 m3，4 月份用水约10.7 m3.
1.一家三口每月用水不超过6吨，每吨水按3.7元收费，如超过规定的用水量，每吨水按7元收费，王红一家三口八月交了36.2元水费，则他们家超过规定用水量( )
A．9.8吨 B．5吨 C．2吨 D．3吨
2．某市居民生活用电基本价格为0.4元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本价格的70%收费．某户5月份用电84度，共交电费30.24元，则a的值是( )
A．60 B．56 C．65 D．50
C
B
3.某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，票价每张为20元，售票员说，30人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打八折；
方案二：若打九折，则有5人可以免票．
(1)若1班有40名学生，则选择方案一需付 元，选择方案二需付 元；
(2)若2班选择方案二需付810元，则2班有 名学生；
640
630
50
3.某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，票价每张为20元，售票员说，30人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打八折；
方案二：若打九折，则有5人可以免票．
(3)3班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问3班有多少人？
解：设3班有x人，由题意，得
0．8×20x＝0.9×20(x－5)，解得x＝45.
答：3班有45人．
表格的问题
分段计费与决策问题
首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题.
根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
分段计费问题
注意的问题
注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义．(共14张PPT)
5.1.1 从算式到方程
第2课时 一元一次方程
1.理解方程的解和解方程的意义，并会检验方程的解.(重点)
2.掌握一元一次方程的概念，能由简单的实际问题列一元一次方程.（难点）
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营
3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
上一节课中，根据问题列出方程：
1.2x＋1＝0.8x＋3.
可以发现，当x＝5时，左边＝1.2×5＋1＝7,
右边＝0.8×5＋3＝7,这时方程左、右两边的值相等.
x 1 2 3 4 5
1.2x＋1
0.8x＋3
填写下表并观察，有什么发现？
2.2
3.8
3.4
4.6
4.6
5.4
5.8
6.2
7
7
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解(solu-tion).
求方程的解的过程叫做解方程．
例如，x＝5就是方程1.2x＋1＝0.8x＋3的解.


解:(1)当x＝2时，方程2x＝3的左边＝2×2＝4,右边＝3,
方程左、右两边的值不相等，
所以x＝2不是方程2x＝3的解；

解:（2）当x＝10时，方程3x＝4(x－5)的左边＝3×10＝30,
右边＝4×(10－5)＝20,方程左、右两边的值不相等，
所以x＝10不是方程3x＝4(x－5)的解.

当x＝20时，方程3x＝4(x－5)的左边＝3×20＝60,
右边＝4×(20－5)＝60,方程左、右两边的值相等，
所以x＝20是方程3x＝4(x－5)的解.
观察下面三个方程，它们有什么共同特征
1.2x＋1＝0.8x＋3,
3x＝4(x－5),
0.52x－(1－0.52)x＝80,
(1) 只含有一个未知数；
(2) 未知数的次数都是1；
(3) 等号两边都是整式.
一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
[知识拓展]　在判断一个方程是不是一元一次方程时,要注意:
①必须含有一个未知数;②未知数的次数是1;③分母中不含有
未知数.如果方程不是最简形式,先变形,化成最简形式后再判断.

D
1.下列方程的解为x＝2的是( )
A．5－x＝2 B．3x－1＝4－2x
C．3－(x－1)＝2x－2 D．x－4＝5x－2
2．在2＋1＝3，4＋x＝1，y2－2y＝3x，x2－2x＋1中，一元一次方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
A
3. 若x＝1是方程x2 －2mx＋1＝0的一个解，则m的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. -1
C
4. 下列方程：
； ； ； ； .
其中是方程的是 ，是一元一次方
程的是 ．(填序号)
②③
①②③④⑤
5. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000 m？
解：设沿跑道跑x周.
400x＝3000，是一元一次方程.
（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20－x)支.
0.3x＋0.6(20－x)＝9，是一元一次方程.
方程的解
一元一次方程
使方程中等号两边相等的未知数的值
定义
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程(共14张PPT)
5.2 解一元一次方程
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
1. 学会运用合并同类项解形如ax＋bx＝c类型的一元一 次方程，进一步体会方程中的“化归”思想.（重点）
2. 能够根据题意找出实际问题中的相等关系，列出方程求解.（难点）
1.等式的基本性质有哪些？
2.(1)3xy与－3xy；(2)0.2ab与0.2ab；(3)2abc与9bc；
3.合并同类项的法则是什么？依据是什么？
解：①②是同类项
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变；依据是乘法分配律.
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的 2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买计算机x台.
可以表示出：去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台.
根据问题中的相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，
列得方程x＋2x＋4x＝140.
把含有x的项合并同类项，得7x＝140.
下面的框图表示了解这个方程的流程：
由上可知，前年这个学校购买了 20台计算机.
合并同类项
系数化为1
x ＋2x＋4x＝140
7x＝140
x＝20
依据：乘法对加法的分配律
依据：等式性质2
1.“合并同类项”的作用是什么？
“合并”起了化简作用，将一元一次方程中含未知数的项 与常数项分别合并，从而达到把方程转化为ax＝b的形式，(其中a,b是常数)
2.“系数化为1”的依据是什么？
解：合并同类项，得 6y＝－78，
系数化为 1，得 y＝－78÷6，
y＝－13.
在合并同类项时，
需要注意什么？
1. 在合并同类项时，需要注意什么？
7y－2.5y＋3y－1.5y＝－15×4－6×3
(7－2.5＋3－1.5)y＝－60－18.
6y＝－78.
注意：合并同类项要注意每项系数的符号，合并时要将各项的系数进行相加；
2. 系数化为 1 时，需要注意什么？
x＝-2×(-2)
x＝4
注意：系数化为 1 时，特别注意是在方程两边同时除以未知数的系数 (或者乘以未知数系数的倒数).
例2 有一列数，按一定规律排列成1,－3, 9, －27,81，－243,
…，其中某三个相邻数的和是－1701， 这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：
后面的数是它前面的数与－3的乘积.
如果三个相邻数中的第1个记为x，
则后两个数分别是－3x，9x.
解：设所求三个数分别是x，－3x，9x.
由三个数的和是－1 701，得
x－3x＋9x＝－1 701.
合并同类项，得7x＝－1701.
系数化为1，得x＝－243.
所以－3x＝729 ，9x＝－2 187.
答：这三个数是－243, 729, －2 187.
知道三个数中 的某个，就能知道 另两个吗？
C
C
8x＝7
合并同类项
利用合并同类项解一元一次方程
将含未知数的项与常数项分别合并，
转化为ax＝b的形式.
系数化为1(共15张PPT)
5.2 解一元一次方程
第2课时 利用移项解一元一次方程
1.通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步认识方程模型的重要性；(重点)
2.掌握移项方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴含的化归思想.(难点)
3x＋7＝32－12x
1.解方程：5x－12x＝－14＋21
解：合并同类项，得 -7x＝7.
系数化为 1，得 x＝－1.
2.观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？
怎样才能使它向 x＝a (a为常数)的形式转化呢？
1、设未知数：设这个班有x名学生.
2、找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等.
3、列方程：
每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共 本.
每人分4本，需要 本，减去缺的25本，这批书共 本.
（3x+20）
4x
（4x-25）
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？
3x＋20＝4x－25
3x＋20＝4x－25
3x＋20－4x＝4x-25－4x
3x＋20－4x＝－25
3x＋20－4x－20＝－25－20
3x－4x＝－25－20
（合并同类项）
（利用等式性质1）
（利用等式性质1）
（合并同类项）
怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？
3x＋20＝4x－25
3x－4x＝－25－20
你发现了什么？
一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
移项的定义：
3x＋20＝4x－25
3x－4x＝－25－20
－x＝－45
x＝45
移项
合并同类项
系数化为1
下面的框图表示了解这个方程的具体过程：
左边仅含
未知数项
右边仅含
常数项
通过移项,使等号左边仅含未知数的项,等号
右边仅含常数的项,目的是便于合并同类项,使方
程更接近x＝a的形式.
2.“移项”起了什么作用？
1.以上解方程“移项”的依据是什么？
移项的依据是等式的性质1.


例2 某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？
思考：①如何设未知数？
②你能找到等量关系吗？
旧工艺废水排量－200吨=新工艺排水量+100吨
解：若设新工艺的废水排量为2x t，则旧工艺的
废水排量为5x t.由题意得
移项，得5x－2x＝100＋200,
系数化为1，得x＝100,
合并同类项，得3x＝300,
答：新工艺的废水排量为 200 t，旧工艺的废水排量为 500 t.
5x－200＝2x＋100,
所以2x＝200,5x＝500.

C
C
3．解下列方程：
(1)5x＝3x－12；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)12x－7＝8x－3；
(2)8x－5＝7x＋2；
(4)7y＋8＝2y－5－3y.
解：移项，得5x－3x＝－12.
合并同类项，得2x＝－12.
系数化为1，得x＝－6.
解：移项，得
12x－8x＝－3＋7.
合并同类项，得4x＝4.
系数化为1，得x＝1.
解：移项，得8x－7x＝2＋5.
合并同类项，得x＝7.
4．由于疫情防控的需要，七(1)班统一购置一定数量的口罩．
若每个学生发3个口罩，则多36个口罩；若给每个学生发4个
口罩，则少8个口罩．请问该班有多少名学生？
解：设该班有x名学生，
依题意，得3x＋36＝4x－8，
解得x＝44.
答：该班有44名学生．
定义
移项解一元一次方程
注意：移项一定要变号
移项→合并同类项→系数化为1
步骤
应用(共16张PPT)
5.2 解一元一次方程
第4课时 利用去分母解一元一次方程
1. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点）
2. 熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点）


解：（1）6；（2）24；（3）24
问题1 如图,翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50km,距绿水70 km.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10:00 13:00 15:00
解：设王家庄距翠湖的路程为x km,则王家庄距青山的路程为
(x－50)km,王家庄距绿水的路程为(x＋70)km.

地名 王家庄 青山 绿水
时间 10:00 13:00 15:00
分析：由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为3 h,从王
家庄到绿水的行驶时间为5 h，汽车在各段的行驶速度相等.

1.此方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？
这个方程带有分数系数，以前学的大多是整数系数的．
2.怎样将这类含分数系数的方程转化为学过的整数系数方程呢？
去分母
整系数方程
3.如何去掉方程中的分母呢？它的依据是什么？
在方程两边同时乘各分母的最小公倍数；
依据是等式的性质2.
解：去分母,得 5(x－50)＝3(x＋70)

方程两边都乘
最小公倍数15
因此，王家庄距翠湖的路程为230 km.
去括号，得 5x－250＝3x＋210.
移项，得 5x—3x＝210＋250.
合并同类项，得 2x＝460.
系数化为1,得 x＝230.
转化为
整数系数
2. 去分母时要注意什么问题
思考：1. 若使方程的系数变成整系数方程，
方程两边应该同乘以什么数

小心漏乘，
记得添括号！
方程两边同乘
各分母的最小
公倍数)
1.确定各分母的最小公倍数；
2.不要漏乘没有分母的项；
3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体．
4.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.
去分母时须注意：

解：去分母(方程两边乘 4)，得
2(x＋1)－4＝8＋(2－x).
去括号，得 2x＋2－4＝8＋2－x.
移项，得 2x＋x＝8＋2－2＋4.
合并同类项，得 3x＝12.
系数化为 1，得 x＝4.



D
B




步 骤 根 据 注 意 事 项
去分母
去括号
移项
合并同类项
两边同除以未知数的系数
等式性质2
分配律
去括号法则
移项法则
合并同类项法则
等式性质2
1.不要漏乘不含分母的项
2. 分子是多项式应添括号
1.不要漏乘括号中的每一项
2.括号前是“－”号，要变号
移项要变号
系数相加，不漏项
不要把分子、分母搞颠倒

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