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2025-2026学年第二学期浙江省绍兴市七年级期末数学模拟练习试卷（解析版）
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，
其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形平移的概念，熟练掌握图形平移中“图形的大小，形状和方向不变”是解决本题的关键．
根据图形平移的概念，即“图形平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动”，由此判断选项即可．
【详解】解：观察选项可知，B选项的车标可由平移得到，
经检验，A选项，C选项，D选项不可以由平移得到．
故选：B ．
以下调查中，最适宜采用普查方式的是（　 　）
A．检测某批次汽车的抗撞击能力 B．了解某市中学生课外阅读的情况
C．调查黄河的水质情况 D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
【答案】D
【分析】本题考查了普查，是否适合选择普查方式要根据所考查的对象的特征灵活选用，熟练掌握普查是解题的关键．根据普查的定义，逐一判断即可．
【详解】A、检测某批次汽车的抗撞击能力，调查的对象范围广，具有破坏性，不适合采用普查，故选项A不符合题意；
B、了解某市中学生课外阅读的情况，调查的对象范围广，不适合采用普查，故选项B不符合题意；
C、调查黄河的水质情况，调查的对象范围广，不适合采用普查，故选项C不符合题意；
D、调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，涉及安全性，适合采用普查，故选项D符合题意，
故选：D．
3．已知是方程的一组解，那么的值是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了方程解的概念，掌握方程解的概念是解答本题的关键．
根据方程解的概念，将，代入方程即可求出的值．
【详解】解：是方程的一组解，
将，代入方程，得，
解得：，
故选：B．
4．如图，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，，则为（　 　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义．由直角三角板的性质可知，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示：
，
，
∵，
∴；
故选：B．
5. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式化为几个整式的积的形式，即可．
【详解】解：A．左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意．
B．左边为单项式，右边分解为常数与单项式的乘积，但单项式的分解不属于因式分解的范畴，不符合题意．
C．右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不符合因式分解的定义，不符合题意．
D．左边为多项式，右边化为，符合因式分解的定义，符合题意．
故选：D
6．若关于的方程有增根，则的值为（　 　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但使原方程分母为零的根；本题中，分母为，故增根为，将原方程化简后代入即可求出的值.
【详解】解：，
∴，
解得：，
∵分式方程有增根，
∴，
把代入中，
，
解得：，
故选：A．
某景区在五一期间每日的人流量如图1所示，该景区的每日人流量占该地区每日总人流量的百分比
如图2所示，下列说法错误的是（　 　）
A．该景区的每日人流量占该地区总人流量的百分比先增加后减少
B．该景区在五一期间的每日人流量在逐日增加
C．该景区在5月3日人流量占该地区总人流量的百分比达到最高
D．该地区5月4日的总人流量比5月5日的总人流量多1.2
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图，折线统计图，根据题意统计图，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 该景区的每日人流量占该地区总人流量的百分比先增加后减少，故该选项正确，不符合题意；
B. 该景区在五一期间的每日人流量在逐日增加，故该选项正确，不符合题意；
C. 该景区在5月3日人流量占该地区总人流量的百分比达到最高，故该选项正确，不符合题意；
D. 该地区5月5日的总人流量比5月4日的总人流量多，万人，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
《孙子算经》中有这样一道题：
今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：
用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．
设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．第一个条件为绳子剩余4.5尺，第二个条件为对折绳子后量木头不足1尺，需转化为对应的方程．
【详解】解：设绳子长x尺，木头长y尺，依题意得：
故选A．
9. 如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，
且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，
则阴影部分的面积为（　 　）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据图形特征，得，结合，，据此计算即可作答．
【详解】解： 由题意可知：
，
∵，，
∴．
故选：B．
长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，
则的度数变化情况为（　 　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．设，根据平行线的性质定理求出，由折叠的性质可得，再根据平行线的性质定理求出，可得，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
若的度数增大，则，
∴若的度数增大，则减小．
故选：D
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12．使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0．根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可．
【详解】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：
13．已知 ，则的值为______．
【答案】64
【分析】将两边平方得，求出，根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：把两边平方得：，即，
∵，
∴，
则．
故答案为：64．
14. 一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是________．
【答案】4
【分析】本题考查了条形图和扇形统计图，掌握扇形统计中调查总数等于部分数除以部分数所占总数的百分比，部分数等于总数乘以部分数所占总数的百分比是解题的关键．根据统计图中，选择D的人数为10人，占总人数的，求出总人数，最后用总人数乘以选择B的百分比即可．
【详解】解：根据题意总人数为：（人），
则选B的人数是：（人）
故答案为：4．
15. 如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，由平移可知重合部分是个矩形，利用平移的性质求出它的长和宽，进而即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：如图,
由平移可得，，，
∴重合部分矩形的面积为，
故答案为：
如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，
．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，
如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过____秒边与直角边平行．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
①如图，

当时，，
此时旋转的度数为，
()；
②如图

当时，，
，
此时旋转的度数为，
()；
综上所述：或．
故答案为或．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查实数的混合运算以及乘法公式，熟练掌握零次幂以及负整数次幂，完全平方公式和平方差公式是解决本题的关键．
（1）根据零次幂以及负整数次幂以及绝对值的性质化简计算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．解下列方程（组）：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法步骤．
（1）利用加减消元法，将两个方程相加消去，求出的值，再将的值代入其中一个方程求出的值；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的解是否为原分式方程的解．
【详解】（1）解
得：，
，
得：，
，
方程组的解为；
（2）解：
去分母，得，
化简，得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解是．
19. 某校开设了多元活动班，设置“绘画”、“剪纸”、“舞蹈”、“摄影”四类活动课程，
每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，
并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息回答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，n的值是______；
请直接补全条形统计图；
扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为______°；
若该校共有2500名学生，请估计有多少名学生选择了“绘画”．
【答案】(1)50，20；
(2)见解析
(3)36
(4)750名
【分析】（1）利用剪纸的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，圆心角的计算解答即可．
（2）根据计算补图即可．
（3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可；
（4）根据样本估计整体的思想计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，
舞蹈的人数为．
，
故n的值为20．
故答案为：50，20．
（2）解：根据前面计算，补图如下：
（3）解：摄影所占圆心角为：
故答案为：36．
（4）解：根据题意，得（人）
答：选择绘画的有750人．
20. 如图，，．
判定与的位置关系，并说明理由；
若是的平分线，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，结合已知证明即可；
（2）根据平行线的性质，结合角的平分线解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
（2）解：∵，，
∴；
∵是的平分线，
∴；
∵，
∴．
21. 【基础巩固】
从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】
在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，
但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，
这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，
前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，
然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）4
【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得；
（2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得；
②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得；
（3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得．
【详解】解：（1）
，
故答案为：．
（2）①
．
②
．
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，
买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，
购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，
求此次书店购进两种书籍各多少本？
【答案】(1)文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本
(2)此次书店的总利润为480元
(3)此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用；
（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“共90本，销售额为2100元”列方程组，求解即可；
（2）根据文学类书籍和科技类书籍的利润率都是，用总销售额乘以利润率即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
【详解】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，
现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，
请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
（3）直接写出下列问题答案：
① 若，，则________；
② 若，则________．
(4) 如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，
设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②13
(4)
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；
（2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可；
（4），，，，可以利用代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
（2）图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
（3）解：①由图2可得，
，，
，
．
故答案为：．
②由图1可得，
，
，
原式．
故答案为：13．
（4）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案；
（3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系；
（4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数．
【详解】解：（1）如图，过P作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
两直线平行，内错角相等；；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：82；
（3），，之间的数量关系是：；理由如下：
过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：；
（4）∵的平分线和的平分线交于点Q，
∴设，，
∴，，
∴，，
由（1）的结论得：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：131．
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2025-2026学年第二学期浙江省绍兴市七年级期末数学模拟练习试卷
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，
其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　 　）
A． B． C． D．
以下调查中，最适宜采用普查方式的是（　 　）
A．检测某批次汽车的抗撞击能力 B．了解某市中学生课外阅读的情况
C．调查黄河的水质情况 D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
3．已知是方程的一组解，那么的值是（　 　）
A． B． C． D．
4．如图，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，，则为（　 　）

A． B． C． D．
5. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　 　）
A． B．
C． D．
6．若关于的方程有增根，则的值为（　 　）
A．2 B．1 C． D．
某景区在五一期间每日的人流量如图1所示，该景区的每日人流量占该地区每日总人流量的百分比
如图2所示，下列说法错误的是（　 　）
A．该景区的每日人流量占该地区总人流量的百分比先增加后减少
B．该景区在五一期间的每日人流量在逐日增加
C．该景区在5月3日人流量占该地区总人流量的百分比达到最高
D．该地区5月4日的总人流量比5月5日的总人流量多1.2
《孙子算经》中有这样一道题：
今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：
用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．
设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　 　）
A． B． C． D．
9. 如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，
且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，
则阴影部分的面积为（　 　）
A．12 B．14 C．16 D．20
长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，
则的度数变化情况为（　 　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11. 分解因式：x2－9＝______．
12．使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
13．已知 ，则的值为______．
14. 一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是________．
15. 如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______．
如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，
．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，
如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过____秒边与直角边平行．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解下列方程（组）：
(1)
(2)．
19. 某校开设了多元活动班，设置“绘画”、“剪纸”、“舞蹈”、“摄影”四类活动课程，
每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，
并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息回答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，n的值是______；
请直接补全条形统计图；
扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为______°；
若该校共有2500名学生，请估计有多少名学生选择了“绘画”．
20. 如图，，．
判定与的位置关系，并说明理由；
若是的平分线，，求的度数．
21. 【基础巩固】
从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】
在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，
但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，
这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，
前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，
然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
22．已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，
买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，
购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，
求此次书店购进两种书籍各多少本？
23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，
现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，
请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
（3）直接写出下列问题答案：
① 若，，则________；
② 若，则________．
(4) 如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，
设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
（3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
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