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（人教版2024） 2025-2026学年八年级下学期数学
期末测试卷01
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形
4．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．下四分位数是80
B．平均数是79
C．中位数是80
D．10分钟内总心跳次数是790次
5．镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
7．化简：的结果是（　　）
A． B．5 C． D．
8．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．如题图，正方形中，点在上，且，点是的中点，点是的中点，延长，与的延长线交于点．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ．
12．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）．
13．如图，正方形中，，直线交于点，则 ．
14．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入 元．
15．小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________．
16．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（8分）计算：
(1)．
(2)．
18．（8分）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．（8分）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米．
(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
(2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
20．（8分）为弘扬爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明 缅怀英烈”知识竞赛活动，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），
下面给出了部分信息：
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89；
九年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99．
八、九年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 85.2 a 91 55.3
九年级 85.2 86 b 62.1
八年级学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝______，b＝______，m＝______；
(2)该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由．（至少从两个不同的角度说明理由）
21．（8分如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，求□的面积．
22．（10分）兴凯湖景区某商店准备购进甲、乙两种兴凯湖沙画摆件．其中甲、乙两种沙画摆件的进价和售价如下表：
种类 甲 乙
进价（元/个） m
售价（元/个） 150 120
(1)若用3000元购进甲种沙画摆件的数量与用2400元购进乙种沙画摆件的数量相同，求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种沙画摆件共200个的总利润（利润=售价-进价）不少于8950元，且甲种沙画摆件的数量不超过100个，问该商店共有几种进货方案
(3)在（2）的条件下，商店准备对甲种沙画摆件进行每个优惠a（）元的优惠促销活动，乙种沙画摆件价格不变．请直接写出该商店要获得最大利润的进货方案
23．（10分）综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．
(1)【操作与证明】：
①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______；
②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形；
(2)【迁移应用】：
如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长．
24．（12分）如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数．
(3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长．
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（人教版2024） 2025-2026学年八年级下学期数学
期末测试卷01
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式．
根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可．
【详解】解：①：被开方数，是二次根式；
②：被开方数，式子无意义，不是二次根式；
③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式；
④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式；
⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个．
故选：A．
2．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可．
【详解】首先整理一次函数得
一次函数随的增大而减小，
一次项系数，
解不等式得．
故选C．
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形
【答案】D
【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，中点四边形，中位线的性质，根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；
B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；
C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；
D、如图，四边形中，
设四边形各边中点分别为，
∴
又∵，
∴
∴四边形是菱形，即顺次连接四边形各边中点得到的图形是菱形，原说法错误；
故选：D．
4．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．下四分位数是80
B．平均数是79
C．中位数是80
D．10分钟内总心跳次数是790次
【答案】A
【分析】下四分位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列前半部分数据的中位数；算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数．
【详解】解：A．根据绘制的条形统计图，将数据按照从小到大的顺序排列为，
由，下四分位数是，故本选项结论错误，符合题意；
B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意；
C．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80，
∴中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意；
D．∵（次），
∴10分钟内心跳总次数为790（次），故本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
5．镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可．
【详解】解：∵六边形为正六边形，
∴，，
∴．
6．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设，，
∵长方形的周长是，长方形的面积为
∴，，
∴，
故选：A．
7．化简：的结果是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴
故选：A
8．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用垂直平分线和菱形的性质，用勾股定理求出的长度，再结合平行线的性质推出，最后用勾股定理算出的长．
【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线，则，，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，
在中，．
9．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
圆柱体的底面周长为，
半周长为，
又，
，
沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是．
故选：C．
10．如题图，正方形中，点在上，且，点是的中点，点是的中点，延长，与的延长线交于点．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
设正方形边长为，求出、、，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
【详解】设正方形边长为，
∵四边形是正方形，
，
∵，点是的中点，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
∴是直角三角形，故②正确；
，
是中位线，
，故①正确；
在中，
，
，
，
∴，故③正确；
，
，故④正确；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可．
【详解】解：∵，是整数，
的最小值为3，
故答案为：3．
12．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出平移后的解析式，再根据平移后的直线经过第二、第三、第四象限，即，，可求出的取值范围即可求解．
【详解】∵直线向下平移个单位长度，
∴，
∵平移后的直线经过第二、第三、第四象限，
∴，解得：，
∴的值可以是（答案不唯一）．
13．如图，正方形中，，直线交于点，则 ．
【答案】
【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴．
14．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入 元．
【答案】7200
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积的面积的面积
，
∴学校要投入资金为：（元），
故答案为：7200．
15．小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________．
【答案】
【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算．
【详解】解：由规律可得：，
当时，式子为，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，根据正方形的性质，得，又因为点是的中点，，然后将绕点逆时针旋转，得到，运用勾股定理得，结合三角形三边关系，得，当三点共线时，则，此时的最大值为，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，
∴在中，，
将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
则，
在中，，
即，
当三点共线时，则，
此时的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（8分）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质和二次根式的性质计算即可求解；
（2）根据零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂和二次根式的乘除法则计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（8分）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
19．（8分）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米．
(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
(2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米
(2)他应该朝射线方向前进4米
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．
（1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可；
（2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可．
【详解】（1）解：中，
米，
米，
答：此时风筝离地面的垂直高度为米；
（2）解：米，
由题意可得：米，
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
20．（8分）为弘扬爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明 缅怀英烈”知识竞赛活动，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），
下面给出了部分信息：
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89；
九年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99．
八、九年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 85.2 a 91 55.3
九年级 85.2 86 b 62.1
八年级学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝______，b＝______，m＝______；
(2)该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由．（至少从两个不同的角度说明理由）
【答案】(1)87，86，40
(2)448人
(3)八年级，见解析
【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答；
（2）用该校八九年级的总人数乘以优秀人数所占的百分比即可；
（3）根据中位数，优秀人数判断即可．
【详解】（1）解：八年级A组有人，B组有人，C组7人，将数据重新排列为81，83，84，86，86，88，89，第10，11个数据分别为86，88，所以八年级的中位数，，则；因为九年级86出现的次数最多，所以众数；
（2）（人）
答：估计两个年级成绩优秀的学生共448人;
（3）解：八年级成绩更好．
∵八年级成绩的中位数比九年级高，且优秀人数比九年级多，
∴八年级成绩更好．
21．（8分如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，求□的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．
(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．
【详解】（1）证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．
22．（10分）兴凯湖景区某商店准备购进甲、乙两种兴凯湖沙画摆件．其中甲、乙两种沙画摆件的进价和售价如下表：
种类 甲 乙
进价（元/个） m
售价（元/个） 150 120
(1)若用3000元购进甲种沙画摆件的数量与用2400元购进乙种沙画摆件的数量相同，求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种沙画摆件共200个的总利润（利润=售价-进价）不少于8950元，且甲种沙画摆件的数量不超过100个，问该商店共有几种进货方案
(3)在（2）的条件下，商店准备对甲种沙画摆件进行每个优惠a（）元的优惠促销活动，乙种沙画摆件价格不变．请直接写出该商店要获得最大利润的进货方案
【答案】(1)
(2)一共有6种方案
(3)购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个
【分析】（1）根据，结合已知条件，列出关于m的方程，解方程并检验，即可求得m的值；
（2）设购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，先根据（1）的结果，求出甲种沙画摆件和乙种沙画摆件的进价，再根据题意列出关于总利润的不等式，解不等式，得出x的取值范围，再考虑到实际问题，得出x为整数，即可求出该商店一共有6种进货方案；
（3）设总利润为w，购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，先列出w的表达式，并进行化简，得到，根据，得出，即w随x的增大而减少，结合（2）问答案，求得该商店要获得最大利润的进货方案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：m的值为100．
（2）解：设购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，
由（1）的结果可知，甲种沙画摆件的进价为100元/个，
乙种沙画摆件的进价为（元/个），
由题意可得，，
化简得，
解得，，
∵，
∴，
∵x为整数，
∴或96或97或98或99或100，
即该商店一共有6种进货方案；
答：该商店一共有6种进货方案．
（3）解：设总利润为w，购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，
则
∴，
∵，
∴，
∴w随x的增大而减少，
∵，x为整数，
∴当时，w有最大值，
此时（个）
即购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个时，该商店获得最大利润．
答：该商店要获得最大利润的进货方案为：购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个．
23．（10分）综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．
(1)【操作与证明】：
①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______；
②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形；
(2)【迁移应用】：
如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长．
【答案】(1)①；②证明过程见详解
(2)的长为
【分析】（1）①根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解；
②根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，，结合菱形的判定方法即可求解；
（2）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，由全等的性质得到，如图所示，过点作于点，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：①∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
②证明：∵四边形是矩形，
∴，，即，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵折叠，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∴，
由（1）得到，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键．
24．（12分）如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数．
(3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，
对于（1），先说明，再根据旋转性质得，即可得，，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论；
对于（2），先根据“边角边”证明，再说明四边形是矩形，即可得出答案；
对于（3），分两种情况：当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，由（2）得是等腰直角三角形，四边形是矩形，可根据勾股定理求出，然后根据得出答案；
当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，仿照上述根据求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
根据旋转，得，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
（3）解：或．
当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，
由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理，得，
∴；
当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，
由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
所以的长为或．
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