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河南南阳市六校2025-2026学年高二下学期阶段性素养评价（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D. 和
4.设为数列的前项和，，则“为递增数列”是“为递增数列”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
5.已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是( )
A. 变量和呈负相关 B. 当时，一定等于
C. D. 该经验回归直线必过点
6.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是( )
A. 函数的最小值为
B. 不等式的解集为
C. 函数在单调递增，在单调递减
D. 若恒成立，则实数
10.设数列的前项和为且，则下列选项正确的是( )
A. B. 数列为等差数列
C. 当时，取最大值 D. 设，则
11.设定义在上的函数满足，且当时，已知存在，且为函数为自然对数的底数的一个零点，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线存在斜率为的切线，则实数的取值范围是
13.设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么
14.定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中为自然对数的底数的解集为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等比数列的前项和，已知．
求的通项公式；
判断是否成等差数列，并给出证明．
16.本小题分
设函数
判断的单调性并求最值；
证明：
17.本小题分
某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量单位：亿元对年销售额单位：亿元的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：，，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
根据的选择及表中数据，建立关于的回归方程系数精确到；
若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
参考数据：，，．
18.本小题分
已知数列满足，且
求证：数列是等差数列，并求
令，求数列的前项和
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
设，讨论函数在上的单调性；
证明：，有．
参考答案
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15.解：已知数列为等比数列，所以，
因为，所以，解得或，
因为，所以，，所以，．
成等差数列，理由如下：
由知，
，
而，
因为，则，
所以，
因此 成等差数列．

16.解：已知函数，
所以．
令，得，即，
当时，，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
所以，函数无最大值．
要证，由知，
所以只需证，
即．
令，，
则，
令，，
所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此，即，
所以成立，等号当且仅当且时取得，证毕．

17.解：由题意，
，
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好；
先建立关于的线性回归方程，
由，得，即；
由于，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则；
下一年销售额需达到亿元，即，
代入，得，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
18.解：因，易得，
则，
即，则是以为首项，公差为的等差数列，
则
由，
则
．

19.解：，则，从而切线方程为；
由，，从而在上单调递增；
相当于证明，令则，因，由可得，从而在上单调递增，则当，取固定正值时，，即，命题得证．
【分析】由题可得切线斜率，然后由点斜法可得答案；
相当于证明，令则，因，由可得，从而在上单调递增，则当，取固定正值时，，即，命题得证．

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