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2026年江苏省常州市钟楼区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是（　）
A. 2 B. -2
C. D.
2.若使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≥-1 B. x＞-1 C. x≠-1 D. x=-1
3.如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（　　）
A. 三棱柱
B. 圆柱体
C. 三棱锥
D. 长方体
4.如图，在坡度i=1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为9m,则这两棵树之间的坡面距离为（　　）
A.
B. 9m
C.
D. 10m
5.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm,则的长是（　　）
A. 24πcm B. 12πcm C. 10πcm D. 6πcm
6.甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次100m选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7.如图，某同学用剪刀沿虚线将四边形纸片剪掉一个角，发现剩余图形的周长比原四边形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A. 两点之间，线段最短
B. 经过一点，有无数条直线
C. 点动成线
D. 经过两点，有且只有一条直线
8.5G无人物品派送车现已应用于实际生活中.如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段OA-半圆弧AB-线段BO匀速行驶，最后回到点O处，则5G无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.4的平方根是 .
10.计算（x3y）2的结果等于 .
11.因式分解：2x2+4x+2= .
12.2026年4月11日第二届苏超在常州奥体中心正式揭幕.首个比赛日，共约124000人现场观赛，数据124000用科学记数法表示为 .
13.如果点P（x，y）关于原点的对称点为（-2，3），则x+y=______．
14.已知关于x的方程x2+4x-k=0有实数根，则k的取值范围是 .
15.如图，平行线a,b被直线c所截，a与c相交于点O，OP⊥c于点O，∠1=60°，则∠2的度数为 °.
16.如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=38°，则∠ABD的度数为 .
17.如图，∠MON=60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO= .（结果保留根号）
18.如图，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE=CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、DE，在运动过程中，△DEH的面积的最小值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.（1）计算：；
（2）解不等式组：.
四、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
先化简，再求值：（x+1）2-x（x+1），其中x=-1.
21.(本小题6分)
某校九年级数学兴趣小组利用课余时间对本年级学生1分钟跳绳次数情况进行调查，调查报告如下：
九年级学生1分钟跳绳次数情况调查报告
调查目的 1.了解九年级学生1分钟跳绳次数情况；2.确定需重点指导跳绳技能的学生
调查方式 随机抽样调查
调查内容 实地调查被抽到学生的1分钟跳绳次数（成绩满分为10分）
调查结果
解决问题 1分钟跳绳成绩低于被调查学生跳绳成绩中位数的学生，需重点指导跳绳技能
结合调查信息，解决问题：
（1）小明1分钟跳绳的成绩为8分，他是否属于需重点指导跳绳技能的学生，请说明理由；
（2）若又有m个人参与调查，把他们的1分钟跳绳成绩合并到之前的数据中，发现众数发生了改变，当m的值最小时，在九年级1350名学生中，估计需重点指导跳绳技能的学生人数.
22.(本小题8分)
如图是某教室里日光灯的四个控制开关的示意图（四个控制开关分别记为A，B，C，D），
（1）任意按下一个开关，恰好打开A日光灯的概率是______；
（2）同时任意按下两个开关，请利用画树状图或列表的方法，求恰好打开A、B两盏日光灯的概率.
23.(本小题8分)
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD相交于点O，AD=BC.
（1）求证：OD=OC.
（2）若∠A=30°，AC=4，求OD的长.
24.(本小题8分)
我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函的图象交于A（m,1），B（2，-3）两点，与x轴、y轴交于点C，D两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是该反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的坐标.
26.(本小题10分)
如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA=EP，连结AE，EP.
（1）求证：△PAE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；
（3）当点P是BC的中点时，DE=4.
①求BC的长；
②若点Q是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长.
27.(本小题10分)
设二次函数y=-x2+2ax-a+3.
（1）若该函数的对称轴为直线x=1，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P（6，3-a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围.
28.(本小题12分)
综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”.
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC.求：
①AD与BC的位置关系为：______；
②AC2______AD BC.（填“＞”，“＜”或“=”）
【方法应用】
①如图4，在△ABC中，AC=BC.将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形.
②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，，AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】±2
10.【答案】x6y2
11.【答案】2（x+1）2
12.【答案】1.24×105
13.【答案】-1
14.【答案】k≥-4
15.【答案】30
16.【答案】52°
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】+3 0≤x＜5
20.【答案】解：原式=x2+2x+1-x2-x
=x+1；
当x=-1时，
原式=-1+1=．
21.【答案】抽样总人数：8+6+4+5+2=25（人），
25个数据，中位数为第13个数据；8＜13＜8+6=14，
因此中位数是7分，
只有成绩＜7分才需重点指导，
∵8＞7，
∴小明不需要重点指导 m最小值为3，估计需重点指导约386人
22.【答案】；
．
23.【答案】∵AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD相交于点O，
∴∠C=∠D=90°，∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OD=OC OD的长是
24.【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
25.【答案】反比例函数解析式为；一次函数解析式为y= （1，-6）或（-1，6）
26.【答案】（1）证明：如图1，∵点E在△ABP的外接圆上，
∴∠AEP+∠A=180°，
∴∠AEP=90°，
∴∠EAP+∠EPA=90°．
∵，
∴∠EAP=∠EPA=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形；
（2）解：结论：DE=PF，
理由：如图2，延长FE交AD于点H，
∵EF⊥BC，BC∥AD，
∴EH⊥AD，
即∠AHE=∠EFP=90°，
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∵∠AEP=90°，
∴∠PEF+∠AEH=90°，
∴∠EAH=∠PEF，
又∵△PAE是等腰直角三角形，
∴EA=EP，
∴△EAH≌△PEF（AAS），
∴AH=EF，EH=PF，
∵AD=DC=HF，
∴AH+HD=EF+HE，
∴HD=HE=PF，
∴；
（3）解：①由（2）知．
∵DE=4，
∴PF=2．
∵P是BC的中点，
∴BC=2PC=8，
②∵，
∴∠EAD＜∠EDA=45°=∠PAE，
∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD，
当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PAQ=45°=∠PAE，
∴=，
∵∠B=90度，
∴AP是圆的直径，
∴，
∴AQ=AE==4；
当∠PAQ=∠EAD时，如图4，连结PQ；
∵AP是圆的直径，
∴∠AQP=90°=∠AHE，
∴△APQ∽△AEH，
∴，
∴AQ=AH=12，
综上所述，AQ的长是4或12．
27.【答案】（1，3）；
该函数存在最大值5，此时a=2或a=-1；
x2＜1或x2＞5．
28.【答案】【问题解决】①AD∥BC；②=；
【方法应用】①∵△ADE为△ABC旋转得到，
∴AB=AD，
令∠B=α，则∠ADB=α，∠BAD=180°-2α，
由旋转得，∠ADE=∠B=α，DE=BC，AE=AC，
又∵AC=BC，
∴EA=ED，
∴∠DAE=∠ADE=α，
∴∠E=180°-2α，
∴∠E=∠BAD，
∴四边形ABDE为双等四边形；
②或或．
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