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2025-2026学年辽宁省大连经济技术开发区第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等比数列{an}中，a2=2，a4=8，则a6=（　　）
A. 64 B. 32 C. 28 D. 14
2.已知ξ～N（8，σ2），若，则P（6≤ξ≤8）=（　　）
A. B. C. D.
3.某公司近几年投入A款产品的年研发费用x与年利润y的统计数据如表：
年研发费用x 5 4 6 3 4 2
年利润y 12 10 13 9 11 5
若y与x的回归直线方程为，则=（　　）
A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4
4.数列{an}满足a1=2，，则a11等于（　　）
A. B. -1 C. 2 D.
5.已知随机变量X的分布如下：若E（X）=0，则D（2X+5）=（　　）
X -2 0 1 2
p m n
A. B. 7 C. D. 22
6.函数的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
7.若函数在[2，5]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.设函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）-1-m=0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若{an}为等差数列，a2=11，a5=5，则下列说法正确的是（　　）
A. an=15-2n B. -20是数列{an}中的项
C. 数列{an}单调递减 D. 数列{an}前7项和最大
10.随机变量X服从参数为n,p的二项分布，即X～B（n,p），其概率分布可用下图直观地表示，则（　　）
A. n=5 B. C. D.
11.已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=a2=1，an=an-1+2an-2（n≥3），则下列结论正确的是（　　）
A. 数列{an+an+1}为等比数列 B. 数列{an+1-2an}为等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则= .
13.一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）.已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为 .
14.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在x=-3时取得极值13.
（1）求a,b的值；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=1，且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Sn，求S99.
17.(本小题15分)
为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）：
成绩显著提升 成绩未显著提升 合计
坚持自主刷题 90 30 120
未坚持自主刷题 20 60 80
合计 110 90 200
根据上述数据，解答下列问题：
（1）依据小概率值α=0.001的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？
（2）已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}满足b1=1点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上.
（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（2）令cn=an bn，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）已知λ＞0，求对所有的正整数n都有成立的k的范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（1）已知函数在x=-3时取得极值13，
则f（-3）=-9+9a-3b+4=13，
又f′（x）=x2+2ax+b,
则f′（-3）=9-6a+b=0，
解得a=1，b=-3．
（2）由（1）知f′（x）=x2+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，
解得x1=-3，x2=1，
当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），
当x∈（-3，1）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递减区间为（-3，1），
所以f（x）在[-1，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，
又因为，，
所以f（x）在[-1，2]上的最大值为，最小值为．
16.【答案】
17.【答案】有关
18.【答案】，n∈N*；bn=2n-1
19.【答案】解：（1）∵，
∴
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵点（1，f（1））在切线y=x-1上，
∴2a-1+c=0 c=1-2a，
∴．
（2）∵，
f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
设g（x）=f（x）-lnx，则g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）min≥0，
又∵，
而当时，．
1°当即时，
g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴；
2°当即时，
g'（x）=0时；
且时，g'（x）＜0，
当时，g'（x）＞0；
则①，
又∵与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．
（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
则当时，在[1，+∞）上恒成立，
令x依次取…时，
则有，，
…
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．
那么1+++…++＞ln（k+1）++
=ln（k+1）+．
由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）
令有f（x）= （x≥1）
令x=得
∴
∴1+++…++＞
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．
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