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2025-2026学年天津市武清区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共36分。
1.从甲地到乙地有3条不同的路线，从乙地到丙地有4条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地的不同路线有（　　）
A. 7条 B. 12条 C. 64条 D. 81条
2.要从5件不同的礼物中选出3件，不同的选法种数为（　　）
A. B. C. 53 D. 35
3.一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）=t2+3t,则质点A在t=2s时的瞬时速度为（　　）
A. 4m/s B. 7m/s C. 10m/s D. 14m/s
4.某班从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名，排成4×100米接力赛的第一、二、三、四棒，其中A不跑第一棒和第四棒，则不同的排法种数（　　）
A. 24 B. 48 C. 72 D. 120
5.在（1-2x）n展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和为（　　）
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
6.下列导数运算正确的是（　　）
A. （3x）′=3x B.
C. D. （cosx+2x2）′=sinx+4x
7.展开式中x3y3的系数是（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
8.若函数f（x）=mex-x2在R上单调递增，则实数m的最小值是（　　）
A. -2e B. C. D.
9.若f（x）是定义在区间（-3，2）上的函数，其图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则f（x）f′（x）＞0的解集为（　　）
A. （-2，-1）∪（1，2）
B. （-2，-1）∪（0，1）
C. （-3，-2）∪（0，1）
D. （-1，0）∪（1，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.计算= .
11.函数y=ln（1-x）的导数为 .
12.在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答）
13.某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为 .（请用数字作答）
14.若函数有两个极值点，则实数a的取值范围 .
15.已知f（x）=ex-2x,g（x）=lnx-ax,若对任意x1∈（0，+∞），都存在x2∈（0，+∞），使得，则实数a的取值范围为 .
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知函数f（x）=x（lnx+1）.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的极值.
17.(本小题12分)
某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务.
（1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答）
（2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答）
（3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）
18.(本小题12分)
已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等.
（1）求n的值；
（2）求展开式中x6的系数；
（3）求展开式所有项的系数之和.
19.(本小题12分)
已知函数f（x）=ax3+bx2+x+2（a,b∈R），当x=1时，f（x）有极大值3.
（1）求a,b的值；
（2）若方程f（x）=m在区间[-2，2]上恰有一个根，求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f（x）=2ex-ax-2，其中a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，+∞）上存在零点x0，证明：x0＜a-2.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】21
11.【答案】y′=
12.【答案】60
13.【答案】420
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】y=2x-1 极小值为，无极大值
17.【答案】91 120 720
18.【答案】6 240 729
19.【答案】a=-1，b=1
20.【答案】若a≤0，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；若a＞0，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为 因为f（x）在区间（0，+∞）上存在零点x0，
所以存在x0∈（0，+∞），有ax0-2=0，即，
若要证明x0＜a-2，则只需，即只需，
不妨设h（x）=2ex-x2-2x-2，x＞0，求导得h′（x）=2ex-2（x+1），x＞0，
令u（x）=h′（x）=2ex-2（x+1），x＞0，
求导得u′（x）=2ex-2＞2-2=0，x＞0，
所以当x＞0时，h′（x）=2ex-2（x+1）单调递增，
所以h′（x）=2ex-2（x+1）＞h′（0）=0，
当x＞0时，h（x）=2ex-x2-2x-2单调递增，
所以h（x）=2ex-x2-2x-2＞h（0）=0，
即当x0＞0时，不等式恒成立．
故x0＜a-2得证
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