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2025-2026学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若（x+i3）i=y-2i,x,y∈R，则x+y=（　　）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
2.已知向量=（1，2），=（3，4），且∥，（-）⊥，则向量=（　　）
A. B. C. D.
3.有一块多边形木板，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图），其中∠ABC=45°，AD=CD=，BC⊥CD，则这块木板的面积为（　　）
A. B. C. 3 D. 6
4.已知向量=（6，8），=，那么向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，，则C=（　　）
A. B. C. D.
6.素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证.如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）.已知杯口直径为6cm,酒杯容积为63πcm3，则其内壁表面积为（　　）
A. 36πcm2 B. 48πcm2 C. 57πcm2 D. 66πcm2
7.如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=6，CD=10，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则EF=（　　）
A. 7
B. 8
C.
D. 9
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b2-2csinB+c2=a2，且a=6，则的值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题错误的是（　　）
A. 一个校柱至少有5个面 B. 直四棱柱是长方体
C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 正方形的直观图是正方形
10.对于复数z,下列说法正确的是（　　）
A. B. |z|2=z2
C. 若|z|=1，则 D. 若z2≥0，则z∈R
11.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则如下命题中，正确的是（　　）
A. 若a+b＞2c,则
B. 若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
D. 若，则AC边上的中线BD的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥底面半径为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 .
13.复数z满足|z-i|=1，则|z-2|的最小值为 .
14.已知平面向量，（≠，≠）满足||=，且与-的夹角为135°，则||的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设i为虚数单位，a∈R，复数，且在复平面内复数z1对应的点在第一象限的角平分线上.
（1）求a的值及复数z1的共轭复数；
（2）若是纯虚数，求实数b的值.
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=120°，，CD=4，AD=1求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积与体积.
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，点E是AB的中点，F是线段AD上靠近点D的三等分点，，设.
（1）若，
①用，表示；
②求∠FEG的大小；
（2）若，且，求平行四边形ABCD的面积.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A的大小；
（2）若角A的平分线交BC边于点D，，求△ABC的周长.
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=3.
（1）若BC=CD=5，求证：当AC长度变化时，4cos∠ABC-3cos∠ADC为定值，并求此定值；
（2）若△BCD是等边三角形，
①当BC=3时，求△ABC的面积；
②求△ABC的面积的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】16
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】a=±3，z1=5+5i， -
16.【答案】；49π．
17.【答案】①=-；=+；②90° 6
18.【答案】
19.【答案】设AC=x，
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC==，
在△ACD中，由余弦定理知，cos∠ADC==，
所以4cos∠ABC-3cos∠ADC=4×-3×==，为定值 ①；②
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