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2025-2026学年辽宁省大连市第四十八中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设扇形的半径为2cm，弧长为6cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知向量满足，则=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
3.在△ABC中，tanA、tanB是方程的两个实根，则tanC的值为（　　）
A. B. C. D.
4.已知，是单位向量，且（，）=，若向量=+2在上的投影向量为λ（λ∈R），则λ=（　　）
A. 2 B. C. D.
5.已知函数f（x）=sin（x-），若方程f（x）=的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1+x2）=（　　）
A. - B. C. D. -
6.若，且，则sin（α+β）=（　　）
A. B. 或 C. D.
7.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，t∈[0，24）.若要求实验室温度低于11℃，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（　　）
A. 6小时 B. 8小时 C. 9小时 D. 12小时
8.已知函数，若，总存在唯一实数β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）=0，则实数m的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式中运算正确的是（　　）
A.
B.
C. tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1
D.
10.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若sinA=cosB，则△ABC不是锐角三角形
B. 若sinA＞cosB，则△ABC是锐角三角形
C. 若（a+b+c）（a+b-c）=ab,则
D. 若，则
11.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确的是（　　）
A.
B.
C. 当时
D. 的最大值是72
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则cos2α=______．
13.设当x=θ时，函数f（x）=sinx+3cosx取得最大值，则cosθ= .
14. 化简：sin40°（tan10°-）= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，.
（1）若与共线，求实数m的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知平面向量，函数.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若锐角α满足，求的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosA
.
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积；
（3）若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy（α）仿射坐标系，在xOy（α）仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在xOy（α）仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求cosα；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
19.(本小题17分)
如图，有一块矩形铁皮ABCD，其中AB=t（t≥4），AD=4，阴影部分AMN是一个半径为3的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在BC与CD上的矩形铁皮PQCR，使点P在弧上.设，矩形PQCR的面积的表达式为f（θ）.
（1）当t=6时，设，求g（θ）的值域；
（2）当t=4时，求f（θ）的最小值，并求出当f（θ）取得最小值时，所对应的sinθ的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-1
15.【答案】m=-；
{ m|m＜5且m≠0}．
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】 最小值是，所对应的sinθ的值是或
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