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八年级下册数学期末模拟测试卷
（满分100分 时间120分钟）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后正面朝上 B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．明天将下雨 D．任意画一个三角形，其内角和是
2．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
5．某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ）
A．频数分布直方图中组距是
B．本次抽样样本容量是
C．这一分数段的频数为
D．这次测试及格（不低于分）率为
6．在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
7．若关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
8．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，其中点B、C分别位于第一、二象限，且与x轴正半轴的夹角为，则点B的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．计算：______．
12．如图是王伯伯养的黑兔、灰兔、白兔的扇形统计图，他养了______只黑兔．
13．一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个．
14．如图，在中，，垂足为，若，则______．
15．若多项式有一个因式是，则的值为___________．
16．若，为有理数，且，则的值为______．
17．第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______．
18．如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是______.
19．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为_________．
20．在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____．
三、解答题(共60分)
21．计算：（每题4分，共8分）
(1)； (2)．
22．因式分解：（每题4分，共8分）
(1) (2)
23．（共6分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校800名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次调查的学生人数为________人；扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角度数为________；
(2)请通过计算将条形统计图补充完整；
(3)请你估计全校读完了超过2部名著的学生人数．
24．（共8分）如图，在四边形中，对角线相交于点 O， ，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当平分时，求四边形的周长．
25．（共8分）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
26．（共10分）勾股定理是重要的几何工具，它既能解决生活中的实际问题，又能帮助数形结合破解一些含根号代数式的最值难题．如图，码头潭公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台A、凉亭B，观景台A到马路的距离（的长）为，凉亭B到马路的距离（的长）为，的长为．为方便游客，现计划在路段之间离点处放置一个自动售货点G．
(1)请用含x的代数式表示：______，______；若要使G到A、B两处的距离相等，则_______．
(2)若要使从点A走到点G买东西后再走到点B的总路径最短，求点G应修建在离点C多远处？最短总路程为多少？
(3)直接写出代数式的最小值为______．
27．（共12分）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
(1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；
(2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．
试卷第6页，共6页
答案
1．D
解：A、抛一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能没有命中靶心，不是必然事件，不符合题意；
C、明天可能下雨，也可能不下雨，不是必然事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
故选：D．
2．B
解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．A
解：
．
4．C
解：A． ，，如下图所示，
，
，
，
，
只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形，故不符合题意．
B：，
∵四边形内角和为，
∴，即；
这只能推出一组对角互补，无法证明两组对边平行或两组对角相等，比如等腰梯形也可能满足、，
∴四边形不是平行四边形，故不符合题意．
C：，
如下图所示，
∵四边形内角和为，
∴；
∴，即 ，
；
同理，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D：
∵四边形内角和为，
；
∴四个角分别为，，，既不满足两组对角相等，也不满足两组对边平行，
∴四边形不是平行四边形，故不符合题意．
5．B
解：A、由图可知组距为，故本选项不符合题意；
B、将纵轴上的人数求和，即可得抽样的学生数：（人），故本选项符合题意．
C、这一分数段的频数为，故本选项不符合题意；
D、估计这次测试的及格率是：，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．B
解：由数轴得，
∴，
故选：B．
7．C
解：方程两边同乘以，得：，
解得：，
关于的方程的解是非负数，
，且，
解得：且．
故选：C．
8．A
解：∵设总页数为，原计划每天读页，
∴原计划总阅读时间为天．
∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半，
∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天．
∵ 实际比原计划多花天读完，
∴可得方程．
因此A选项正确．
9．A
解：如图，连接，作轴，与x轴正半轴的夹角为，

则，，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
故选：A．
10．D
解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．
故①正确．
②∵，是中点，
∴．
∵分别是中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
故②正确．
如下图所示，连结和．
③如上图所示：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵分别是中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
故③正确．
④∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵为的中点，
∴，故④正确
故选：D．
11．
解：．
故答案为 ．
12．45
解：∵白兔所占百分比为，
∴灰兔所占百分比为，
则王伯伯养的黑兔、灰兔、白兔共有只，
∴他养了黑兔只，
故答案为：45．
13．8
解：设袋子中白球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中白球约有8个，
故答案为：8．
14．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：将代入多项式，得
，
计算得
，
，
，
解得．
故答案为：．
16．625
解；由和得 且 ，
解得．
代入原方程，得，
所以．
则．
故答案为．
17．
解：设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆，
由题意可得：．
18．6
解：∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，，两点关于对称，
∴连接于交于点，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∴此时的周长就是周长的最小值，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴，
∴周长的最小值是，
故答案为：6．
19．
解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
20．
过点作关于直线的对称点，连接，，，
，，
四边形是正方形，
，，
，，，
，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，最小值为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值为．
21．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
23
（1）解：本次调查的学生人数为人；
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角度数为；
故答案为：40；54
（2）解：“1”部的人数为人
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：全校读完了超过2部名著的学生人数为280人．
24．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的周长．
25．
（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
26．
（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∵G到A、B两处的距离相等，
∴，
即，
解得：；
（2）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点G，连接，作交延长线于H，则，，
可知四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即点G应修建在离点C处，最短总路程为；
（3）解：可看作两直角边分别为m和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，
如图，构造矩形，使，，取，进而构造和，
依题意，得，，，
求代数式的最小值，就是求的最小值，当与共线时，为最小，最小值为的长．
∵，，
∴由勾股定理，得，
∴代数式的最小值是5．
27．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，＝，
∵垂直平分，垂足为，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形．
设菱形的边长，则，
在中，，
由勾股定理得，
解得，
∴．
（2）①显然当P点在上时，Q点在上，
此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在上时，Q点在或上或P在上，
Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，
∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，
∴，＝，即＝，
，
解得，
以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得；
ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得；
iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得．
综上所述，与满足的数量关系式是．
答案第10页，共19页

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