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眉山市仁寿县城北实验中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题：（每小题4分，共12小题，共计48分）
1．下列算式中，正确的是
A． B． C． D．
2．下列四个数中，是无理数的是　　
A． B． C． D．18
3．下列计算结果正确的是
A． B． C． D．
4．已知实数，满足，则的值为
A．4 B．3 C．1 D．0
5．已知，，，那么、、的大小顺序是
A． B． C． D．
6．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是
A． B．
C． D．
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明△和△，则这两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
9．如图，△中，，是中点，下列结论中不正确的是
A． B． C．平分 D．
10．如图，是的平分线，于，连接，若△的面积为 ，则△的面积为　　
A． B． C． D．
11．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用、表示小矩形的两边长．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有
①；②；③；④；⑤．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图所示，已知△和△都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤△是等边三角形．其中正确的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题4分，共6题，共计24分）
13．的平方根是　　 ．
14．请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果，那么”的形式　　 ．
15．计算：　　 ．
16．若等腰三角形的一个外角为，则它的底角的度数为 　　．
17．已知，则的值是　　 ．
18．如图，四边形中，，△面积为12且的长为6，则△的面积为　　 ．
三、解答题：（共8题，共计78分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）分解因式：．
20．（8分）先化简，后求值：，其中．
21．（10分）如图，，，分别是，上的点，，交于点，且．
（1）求证：△△；
（2）求证：．
22．（10分）【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值；解：当时，原式．
【尝试运用】
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
23．（10分）阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
．
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知、、是△的三边长，且满足，求△的周长．
24．（10分）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得△△，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．
（1）由已知和作图得到△△，依据是　　 ．
（2）边上的中线的取值范围是　　 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是△的中线，交于，交于，且．求证：．
25．（10分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式　　 ；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为　　 ；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为　　 ；
（4）如图3，两个正方形的边长分别为、，若，，求阴影部分的面积？
26．（12分）【基础回顾】
（1）如图1，在△中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：△△；
【变式探究】
（2）如图2，在△中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△的边，为一边向外作△和△，其中，，，是边上的高．延长交于点，设△的面积为，△的面积为，猜猜想，大小关系，并说明理由．
四川省眉山市仁寿县城北实验中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A A D D D C A B A
题号 12
答案 D
二、填空题（每题4分，共6题，共计24分）
13．．
14．如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等．
15．．
16．或．
17．25．
18．6．
三、解答题：（共8题，共计78分）
19．解：（1）
；
（2）
．
20．解：
，
当，时，原式．
21．证明：（1），，
，
即，
在△和△中，
，
△△；
（2），，
，
即，
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
．
22．解：（1）因为，
所以
；
（2）由，，
得：，，
所以
．
23．解：（1）原式
；
（2）原式，
，
，
因为，所以，
所以多项式的最小值为；
（3）可变为：
，
所以，，，
所以△的周长．
24．【问题情境】（1）解：延长至点，使，连接，如图1所示：
是△的中线，
，
在△和△中，
，
△△，
故选：；
（2）解：△中，若，，
由（1）可知：△△，
，
，
在△中，由三角形三边之间的关系得：，
即，
，
，
边上的中线的取值范围是：，
故答案为：；
【初步运用】证明：延长到，使，连接，如图2所示：
是△的中线，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
，
，
．
25．解：（1）图1中两个阴影部分的正方形的面积和为，阴影部分也可以看作大正方形与两个空白长方形的面积差，即，
所以有，
故答案为：；
（2）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，拼成图2的九个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（3）由（2）得，
，，即，
，
故答案为：21；
（4）图3阴影部分的面积为，
，，
，
即图3中阴影部分的面积为23．
26．（1）证明：直线，直线，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
是△的外角，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
同理可证明：△△，
，
，
，，
．

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