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2025-2026学年第二学期浙江省金华市七年级期末数学模拟练习试卷（解析版）
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，
其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形平移的概念，熟练掌握图形平移中“图形的大小，形状和方向不变”是解决本题的关键．
根据图形平移的概念，即“图形平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动”，由此判断选项即可．
【详解】解：观察选项可知，B选项的车标可由平移得到，
经检验，A选项，C选项，D选项不可以由平移得到．
故选：B ．
下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查全国观众对《哪吒2》的满意度 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力
C．调查我市中学生每天完成作业的时长 D．调查神舟二十号飞船各零件是否合格
【答案】D
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的选择，全面调查适用于数据要求精确、个体数量较少或必须逐一检查的情况．根据调查对象的特点逐项判断是否适合全面调查即可．
【详解】解：A、全国观众数量庞大，全面调查成本过高，适合抽样调查，故此选项不符合题意．
B、抗撞击能力测试具有破坏性，无法对所有车辆进行测试，需抽样调查，故此选项不符合题意．
C、全市中学生人数较多，全面调查操作困难，通常采用抽样，故此选项不符合题意．
D、神舟二十号飞船零件必须全部合格，否则可能导致重大安全隐患，因此必须进行全面调查，故此选项符合题意．
故选：D．
3．已知是方程的一组解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了方程解的概念，掌握方程解的概念是解答本题的关键．
根据方程解的概念，将，代入方程即可求出的值．
【详解】解：是方程的一组解，
将，代入方程，得，
解得：，
故选：B．
4.（新情景试题 学科交叉题型）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．
空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．
如图，为入射光线，为折射光线，且满足，，
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的意义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式．
【详解】解：A、 左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
B、 右边为与的和，未形成积的形式，不符合因式分解；
C、 右边含分式，分解后的因子不是整式，不符合要求；
D、 左边是多项式，右边是整式的平方（即两个相同整式的积），符合因式分解的定义；
故选：D．
6．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两分式通分，再约分化简即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
图1是某汽车销售店1~4月份的汽车总销量的统计图，图2是其中A品牌的新能源车销量的分析统计图，
下列对汽车销售店的销售情况分析错误的是（　　）
A．4个月共销售汽车300辆
B．1~4月份A品牌新能源车的销量在汽车总销量中的占比呈增长趋势
C．1~4月份A品牌新能源车的销量一直在增长
D．4月份A品牌新能源车销量最高
【答案】C
【分析】本题考查条形统计图与折线统计图，读懂统计图，从统计图中获取信息是解题的关键．
将4个月的销量相加即可判断A选项，根据折线统计图曲线的变化情况即可判断B选项，根据条形统计图与折线统计图计算出各个月的销量即可判断C选项，根据各个月的销量即可判断D选项．
【详解】解：A、 (辆)，本选项说法正确；
B、1~4月份A品牌新能源车的销量在汽车总销量中的占比呈增长趋势，本选项说法正确；
C、1月份A品牌新能源车的销量为：（辆）
2月份A品牌新能源车的销量为：（辆）
3月份A品牌新能源车的销量为：（辆）
4月份A品牌新能源车的销量为：（辆）
2月份比1月份增长，3月份比2月份下降，4月份比3月份增长，本选项说法错误；
D、4月份A品牌新能源车销量最高，本选项说法正确；
故选：C
8.《孙子算经》中有这样一道题：
今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：
用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．
设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．第一个条件为绳子剩余4.5尺，第二个条件为对折绳子后量木头不足1尺，需转化为对应的方程．
【详解】解：设绳子长x尺，木头长y尺，依题意得：
故选A．
如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，
延长交于点．若，则长方形的面积为（ ）

A．21 B．24 C．34 D．42
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式及运用，解题关键是运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，根据，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解．
【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则．
∵
∴
∴，即
∴
∴长方形的面积为
故选A
方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12．使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0．根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可．
【详解】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：
13．已知 ，则的值为______．
【答案】64
【分析】将两边平方得，求出，根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：把两边平方得：，即，
∵，
∴，
则．
故答案为：64．
某班级有45名学生参加了期中考试，分数段在70～79分的占比为40%，
则该班级在这个分数段内的学生有_________人．
【答案】18
【分析】根据频率公式：频率即可求解．
【详解】解：（人，
所以该班级在这个分数段内的学生有18人．
故答案为：18．
15. 如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，由平移可知重合部分是个矩形，利用平移的性质求出它的长和宽，进而即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：如图,
由平移可得，，，
∴重合部分矩形的面积为，
故答案为：
如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，
．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，
如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过________秒边与直角边平行．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
①如图，

当时，，
此时旋转的度数为，
()；
②如图

当时，，
，
此时旋转的度数为，
()；
综上所述：或．
故答案为或．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．分解因式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
（1）利用提公因式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用提公因式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）
18．解下列方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免出现增根．
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：（1），
①②，得，
把代入①，得，
解得，
所以方程组的解是．
（2）解：
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，
所以原分式方程的解是．
为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，
川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，
张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；
③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．
(1)请对张老师的工作步骤正确排序______．
(2)以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．
A．随机抽取八年级三班的40名学生 B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生 D．随机抽取八年级40名学生
(3)如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
【答案】(1)①③②④
(2)D
(3)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．
【分析】（1）根据正确的工作步骤填空即可；
（2）根据抽样调查的可靠性解答可得；
（3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论．
故答案为：①③②④；
（2）解：取样方法中，合理的是：D．随机抽取八年级40名学生，
故选：D；
（3）解：1000名学生选择B．越味数学的人数有：1000×=200（名），
200÷40=5(个)
估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．
（新情景试题 实际应用）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，
与分别与交于点和点，与交于点，．
求证：．
若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证；
（2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）证明：，，
，
；
（2）解：与都平行于，即，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
21. 【基础巩固】
从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】
在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，
但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，
这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，
前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，
然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）4
【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得；
（2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得；
②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得；
（3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得．
【详解】解：（1）
，
故答案为：．
（2）①
．
②
．
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（新情景试题 综合与实践情境题）为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生
前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下：
① 若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；
② 型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；
③ 两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示：
型号 最大载客人数 日租金（元）
请根据上述信息，完成下列任务：
(1)【任务1】求和的值．
(2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），
且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金．
【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，
型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．
请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元
(3)
能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆
【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解；
（2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案；
（3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
解得：，
答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人；
（2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，
为整数且，
解得：，
且为整数，
当时，，
当时，，
共有种租车方案：
方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆，
所需租金为（元）；
方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆，
所需租金为（元）；
，
最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元；
（3）解：由（2）可知共有种租车方案：
方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆，
所需租金为（元）；
方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆，
所需租金为（元）；
学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆．
（新情景试题 实验探究型情境题）
【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，
就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
【类比推理】
已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，
推导两数的立方差公式：______．
【应用公式】
（2）①因式分解：．②因式分解：．
【拓展提升】
（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，
设，，．若，则
①______．
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①13；②，
【分析】本题主要考查了分组分解法、公式法分解因式以及因式分解的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键．
（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可；
（2）①先提取公因式，再利用公式求解即可；
②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；
（3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果；
②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，求得的值，代入计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴
，
故答案为：；
（2）①
；
②因式分解：
；
（3）①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
由图形2可知，，，
又，
，
，
故答案为：13
②
，
∵，，，
∴，
∴，，解得，，
∴原式．
（新情景试题 实验探究型情境题）
【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案；
（3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系；
（4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数．
【详解】解：（1）如图，过P作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
两直线平行，内错角相等；；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：82；
（3），，之间的数量关系是：；理由如下：
过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：；
（4）∵的平分线和的平分线交于点Q，
∴设，，
∴，，
∴，，
由（1）的结论得：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：131．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025-2026学年第二学期浙江省金华市七年级期末数学模拟练习试卷
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，
其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查全国观众对《哪吒2》的满意度 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力
C．调查我市中学生每天完成作业的时长 D．调查神舟二十号飞船各零件是否合格
3．已知是方程的一组解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4.（新情景试题 学科交叉题型）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．
空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．
如图，为入射光线，为折射光线，且满足，，
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
图1是某汽车销售店1~4月份的汽车总销量的统计图，图2是其中A品牌的新能源车销量的分析统计图，
下列对汽车销售店的销售情况分析错误的是（　　）
A．4个月共销售汽车300辆
B．1~4月份A品牌新能源车的销量在汽车总销量中的占比呈增长趋势
C．1~4月份A品牌新能源车的销量一直在增长
D．4月份A品牌新能源车销量最高
《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，
问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，
延长交于点．若，则长方形的面积为（ ）

A．21 B．24 C．34 D．42
方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11. 分解因式：x2－9＝______．
12．使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
13．已知 ，则的值为______．
某班级有45名学生参加了期中考试，分数段在70～79分的占比为40%，
则该班级在这个分数段内的学生有_________人．
15. 如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______．
如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，
．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，
如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过________秒边与直角边平行．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．分解因式：
(1)．
(2)．
18．解下列方程（组）：
(1)；
(2)．
为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，
川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，
张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；
③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．
请对张老师的工作步骤正确排序______．
以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．
A．随机抽取八年级三班的40名学生 B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生 D．随机抽取八年级40名学生
(3)如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，
估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
（新情景试题 实际应用）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，
与分别与交于点和点，与交于点，．
求证：．
若平分，，求的度数．
21. 【基础巩固】
从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】
在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，
但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，
这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，
前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，
然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
（新情景试题 综合与实践情境题）为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生
前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下：
① 若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；
② 型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；
③ 两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示：
型号 最大载客人数 日租金（元）
请根据上述信息，完成下列任务：
(1)【任务1】求和的值．
(2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），
且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金．
【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，
型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．
请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由．
（新情景试题 实验探究型情境题）
【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，
就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
【类比推理】
已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，
推导两数的立方差公式：______．
【应用公式】
（2）①因式分解：．②因式分解：．
【拓展提升】
（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，
设，，．若，则
①______．
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
（新情景试题 实验探究型情境题）
【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
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