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油田高级中学 2025-2026 学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1 2．已知函数 f x = f 1 x - ln x，则 f 1 = （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的 4 100m 接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能
站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ）
A．8 种 B．14种 C．18种 D． 24种
3．已知随机变量 X 的分布列为
X 0 2 4
1 7
P m - 2m
3 6
则E(X ) =（ ）
1 4 5A． 2 B．1 C． D．3 3
1
4．若函数 f x = x3 - ax + 4在区间 1,4 上单调递减，则 a的取值范围是（
2 ）
A． 24, + B． 24, + 3C． ,
3
+ D é ,+
2 ÷ ． ê2 ÷è
5．样本数据 2， 3， 5， 8， 9， 10 的 25%分位数为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6 2 - x 5．已知 = a0 + a x1 + a x21 2 + a3x3 + a x4 + a x54 5 ，则 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = （ ）
A．32 B．31 C．-31 D．1
7．2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸
与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为 0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为 0.2）：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地（概率为 0.1）：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93
8．连续抛掷一枚质地均匀的硬币 8 次，每次正面向上得 2 分，反面向上得-1分，记总得分为 X，则（ ）
A．E X = 8 B．E X =12 C．D X = 6 D．D X =18
二、多选题
3
9．（多选）水果篮中有 8 个水果，其中有 2 个是石榴，现从水果篮中随机地抽取 3 个，那么概率是 的事
28
件为（ ）
A．恰有 1 个不是石榴 B．3 个全不是石榴
C．恰有 2 个石榴 D．至少 2 个不是石榴
10．已知 A，B 分别为随机事件 A，B 的对立事件，P A > 0，P B > 0，则（ ）
A．P B | A + P B | A =1 B．P B | A + P B | A = P A
C．若 A，B 独立，则P A B = P A D．若 A，B 互斥，则P(A | B) = P B | A
11．对于函数 f x x= ，下列说法正确的有（ ）
ln x
A． f x 在 0,e 上单调递减，在 e, + 上单调递增
B． f e < f 2
C．设 g x = f x - 2k +1 e +1有 3 个不同的零点，则 k >
2
D．设 g x = xex + a ，若对"x1 [0,+ ),$x2 (1, + )，使 g(x1) = f (x2 )成立，则a e
三、填空题
12． 1+ 2x 5的展开式中 x2的系数为________.
13 2．已知随机变量 X 服从正态分布 N 2,s ，若P X 0 = 0.2，则P X 4 = ______.
14．设 f x 与 h x 是定义在同一区间 0, + 上的两个函数，若函数 g x = f (x) - h(x)在 0, + 上有两个
不同的零点，则称 f x 与 h x 在 0, + 上是“ 3 2关联函数”.若 f x = x - 3x与 h x = -(x -1) + a 在 0, + 上
是“关联函数”，则 a 的取值范围为______．
四、解答题
15．2025 年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探 1900》、《封神 2》、《射雕英雄传》4
部优秀的影片．现有 4 名同学，每人选择这 4 部影片中的 1 部观看．
(1)如果这 4 名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这 4 名同学中的甲、乙 2 名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神 2》，那么共有多少种
不同的选择方法？
(3)如果这 4 名同学中恰有 2 名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16 f x = ex．已知函数 + ax a R ．
(1)当 a =1时，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)求 f x 的单调区间．
17．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平
局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，
0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望．
a
18．已知函数 f x = lnx - ．
x
(1)当 a = -1时，求 f x 的极值；
(2)若 f x 0恒成立，求实数 a的取值范围；
19．在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，
分别记为车道 0 和车道 1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记 X n 为第 n 个
时间步长车辆所在的车道（n = 0,1,2,L ）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记
Pij = P X n+1 = j X n = i i, j = 0,1 为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道
0 1 1，下一时刻变道至车道1的概率为 4 ；若当前在车道1，下一时刻变道至车道0 的概率为 2 .
4 1
(1)已知 n = 0时刻车辆处于车道0 的概率为 ，处于车道1的概率为 .
5 5
① 直接写出P00 , P01, P10 , P11的值；
② 若 n =1时刻车辆处于车道1，求 n = 0时刻车辆处于车道0 的概率.
(2)在第（1）问的初始概率条件下，记 an = P X n = 0 ，求随机变量 X n 的分布列（结果用含 n 的式子表
示）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B D C D D AC ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
2 1
【详解】∵ f x = f 1 x - ln x， f x = 2 f 1 x - ，
x
当 x =1时， f 1 = 2 f 1 1 1 - ，解得 f 1 =1 .
1
2．B
【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，
3
①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有1 A3 = 6种情况；
②当甲不站在第二位时，甲有 2个位置可选，此时乙也有 2种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有
2 2 A22 = 8种情况；
综上所述，一共有 6 + 8 = 14种情况，
故选：B.
3．D
1 7 1
【详解】由题可知， + m + - 2m =1，解得m = ，
3 6 2
则E(X ) = 0
1
+ 2 1 + 4 1 5 = ．
3 2 6 3
故选：D.
4．B
3
【详解】由题意可得 f x = x2 - a 0在 1,4 上恒成立，
2
a 3故 x2在 1,4 上恒成立，
2
3 2 3 2
由 x2 ÷
= 4 = 24
2 ，故
a 24 .
è max
故选：B.
5．D
【详解】由题意得样本数据 2， 3， 5， 8， 9， 10，则 n = 6，\6 25% =1.5，
又1.5不是整数，故取数据的第 2 个数据为3 .
故样本数据的 25%分位数为3 .
6．C
【详解】令 x = 0，则 a0 = 32；
令 x =1，则 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =1，故 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = -31.
7．D
【详解】P = 0.7 + 0.2 0.9 + 0.1 0.5 = 0.93 .
8．D
1
【详解】设Y 为正面向上的次数，则Y ~ B 8, ÷，
è 2
总得分 X = 2Y + -1 8 -Y = 3Y -8 ,
1 D Y 8 1 1 1E Y = 8 = 4 = - 由于 ，
2 2 2 ÷
= 2，
è
所以E X = E 3Y -8 = 3E Y -8 = 4
D X = D 3Y -8 = 9D Y = 9 2 =18，所以 D 正确.
9．AC
3
【详解】水果篮中随机地抽取 3 个的总事件数为C8 = 56，
因为其中有 2 个石榴，所以可能出现的事件有：恰有 0 个石榴，恰有 1 个石榴，恰有 2 个石榴，取法数分
别为C02 C
3
6 = 20,C
1 2
2 C6 = 30,C
2 C12 6 = 6；
3 5 3
所以恰有 1 个不是石榴的概率为 ，3 个全不是石榴的概率为 ，恰有 2 个石榴的概率为 ，至少 2 个
28 14 28
25
不是石榴的概率为 ，
28
故选：AC．
10．ACD
P AB + P AB P A【详解】因为P B | A + P B | A = = =1 ，A 正确，B 错误；P A P A
P ABP A | B 由独立事件定义，若 A，B 独立，则P(AB) = P(A)P(B)， = = P A P B ，C 正确；
P AB P AB
若 A，B 互斥，则P AB = 0，P A | B = = 0 ，P B | A = = 0P B P A ，D 正确．
故选：ACD
11．BCD
x
【详解】函数 f x = 的定义域为 0,1 1,+ ，
ln x
lnx 1- x ×
求导得 f x x lnx -1= = ，
lnx 2 lnx 2
令 f x = 0，解得 ln x =1，即 x=e，
当 x 0,1 时， ln x < 0 ，故 f x < 0， f x 单调递减；
当 x 1,e 时， lnx 0,1 ， ln x -1 < 0，故 f x < 0， f x 单调递减；
当 x e,+ 时， ln x >1， ln x -1 > 0 ，故 f x > 0， f x 单调递增；
选项 A： x =1不在函数定义域内，故 f x 在 0,e 上单调递减表述错误；
选项 B：由函数 f x 的单调性可知 x 1,e 上单调递减，在 x e,+ 单调递增，
Qe > 2 ，且 2 1,e ，\ f e < f 2 ，故 B 正确；
选项 C：方程 g x = f x - 2k +1有 3 个不同的零点，
等价于 f x = 2k -1有 3 个不同的实根；
x 0,1 f x < 0 f x x当 时， ， = - ，此时 f x 单调递减， f x 单调递增；
lnx
且 x 0+ 时， f x 0 ， x 1- 时， f x + ；
当 x 1,e 时， f x > 0且单调递减， f x = f x ， x 1+ 时 f x + ，
x =e e时取极小值 f e = = e ；
1
当 x e,+ 时， f x > 0且单调递增， f x = f x ， x + 时 f x + ；
要使 y = f x 与 y = 2k -1有 3 个交点，直线必须处于 y = e与+ 之间，且不能低于
极小值 e，
\ e +1需满足 2k -1 > e，解得 k > ，故 C 正确；
2
选项 D：由题意知， g x 的值域是 f x 在 x (1,+ )上值域的子集，
g x = ex + xex = ex 1+ x > 0在 0, + 上恒成立，故 g x 在 0, + 上单调递增，
g x = g 0 = 0 ×e0 + a = a，即 gmin x 的值域为 a,+ ；
由 f x 单调性可知， f x 在 x =e处取得极小值， f e = e，且 x + 时，
f x + ，
\ f x 的值域为 e, + ，
要使 a,+ e,+ ，则需满足a e ，故 D 正确．
12．40
1+ 2x 5 r【详解】 的展开式的通项公式为T = Crr +1 5 2x ，
令 r = 2 2 2，故 x2的系数为C5 2 = 40 .
4
13．0.8/
5
【详解】由 X ~ N 2,s 2 可得m = 2，因P X 0 = 0.2，
由正态曲线对称性，得P(X > 4) = P X 0 = 0.2，
则P X 4 =1- P(X > 4) =1- 0.2 = 0.8 .
14． -2,1
2
【详解】由题设 x3 - 3x = - x -1 + a 在 0, + 上有两个不同的解，
故 x3 - 3x + x -1 2 = a在 0, + 上有两个不同的解，
故设 g x = x3 + x2 - 5x +1，
故直线 y = a 与 g x 的图像在 0, + 上有两个不同的交点，
而 g x = 3x2 + 2x - 5 = 3x + 5 x -1
当 x 0,1 时， g x < 0， g x 在 0,1 上单调递减，
当 x 1, + 时， g x > 0， g x 在 1, + 上单调递增，
又 g 0 =1, g 1 = -2，故可画出大致图形如图所示：
结合图形可得 a -2,1 .
15．(1)24
(2)16
(3)144
【详解】（1）因为这 4 名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有A44 = 4 3 2 1 = 24种.
（2）因为甲、乙 2 名同学选择观看的影片已确定，
所以其余 2 人观看影片的不同方法有 4 4 =16种.
（3）因为这 4 名同学中恰有 2 名同学选择观看同一部影片，
C2C1 2所以不同的选择方法有 4 4A3 = 6 4 6 =144种.
16．(1) 2x - y +1 = 0
(2)当 a 0时， f (x) 的单调递增区间为 (- , + )，无递减区间；
当 a < 0 时， f (x) 的单调递增区间为 (ln(-a),+ )，单调递减区间为 (- , ln(-a))
【详解】（1）当 a = 1时， f (x) = ex + x，所以 f (0) = e0 + 0 =1，即切点坐标为( 0, 1)，
又因为 f (x) = ex +1，所以 k = f (0) = e0 +1 = 2，
所以切线方程为 y -1 = 2(x - 0)，即2x - y +1 = 0 .
（2）因为 f (x) = ex + a，
所以当 a 0时，因为 e x > 0 ，所以 f (x) = ex + a > 0恒成立，
所以 f (x) 在 (- , + )上单调递增；
当 a < 0 时，由 f (x) > 0，得 x > ln(-a) ，
由 f (x) < 0，得 x < ln(-a)，
综上，当 a 0时， f (x) 的单调递增区间为 (- , + )，无递减区间；
当 a < 0 时， f (x) 的单调递增区间为 (ln(-a),+ )，单调递减区间为 (- , ln(-a)) .
17．(1) 0.6 ；
(2)分布列见解析，E X =13 .
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，所以甲学校获得冠军的概率为
P = P ABC + P ABC + P ABC + P ABC
= 0.5 0.4 0.8 + 0.5 0.4 0.8 + 0.5 0.6 0.8 + 0.5 0.4 0.2
= 0.16 + 0.16 + 0.24 + 0.04 = 0.6．
（2）依题可知， X 的可能取值为0,10,20,30，所以，
P X = 0 = 0.5 0.4 0.8 = 0.16 ,
P X =10 = 0.5 0.4 0.8 + 0.5 0.6 0.8 + 0.5 0.4 0.2 = 0.44，
P X = 20 = 0.5 0.6 0.8 + 0.5 0.4 0.2 + 0.5 0.6 0.2 = 0.34，
P X = 30 = 0.5 0.6 0.2 = 0.06 .
即 X 的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E X = 0 0.16 +10 0.44 + 20 0.34 + 30 0.06 =13 .
18．(1)极小值1，无极大值
1
(2) a -
e
f x ln x 1【详解】（1）当 a = -1时， = + ，定义域为 0, + ，
x
f x 1 1 x -1则 = - 2 = 2 ， x x x
当0 < x <1时， f x < 0，当 x >1时， f x > 0，
则 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，
所以 f x 有极小值 f 1 =1，无极大值.
（2）因为 f x 0 恒成立，得"x > 0， a x ln x ，
令 g x = x ln x， x > 0，则 g x =1+ ln x，
1 1
当0 < x < ， g x < 0，当 x > 时， g x > 0，
e e
1
即函数 g x 在 0, ÷上递减，在 e, + 上递增，
è e
1 1 1
因此 gmin x = g ÷ = - ，则 a - ，
è e e e
1
所以a的取值范围为 a - .
e
3 1 1 1 2
19．(1)①P00 = , P4 01
= , P
4 10
= , P11 = ；② 2 2 3
(2) X n 的分布列为
X n 0 1
2 2 1 n
+ ×
3 15 4 ֏ 1 2 1
n
P - ×
3 15 è 4 ÷
【详解】（1）①由题意，车道转移概率：
1 3 1
当前在车道 0 时，留在 0 的概率为1- = ，变道到 1 的概率为 ；
4 4 4
1 1 1 1当前在车道 1 时，变道到 0 的概率为 2 ，留在 1 的概率为 - = ；2 2
3 1 1 1
因此一步转移的概率矩阵为P00 = , P01 = , P = , P4 4 10 2 11
= .
2
②设事件 A0 ： n = 0时刻车辆在车道 0， A1： n = 0时刻车辆在车道 1，B1： n =1时刻车辆在车道 1，
P A 4 P A 1 1 1已知 0 = ， 1 = ，P B1 A0 = ，P B1 A1 = ，5 5 4 2
1 4
P B1 A0 P A 0 4 5 2
由贝叶斯公式P A0 B1 = = =P B1 A0
.
P A0 + P B1 A1 P A1 1 4 1 1 + 3
4 5 2 5
（2）设 an = P X n = 0 ，
3
由全概率公式得递推关系 an+1 = P X n+1 = 0 = an × + 1
1 1 1
- an × = an + ，4 2 4 2
a 2 1 2- = a - a 1 4 1 7 a 2 7 2 1则 n+1 n ÷ ，且 1 = + = ，此时 - = - = 0 ，3 4 è 3 4 5 2 10 1 3 10 3 30
ì 2ü 1 1 2 1 1 n-1 n 2 2 1
故 ían - n 1 为等比数列且公比为
3 4
，首项为 ，故 a
30 n
= + × = + ×
3 30 4 ÷ 3 15 ÷
.
è è 4
4 n n
而 a0 =
2 2 1 2 2 1
也满足此时， a = + × 即P X = 0 = + × ,
5 n 3 15 è 4 ÷ n 3 15 4 ÷è
n
P X =1 =1- a 1 2 1= - × 所以 n n 3 15 ÷ .è 4
故 X n 的分布列为
X n 0 1
2 2 1 n
+ × n
P 3 15
4 ÷è 1 2 1- ×
3 15 4 ֏

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