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1.4　基本不等式
[考情引航]　1.了解基本不等式的推导过程.　2.掌握基本不等式≤(a,b>0).　3.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
[知识重构]
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
|微点拨|
利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
[常用结论]
1.a2+b2≥2ab(a,b∈R).
2.+≥2(a,b同号,且不为0).
3.ab≤(a,b∈R).
4.≥(a,b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(×)
(2)函数y=x+(x>0)的最小值是2.(√)
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(×)
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件. (√)
2.(人教A版必修第一册例题改编)函数f(x)=(x>0)的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析　B　f(x)==x++1≥2+1=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故f(x)的最小值为3.
3.已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为　　　　.
答案　4
解析　由x+y=1得+=(x+y)=2++≥2+2=4,
当且仅当x=y=时,等号成立,即+的最小值为4.
4.(人教A版必修第一册例题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是　　　　.
答案　25 m2
解析　设矩形场地的长为x m,宽为y m,则x+y=10,所以矩形场地的面积为
S=xy≤=25,当且仅当x=y=5时等号成立.
考点一　基本不等式及常见变形
例1 (1)下列说法正确的是(　　)
A.x+的最小值是4
B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的
C.+的最小值为2
D.存在a,使得a+<2成立
(2)若0A.b>>a>
B.b>>>a
C.b>>>a
D.b>a>>
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)对于A,当x>0时,x+≥2=4(当且仅当x=2时等号成立),
当x<0时,x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时等号成立),故A错误;
对于B,ab≤恒成立,而≤成立的条件为a>0,b>0,故B错误;
对于C,y=+≥2,等号成立的条件是=,即x2+2=1,显然不能取到,故C错误;
对于D,存在a=-1,使得a+<2成立,故D正确.
(2)∵0a+b,∴b>>.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a.故b>>>a.
掌握基本不等式的关键要点
1.注意基本不等式及其变形形式成立的条件,≤和a+b≥2成立的条件是a,b>0,而a2+b2≥2ab以及ab≤成立的条件则是a,b∈R.
2.基本不等式≤中的a,b可以替换成其他的数或式子,但必须满足a,b>0的条件.
3.用基本不等式确定式子的最值时,必须注意等号能否取到,验证等号成立的条件.
1.已知p:a>b>0,q:>,则p是q成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　A　∵a>b>0,则a2+b2>2ab,∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab,
∴2(a2+b2)>(a+b)2,∴>,∴由p可推出q;
当a<0,b<0时,q也成立,
如a=-1,b=-3时,=5>=4,∴由q推不出p,
∴p是q成立的充分不必要条件.
2.(多选)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是(　　)
A.4ab≤(a+b)2 B.≤
C.≤ D.ab≤
解析　ABD　4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0,即4ab≤(a+b)2,故A正确;
当a+b>0时,>0,则-==≤0恒成立,即≤恒成立,当a+b≤0时,原不等式恒成立,故B正确;
当a+b>0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≤恒成立,当a+b<0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≥,故C错误;
由重要不等式可知,a,b∈R,ab≤恒成立,故D正确.
基本不等式链
[教材母题] 1.(人教A版必修第一册P44)重要不等式: a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2.(人教A版必修第一册P44)基本不等式:如果a>0,b>0,可得≤,当且仅当a=b时,等号成立.
3.(人教A版必修第一册P46T1)已知a,b∈R,求证ab≤.
[引申结论] 基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,
其中,,, 分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.
[典例应用] (1)若a>1,b>1,且a≠b,则a2+b2,2ab,a+b,2中的最大值是(　　)
A.a2+b2 B.2ab
C.a+b D.2
(2)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0,b>0)
B.a2+b2≥2(a>0,b>0)
C.≤(a>0,b>0)
D.≤(a>0,b>0)
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)因为a>1,b>1,所以a2+b2>a+b,
根据基本不等式可知a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
因为a≠b,所以a2+b2>2ab,
同理a+b>2,
综上所述,上述四个式子中的最大值为a2+b2.
(2)由题意知圆O的半径r=OF=AB=,
又由OC=OB-BC=-b=,
在Rt△OCF中,可得FC2=OC2+OF2=+=,
因为FO≤FC,所以≤,当且仅当a=b时等号成立.
考点二　利用基本不等式求最值
角度1　直接法
例2 (1)(一题多解)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
(2)当0答案　(1)D　(2)
解析　(1)法一　由xy=1得x2+2y2≥2=2,
当且仅当x2=2y2,即x2=,y2=时,等号成立,x2+2y2的最小值为2.
法二　x2+2y2==+≥2,当且仅当x2=2y2,即x2=,y2=时,等号成立,x2+2y2的最小值为2.
(2)由题意及基本不等式可知3x(3-3x)≤=,
当且仅当x=1-x,即x=时等号成立.
角度2　配凑法
例3 (1)已知x>,则f(x)=4x-2+的最小值为　　　　.
(2)已知0答案　(1)5　(2)
解析　(1)因为x>,所以4x-5>0,所以f(x)=4x-2+=4x-5++3≥2+3=5,当且仅当4x-5=,即x=时等号成立.
(2)因为00,
x=·x≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立.
角度3　常数代换法
例4 (1)设x>0,y>0,+2y=2,则x+的最小值为(　　)
A. B.2
C.+ D.3
(2)(一题多解)已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为(　　)
A.54 B.56
C.72 D.81
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)因为+2y=2,所以+y=1,因为x>0,y>0,
所以x+==+xy++1=+xy+≥+2=+2×=+,当且仅当即时等号成立.
(2)法一　因为8a+4b=ab,a>0,b>0,所以+=1,
所以8a+b=(8a+b)=++40≥2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时等号成立.
法二　因为8a+4b=ab,所以b=>0.因为a>0,b>0,所以a>4,
所以8a+b=8a+==8≥8×(2+5)=72,当且仅当a=6时等号成立.
角度4　构造不等式法
例5 (1)(多选)已知正数a,b满足a2+b2=1+ab,则下列结论正确的是(　　)
A.a2+b2的最小值为2
B.a+b的最大值为2
C.+的最小值为2
D.lg a+lg b<0
(2)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
答案　(1)BC　(2)BC
解析　(1)对于A,a2+b2=1+ab≤1+,当且仅当a=b时等号成立,则a2+b2≤2,故A错误;
对于B,由ab≤≤≤1,当且仅当a=b时等号成立,得≤1,即a+b≤2,故B正确;
对于C,由+===+=-,因为0当=1时,+取得最小值为2,故C正确;
对于D,因为0(2)因为ab≤≤(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,故A错误,B正确;由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时等号成立,故C正确;因为x2+y2-xy=1变形可得+y2=1,设x-=cos θ,y=sin θ,所以x=cos θ+sin θ,y=sin θ,因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+=+sin∈,所以当x=,y=-时满足等式,但是x2+y2≥1不成立,故D错误.
|教考衔接|
[教材溯源]　(人教A版必修第一册P58T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.
解　∵a,b>0,∴ab=a+b+3≥2+3,∴ab≥2+3,∴≥3或≤-1(舍去),∴ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立.故ab的取值范围为[9,+∞).
[教考解读]　该高考题与教材习题都是条件求最值问题,都涉及x+y与xy的转化及不等关系,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.
利用基本不等式求最值的方法
1.前提:“一正”“二定”“三相等”.
2.要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
3.条件最值的求解常用方法:一是直接法;二是配凑法;三是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;四是构造不等式法.
3.(2026·山东济南模拟)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则+的最小值为(　　)
A.3 B.1+
C.2+ D.2+
解析　D　因为x>0,y>0,且x+3y=2,
所以+=(x+3y)=≥2+=2+,
当且仅当=,即y=,x=-1时等号成立.
4.已知0答案　9
解析　由00.+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当=即x=时等号成立,所以+的最小值是9.
5.若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是　　　　.
答案　
解析　正数x,y满足x2-2xy+2=0,故y==+,故x+y=x++=+≥2=,当且仅当=,即x=时,等号成立.(共40张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.4　基本不等式
[考情引航]　1.了解基本不等式的推导过程.　2.掌握基本不等式≤(a,b>0).　3.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
启航　固本清源　自主诊断
[知识重构]
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当_____时,等号成立.
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
a=b
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_____.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值______.
|微点拨|
利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2
S2
[常用结论]
1.a2+b2≥2ab(a,b∈R).
2.+≥2(a,b同号,且不为0).
3.ab≤(a,b∈R).
4.≥(a,b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+(x>0)的最小值是2.( )
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.( )
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件. ( )
×
√
×
√
2.(人教A版必修第一册例题改编)函数f(x)=(x>0)的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析　f(x)==x++1≥2+1=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故f(x)的最小值为3.
B
3.已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为　　　　.
解析　由x+y=1得+=(x+y)=2++≥2+2=4,
当且仅当x=y=时,等号成立,即+的最小值为4.

4
25 m2
4.(人教A版必修第一册例题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是　　　　.
解析　设矩形场地的长为x m,宽为y m,则x+y=10,所以矩形场地的面积为
S=xy≤=25,当且仅当x=y=5时等号成立.
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考点一　基本不等式及常见变形
例1 (1)下列说法正确的是(　　)
A.x+的最小值是4
B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的
C.+的最小值为2
D.存在a,使得a+<2成立
D
解析　对于A,当x>0时,x+≥2=4(当且仅当x=2时等号成立),
当x<0时,x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时等号成立),故A错误;
对于B,ab≤恒成立,而≤成立的条件为a>0,b>0,故B错误;
对于C,y=+≥2,等号成立的条件是=,即x2+2=1,显然不能取到,故C错误;
对于D,存在a=-1,使得a+<2成立,故D正确.
(2)若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
解析　∵0a+b,∴b>>.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a.故b>>>a.
C
掌握基本不等式的关键要点
1.注意基本不等式及其变形形式成立的条件,≤和a+b≥2成立的条件是a,b>0,而a2+b2≥2ab以及ab≤成立的条件则是a,b∈R.
2.基本不等式≤中的a,b可以替换成其他的数或式子,但必须满足a,b>0的条件.
3.用基本不等式确定式子的最值时,必须注意等号能否取到,验证等号成立的条件.
1.已知p:a>b>0,q:>,则p是q成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析　∵a>b>0,则a2+b2>2ab,∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab,
∴2(a2+b2)>(a+b)2,∴>,∴由p可推出q;
当a<0,b<0时,q也成立,
如a=-1,b=-3时,=5>=4,∴由q推不出p,
∴p是q成立的充分不必要条件.
2.(多选)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是(　 　)
A.4ab≤(a+b)2 B.≤
C.≤ D.ab≤
ABD
解析　4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0,即4ab≤(a+b)2,故A正确;
当a+b>0时,>0,则-==≤0恒成立,即≤恒成立,当a+b≤0时,原不等式恒成立,故B正确;
当a+b>0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≤恒成立,当a+b<0时,2ab-=≤0,即2ab≤,≥,故C错误;
由重要不等式可知,a,b∈R,ab≤恒成立,故D正确.
直线系方程
[教材母题] 1.(人教A版必修第一册P44)重要不等式: a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2.(人教A版必修第一册P44)基本不等式:如果a>0,b>0,可得≤,当且仅当a=b时,等号成立.
3.(人教A版必修第一册P46T1)已知a,b∈R,求证ab≤.
[引申结论] 基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,
其中,,, 分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.
[典例应用] (1)若a>1,b>1,且a≠b,则a2+b2,2ab,a+b,2中的最大值是(　　)
A.a2+b2 B.2ab
C.a+b D.2
解析　因为a>1,b>1,所以a2+b2>a+b,
根据基本不等式可知a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
因为a≠b,所以a2+b2>2ab,
同理a+b>2,
综上所述,上述四个式子中的最大值为a2+b2.
A
(2)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0,b>0)
B.a2+b2≥2(a>0,b>0)
C.≤(a>0,b>0)
D.≤(a>0,b>0)
D
解析　由题意知圆O的半径r=OF=AB=,
又由OC=OB-BC=-b=,
在Rt△OCF中,可得FC2=OC2+OF2=+=,
因为FO≤FC,所以≤,当且仅当a=b时等号成立.
考点二　利用基本不等式求最值
角度1　直接法
例2 (1)(一题多解)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
解析　法一　由xy=1得x2+2y2≥2=2,
当且仅当x2=2y2,即x2=,y2=时,等号成立,x2+2y2的最小值为2.
法二　x2+2y2==+≥2,当且仅当x2=2y2,即x2=,y2=时,等号成立,x2+2y2的最小值为2.
D
(2)当0解析　由题意及基本不等式可知3x(3-3x)≤=,
当且仅当x=1-x,即x=时等号成立.
角度2　配凑法
例3 (1)已知x>,则f(x)=4x-2+的最小值为　　　　.
解析　因为x>,所以4x-5>0,所以f(x)=4x-2+=4x-5++3≥2+3=5,当且仅当4x-5=,即x=时等号成立.
5
(2)已知0解析　因为00,
x=·x≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立.
角度3　常数代换法
例4 (1)设x>0,y>0,+2y=2,则x+的最小值为(　　)
A. B.2
C.+ D.3
C
解析　因为+2y=2,所以+y=1,因为x>0,y>0,
所以x+==+xy++1=+xy+≥+2=+2×=+,当且仅当即时等号成立.
(2)(一题多解)已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为(　　)
A.54 B.56
C.72 D.81
解析　法一　因为8a+4b=ab,a>0,b>0,所以+=1,所以8a+b=(8a+b)=++40≥
2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时等号成立.
法二　因为8a+4b=ab,所以b=>0.因为a>0,b>0,所以a>4,
所以8a+b=8a+==8≥8×(2+5)=72,当且仅当a=6时等号成立.
C
角度4　构造不等式法
例5 (1)(多选)已知正数a,b满足a2+b2=1+ab,则下列结论正确的是(　　)
A.a2+b2的最小值为2
B.a+b的最大值为2
C.+的最小值为2
D.lg a+lg b<0
BC
解析　对于A,a2+b2=1+ab≤1+,当且仅当a=b时等号成立,则a2+b2≤2,故A错误;
对于B,由ab≤≤≤1,当且仅当a=b时等号成立,得≤1,即a+b≤2,故B正确;
对于C,由+===+=-,因为0当=1时,+取得最小值为2,故C正确;
对于D,因为0(2)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
BC
解析　因为ab≤≤(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,故A错误,B正确;由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时等号成立,故C正确;因为x2+y2-xy=1变形可得+y2=1,设x-=cos θ,y=sin θ,所以x=cos θ+sin θ,y=sin θ,因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+=+sin∈,所以当x=,y=-时满足等式,但是x2+y2≥1不成立,故D错误.
|教考衔接|
[教材溯源]　(人教A版必修第一册P58T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.
解　∵a,b>0,∴ab=a+b+3≥2+3,∴ab≥2+3,∴≥3或≤-1(舍去),∴ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立.故ab的取值范围为[9,+∞).
[教考解读]　该高考题与教材习题都是条件求最值问题,都涉及x+y与xy的转化及不等关系,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.
利用基本不等式求最值的方法
1.前提:“一正”“二定”“三相等”.
2.要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
3.条件最值的求解常用方法:一是直接法;二是配凑法;三是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;四是构造不等式法.
3.(2026·山东济南模拟)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则+的最小值为(　　)
A.3 B.1+
C.2+ D.2+
解析　因为x>0,y>0,且x+3y=2,所以+=(x+3y)=≥2+=2+,
当且仅当=,即y=,x=-1时等号成立.
D
4.已知0解析　由00.+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当=即x=时等号成立,所以+的最小值是9.
9
5.若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是　　　　.
解析　正数x,y满足x2-2xy+2=0,故y==+,故x+y=x++=+≥2=,当且仅当=,即x=时,等号成立.

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