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1.5　基本不等式的综合应用
[考情引航]　1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.　2.理解基本不等式在实际问题中的应用.　3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
考点一　利用基本不等式求参数的值(范围)
例1 (1)已知a>0,b>0,若不等式≤恒成立,则m的最大值为(　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
(2)若两个正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+A.(-1,2)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)因为a>0,b>0,≤恒成立,
即m≤==++2恒成立,即m≤,
又因为++2≥2+2=4,
当且仅当=,即a=b时等号成立,
所以m≤4,所以m的最大值为4.
(2)由两个正实数x,y满足4x+y=2xy,得+=2,
则x+==≥=2,
当且仅当=,即y=4x=4时等号成立,
由不等式x+得m2-m>2,解得m<-1或m>2,
所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)max≥a;
x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)min≤a.
1.已知a>0,若关于x的不等式x+≥3在x∈(-1,+∞)上恒成立,则a的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
解析　C　因为x>-1,x+1>0,
所以x+=x+1+-1≥2-1=2-1,
当且仅当x+1=,即x=-1时等号成立,
所以x+有最小值2-1,
因为不等式x+≥3在x∈(-1,+∞)上恒成立,所以2-1≥3,
解得a≥4,所以a的最小值为4.
2.若存在x∈(0,2],使不等式ax2-2x+3a<0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　A　当x∈(0,2]时,由ax2-2x+3a<0,
可得a(x2+3)<2x,由题意得a<,
因为=≤=,当且仅当x=(x>0),即x=时,等号成立,
所以当x∈(0,2]时,的最大值为,
故a<.
考点二　基本不等式的实际应用
例2 为了美化校园环境,园艺师在花园中规划出一个平行四边形,建成一个小花圃,如图,计划以相距6米的M,N两点为 AMBN一组相对的顶点,当 AMBN的周长恒为20米时,小花圃占地面积(单位:平方米)最大为(　　)
A.6 B.12
C.18 D.24
解析　D　设AM=x,AN=y,则由已知可得x+y=10,在△MAN中,MN=6,由余弦定理可得,cos A==-1=-1≥-1=-1=,当且仅当x=y=5时等号成立,此时(cos A)min=,所以(sin A)max==,所以 AMBN的最大面积为2××5×5×=24(平方米),此时 AMBN是边长为5米的菱形.
利用基本不等式解决实际问题的策略
1.根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
2.解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
3.在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
3.(2026·广西南宁模拟)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
解析　C　该设备年平均费用y==++(x∈N*),∵x>0,
则y=++≥2+=,当且仅当=,即x=9∈N*时,等号成立,∴该设备年平均费用最少时的年限为9.
考点三　基本不等式与其他知识的融合问题
例3 (1)已知a>0,b>0,若是3a 与3b 的等比中项,则+的最小值为(　　)
A.8 B.4
C.1 D.2
(2)若△ABC 的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C 的最小值是　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)由题意得3a·3b=()2,所以a+b=1,
所以+=(a+b)=2++≥2+2=4,
当且仅当a=b 时等号成立,即最小值为4.
(2)由已知sin A+sin B=2sin C 及正弦定理,可得a+b=2c,
则cos C===≥=,
当且仅当3a2=2b2,即=时,等号成立,
所以cos C 的最小值是.
在对基本不等式的考查中,更多的是将基本不等式作为工具来解题.本例将基本不等式与数列、三角形的边角关系结合起来考查,体现了基本不等式的工具性作用.基本不等式还经常与函数、向量等知识相结合,注意知识的灵活运用.
4.(2026·八省八校T8联考)已知a>0,b>0,=+,则+的最小值为(　　)
A.3 B.2
C. D.1
解析　D　∵=+≥2,∴ab≥2,∴+=log2ab≥log22=1,∴最小值为1,此时a=b=.
5.已知m,n 为正实数,向量a=(m,1),b=(1-n,1),若a∥b,则+的最小值为(　　)
A.3 B.2
C.3+2 D.7
解析　C　由a∥b,得m=1-n,即m+n=1,
则+=(m+n)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当即时等号成立,
故+的最小值为3+2.
柯西不等式
[教材母题] (人教A版必修第二册P37T16)用向量方法证明:对于任意的a,b,c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
上述不等式就是二维形式的柯西不等式,其证明的向量方法为数量积的性质|a·b|≤|a||b|.
[引申结论] 柯西不等式
1.柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或者存在实数k,使得α=kβ时等号成立.
2.用平面向量的坐标(二维形式)表示上面的不等式,则得到二维的柯西不等式:设a1,a2,b1,b2∈R,则(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2,当且仅当a1b2=a2b1时等号成立.
3.推广到一般形式:设ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立.
[典例应用] (1)若实数x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为(　　)
A.14 B.
C.29 D.
(2)(一题多解)当答案　(1)B　(2)2
解析　(1)由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1,即x2+y2+z2≥,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.
(2)法一　由柯西不等式,得[()2+()2](1+1)≥(+)2,所以(+)2≤8,即+≤2,当且仅当=,即x=时等号成立.
法二　由≤,得a+b≤2,则y=+≤2=2,当且仅当=,即x=时等号成立.

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