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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.6　一元二次函数
[考情引航]　理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
启航　固本清源　自主诊断
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=______________.
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为______.
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
ax2+bx+c(a≠0)
[知识重构]
(m,n)
2.二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 ________
值域
R
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
对称轴 x=______
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递____; 在上单调递____ 在上单调递____;
在上单调递____
-
减
增
增
减
[常用结论]
　若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当 时,恒有f(x)>0;当 时,恒有f(x)<0.
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.( )
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.( )
√
×
×
2.(北师大版必修第一册习题改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为　　　　.
解析　y=-3(x2-4x+4)+4=-3(x-2)2+4≤4.
4
(-∞,40]∪[160,+∞)
3.(人教A版必修第一册习题改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为　　 　　.
解析　依题意知,≥20或≤5,解得k≥160或k≤40.
4.(人教B版必修第一册习题改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为　　　　 .
解析　由题意,可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),
又图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
f(x)=x2-4x
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考点一　二次函数的解析式
例1 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.
解　法一(一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
法二(顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x==,所以m=.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a+8.
因为f(2)=-1,所以a+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三(零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,即=8,解得a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
求二次函数解析式的三个策略
1.已知三个点的坐标,宜选用一般式.
2.已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.
3.已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
1.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根的平方和为10,求函数f(x)的解析式.
解　依题意,设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0),由二次函数f(x)的图象过点(0,3),得f(0)=3,
所以4a+h=3,即h=3-4a,所以f(x)=a(x-2)2+3-4a,令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0,所以ax2-4ax+3=0,
设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=4,x1x2=,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-,所以16-=10,解得a=1,所以f(x)=x2-4x+3.
考点二　二次函数的图象
例2 (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,则函数f(x)的图象可能是(　　)
解析　由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,
所以函数图象开口向上,排除AC;
又f(0)=c<0,排除B.
D
(2)(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=
-1.给出下面四个结论正确的为(　　)
解析　因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确;
对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,故B错误;
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a,即5aAD
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0
C.9a+3b+c<0 D.abc<0
解析　由二次函数图象开口向下知a<0,
对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0.
又因为f(0)=c>0,所以abc<0.
f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0.
ACD
考点三　二次函数的最值
例3 已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;
解　由题意知a≠0.当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2,
又a>0,所以0所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.综上,a的取值范围是(-∞,0)∪.
(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
解　①当0<≤1,即a≥时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时g(a)=f(1)=3a-2;
②当1<<2,即f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1;
③当≥2,即0综上所述,g(a)=
闭区间上二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合图象,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
解　当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],
函数图象的对称轴为直线x=-∈[-2,3],
∴f(x)min=f=--3=-,f(x)max=f(3)=15,
∴f(x)的值域为.
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解　函数图象的对称轴为直线x=-.
①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,
∴6a+3=1,即a=-,满足题意;
②当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.
综上可知,a=-或-1.
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x=-与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
例 (1)若关于x的二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)的两个互异的实数根都小于1,则实数m的取值范围是　　　　　　　.
　
解析　因为关于x的二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)的两个互异的实数根都小于1,
所以即解得m>.
(2)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是　　　 　.
解析　设f(x)=x2+2mx+2m+1,问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在(-1,0)和(1,2)内,则 解得-　
训练
1.关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪(-2,0) B.(-∞,2)
C.(0,2)∪(2,+∞) D.(-2,+∞)
解析　因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根,所以解得m<0 且m≠-2.
A
2.已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数a的取值范围是　　　　.
解析　显然a≠0,关于x的方程ax2+x+2=0对应的二次函数为f(x)=ax2+x+2(对开口方向进行讨论,分a>0和a<0).①若a>0,即图象开口向上,ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,只需f(0)<0且f(1)<0,即2<0且a+3<0,则a∈ ;(若发现f(0)=2,结合图象也可知a>0不可能).②若 a<0,即图象开口向下,ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,只需f(0)>0且f(1)>0,即2>0且a+3>0,则-3(-3,0)1.6　一元二次函数
[考情引航]　理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
[知识重构]
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x=-
顶点 坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减
[常用结论]
　若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当 时,恒有f(x)>0;当 时,恒有f(x)<0.
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(√)
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(×)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(×)
2.(北师大版必修第一册习题改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为　　　　.
答案　4
解析　y=-3(x2-4x+4)+4=-3(x-2)2+4≤4.
3.(人教A版必修第一册习题改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为　　　　.
答案　(-∞,40]∪[160,+∞)
解析　依题意知,≥20或≤5,解得k≥160或k≤40.
4.(人教B版必修第一册习题改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为　　　　.
答案　f(x)=x2-4x
解析　由题意,可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),
又图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
　　　　　　　　　　　　　　　　考点一　二次函数的解析式
例1 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.
解　法一(一般式)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
法二(顶点式)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x==,所以m=.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a+8.
因为f(2)=-1,所以a+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三(零点式)
由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,即=8,解得a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
求二次函数解析式的三个策略
1.已知三个点的坐标,宜选用一般式.
2.已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.
3.已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
1.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根的平方和为10,求函数f(x)的解析式.
解　依题意,设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0),
由二次函数f(x)的图象过点(0,3),得f(0)=3,
所以4a+h=3,即h=3-4a,
所以f(x)=a(x-2)2+3-4a,
令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0,
所以ax2-4ax+3=0,
设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=4,x1x2=,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-,
所以16-=10,解得a=1,所以f(x)=x2-4x+3.
考点二　二次函数的图象
例2 (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,则函数f(x)的图象可能是(　　)
(2)(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为(　　)
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a答案　(1)D　(2)AD
解析　(1)由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,
所以函数图象开口向上,排除AC;
又f(0)=c<0,排除B.
(2)因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确;
对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,故B错误;
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a,即5a研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.2a+b=0
B.4a+2b+c<0
C.9a+3b+c<0
D.abc<0
解析　ACD　由二次函数图象开口向下知a<0,
对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0.
又因为f(0)=c>0,所以abc<0.
f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0.
考点三　二次函数的最值
例3 已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;
(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
解　(1)由题意知a≠0.
当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2,
又a>0,所以0当a<0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.
综上,a的取值范围是(-∞,0)∪.
(2)①当0<≤1,即a≥时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,
此时g(a)=f(1)=3a-2;
②当1<<2,即f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1;
③当≥2,即0此时g(a)=f(2)=6a-3.
综上所述,g(a)=
闭区间上二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合图象,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解　(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],
函数图象的对称轴为直线x=-∈[-2,3],
∴f(x)min=f=--3=-,f(x)max=f(3)=15,
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x=-.
①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,
∴6a+3=1,即a=-,满足题意;
②当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.
综上可知,a=-或-1.
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x=-与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
例 (1)若关于x的二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)的两个互异的实数根都小于1,则实数m的取值范围是　　　　.
(2)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是　　　　.
答案　(1)　(2)
解析　(1)因为关于x的二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)的两个互异的实数根都小于1,
所以
即
解得m>.
(2)设f(x)=x2+2mx+2m+1,问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在(-1,0)和(1,2)内,
则 解得-训练
1.关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪(-2,0)
B.(-∞,2)
C.(0,2)∪(2,+∞)
D.(-2,+∞)
解析　A　因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根,所以解得m<0 且m≠-2.
2.已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-3,0)
解析　显然a≠0,关于x的方程ax2+x+2=0对应的二次函数为f(x)=ax2+x+2(对开口方向进行讨论,分a>0和a<0).①若a>0,即图象开口向上,ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,只需f(0)<0且f(1)<0,即2<0且a+3<0,则a∈ ;(若发现f(0)=2,结合图象也可知a>0不可能).②若 a<0,即图象开口向下,ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,只需f(0)>0且f(1)>0,即2>0且a+3>0,则-3

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