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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.7　一元二次方程、不等式
[考情引航]　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.　2.结合一元二次函数的图象,会判断一元二次方程根的个数,了解二次函数零点与一元二次方程根的关系.　3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
启航　固本清源　自主诊断
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是__的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
|微点拨|
对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形.
2
[知识重构]
2.三个“二次”的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1[常用结论]
1.分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c.
(2)|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.( )
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].( )
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.( )
×
√
×
×
2.(人教A版必修第一册习题改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为　 　 　　.
解析　由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,得x≤-1或x≥,故不等式的解集为(-∞,-1]∪.
　(-∞,-1]∪
3.若关于x的不等式x2+(2m-1)x+m2-m>0的解集为{x|x<3,或x>4},则m的值为　　　　.
解析　根据题意,方程x2+(2m-1)x+m2-m=0的两根为3和4,
故有解得m=-3.
-3
(-3,0]
4.(人教A版必修第一册习题改编)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为　　　　.
解析　当k=0时,满足题意;当k≠0时,解得-3导航　考点精研　核心突破
考点一　一元二次不等式的解法
例1 (多选)下列选项中,正确的是(　 　)
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
ABD
解析　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,
所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1},故A正确;
因为-1≤0,即≤0,即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),
解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;
由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1,或x≥3},故C错误;
由|x-1|<1,可得-1因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确.
例2 解关于x的不等式ax2-(a+2)x+2<0(a∈R).
解　若a=0,不等式可化为-2x+2<0,解得x>1,所以不等式的解集为{x|x>1}.
若a≠0,则不等式可化为(ax-2)(x-1)<0,当(ax-2)(x-1)=0时,x1=,x2=1,
①若a>0,则当>1,即0当=1,即a=2 时,原不等式的解集为 ;当<1,即a>2 时,原不等式的解集为.
②若a<0,则<1,且不等式变化为(-ax+2)(x-1)>0,
解得x>1或x<,原不等式的解集为.
综上所述,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};当0当a=2 时,不等式的解集为 ;当a>2 时,不等式的解集为.
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
1.根据二次项系数为正、负及零进行分类.
2.根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
3.有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
1.不等式|x|(1-2x)>0的解集是(　　)
A. B.
C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪
D
解析　原不等式等价于即x<且x≠0.
2.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
解　将不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R) 变形为(x-a)(x-a2)>0.
当(x-a)(x-a2)=0时,x1=a,x2=a2.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a=a2=0,所以原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a2,所以原不等式的解集为{x|xa};
当a=1时,a=a2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
考点二　三个二次之间的关系
例3 (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则(　 　)
A.a>0
B.a+b+c>0
C.不等式bx+c>0的解集是(-∞,-6)
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪
ACD
解析　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),
∴a>0,故A正确;
-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得则
∴a+b+c=-6a<0,故B错误;
不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,得x<-6,故C正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,
解得x<-或x>,故D正确.
“三个二次”之间的关系及其应用
1.一元二次方程的根就是对应二次函数的零点,也就是对应一元二次不等式解集的端点值.
2.对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式f(x)A.9 B.8 C.6 D.4
D
解析　因为f(x)=x2+ax+b(a,b∈R) 的图象开口向上,最小值为0,所以Δ=a2-4b=0,所以b=,则f(x)=x2+ax+=,因为f(x)4.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1解析　由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0) 的两个不相等的实数根,Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15,所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又a>0,解得a=.
考点三　一元二次不等式恒成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
例4 已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则实数k的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.(0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
A
解析　当k=0时,8>0恒成立,符合题意;当k≠0时,要使kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,只需
解得0角度2　在给定区间上的恒成立问题
例5 (一题多解)已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
　
解析　要使f(x)<5-m在x∈[1,3]上恒成立,即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
法一　令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,所以m<,所以0法二　因为x2-x+1=+>0,
m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒成立,
所以m<在x∈[1,3]上恒成立.
令y=,因为函数y==在[1,3]上的最小值为,
所以只需m<即可.
所以实数m的取值范围是.
角度3　在给定参数范围的恒成立问题
例6 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是(　　)
A.[-1,3] B.(-∞,-1]
C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
D
解析　不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得解得x<-1或x>3.
恒成立问题求参数范围的解题策略
1.弄清楚自变量、参数,一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
2.一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论.
5.已知关于x的不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立 请说明理由.
解　当m=0时,-2x+1<0对任意x∈R不恒成立,不满足;
当m<0时,Δ=4-4m(1-m)=4m2-4m+4<0无解.
故不存在实数m,使得不等式对任意x∈R恒成立.
(2)若不等式对任意x∈[0,1]恒成立,求实数m的取值范围.
解　令f(x)=mx2-2x-m+1.
当m>0时,解得m>1;
当m=0时,-2x+1<0在[0,1]上不恒成立;
当m<0时,因为二次函数图象的对称轴为直线x=,抛物线开口向下,
所以只需f(0)=-m+1<0,解得m>1,矛盾.
综上,实数m的取值范围为(1,+∞).
(3)对于m∈[-2,2],不等式恒成立,求实数x的取值范围.
解　利用主元法,设g(m)=(x2-1)m-2x+1,
若当m∈[-2,2]时,g(m)<0恒成立,
则即
解得所以实数x的取值范围为.
(4)若不等式在[2,3]上有解,求实数m的取值范围.
解　因为x∈[2,3],不等式可整理为m<,即m<,
设2x-1=t∈[3,5],则x2-1=,所以m<==.
因为函数y=x和函数y=-在[3,5]上均为增函数,所以函数y=t-+2在[3,5]上为增函数,则函数y=在[3,5]上为减函数,所以m<=1.
故实数m的取值范围为(-∞,1).1.7　一元二次方程、不等式
[考情引航]　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.　2.结合一元二次函数的图象,会判断一元二次方程根的个数,了解二次函数零点与一元二次方程根的关系.　3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
[知识重构]
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
|微点拨|
对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形.
2.三个“二次”的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1[常用结论]
1.分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c.
(2)|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(×)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(√)
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].(×)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(×)
2.(人教A版必修第一册习题改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　.
答案　(-∞,-1]∪
解析　由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,得x≤-1或x≥,故不等式的解集为(-∞,-1]∪.
3.若关于x的不等式x2+(2m-1)x+m2-m>0的解集为{x|x<3,或x>4},则m的值为　　　　.
答案　-3
解析　根据题意,方程x2+(2m-1)x+m2-m=0的两根为3和4,
故有解得m=-3.
4.(人教A版必修第一册习题改编)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为　　　　.
答案　(-3,0]
解析　当k=0时,满足题意;当k≠0时,解得-3　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　一元二次不等式的解法
例1 (多选)下列选项中,正确的是(　　)
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
解析　ABD　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,
所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1},故A正确;
因为-1≤0,即≤0,
即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),
解得-3≤x<2,
所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;
由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,
解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1,或x≥3},故C错误;
由|x-1|<1,可得-1解得0因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确.
例2 解关于x的不等式ax2-(a+2)x+2<0(a∈R).
解　若a=0,不等式可化为-2x+2<0,解得x>1,所以不等式的解集为{x|x>1}.
若a≠0,则不等式可化为(ax-2)(x-1)<0,当(ax-2)(x-1)=0时,x1=,x2=1,
①若a>0,则当>1,即0当=1,即a=2 时,原不等式的解集为 ;
当<1,即a>2 时,原不等式的解集为.
②若a<0,则<1,
且不等式变化为(-ax+2)(x-1)>0,
解得x>1或x<,
原不等式的解集为.
综上所述,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=2 时,不等式的解集为 ;当a>2 时,不等式的解集为.
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
1.根据二次项系数为正、负及零进行分类.
2.根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
3.有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
1.不等式|x|(1-2x)>0的解集是(　　)
A.
B.
C.(-∞,0)∪
D.(-∞,0)∪
解析　D　原不等式等价于即x<且x≠0.
2.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
解　将不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R) 变形为(x-a)(x-a2)>0.
当(x-a)(x-a2)=0时,x1=a,x2=a2.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a=a2=0,所以原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a2,所以原不等式的解集为{x|xa};
当a=1时,a=a2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
考点二　三个二次之间的关系
例3 (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则(　　)
A.a>0
B.a+b+c>0
C.不等式bx+c>0的解集是(-∞,-6)
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪
解析　ACD　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),
∴a>0,故A正确;
-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得
则
∴a+b+c=-6a<0,故B错误;
不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,得x<-6,故C正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,
解得x<-或x>,故D正确.
“三个二次”之间的关系及其应用
1.一元二次方程的根就是对应二次函数的零点,也就是对应一元二次不等式解集的端点值.
2.对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式f(x)A.9 B.8
C.6 D.4
解析　D　因为f(x)=x2+ax+b(a,b∈R) 的图象开口向上,最小值为0,所以Δ=a2-4b=0,所以b=,则f(x)=x2+ax+=,因为f(x)4.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1答案　
解析　由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0) 的两个不相等的实数根,Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15,所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又a>0,解得a=.
考点三　一元二次不等式恒成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
例4 已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则实数k的取值范围是(　　)
A.[0,1]
B.(0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
解析　A　当k=0时,8>0恒成立,符合题意;当k≠0时,要使kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,只需
解得0角度2　在给定区间上的恒成立问题
例5 (一题多解)已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
答案　
解析　要使f(x)<5-m在x∈[1,3]上恒成立,即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
法一　令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,所以m<,所以0法二　因为x2-x+1=+>0,
m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒成立,
所以m<在x∈[1,3]上恒成立.
令y=,因为函数y==在[1,3]上的最小值为,
所以只需m<即可.
所以实数m的取值范围是.
角度3　在给定参数范围的恒成立问题
例6 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是(　　)
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
解析　D　不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得解得x<-1或x>3.
恒成立问题求参数范围的解题策略
1.弄清楚自变量、参数,一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
2.一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论.
5.已知关于x的不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立 请说明理由.
(2)若不等式对任意x∈[0,1]恒成立,求实数m的取值范围.
(3)对于m∈[-2,2],不等式恒成立,求实数x的取值范围.
(4)若不等式在[2,3]上有解,求实数m的取值范围.
解　(1)当m=0时,-2x+1<0对任意x∈R不恒成立,不满足;
当m<0时,Δ=4-4m(1-m)=4m2-4m+4<0无解.
故不存在实数m,使得不等式对任意x∈R恒成立.
(2)令f(x)=mx2-2x-m+1.
当m>0时,解得m>1;
当m=0时,-2x+1<0在[0,1]上不恒成立;
当m<0时,因为二次函数图象的对称轴为直线x=,抛物线开口向下,所以只需f(0)=-m+1<0,解得m>1,矛盾.
综上,实数m的取值范围为(1,+∞).
(3)利用主元法,设g(m)=(x2-1)m-2x+1,
若当m∈[-2,2]时,g(m)<0恒成立,
则即
解得所以实数x的取值范围为.
(4)因为x∈[2,3],不等式可整理为m<,即m<,
设2x-1=t∈[3,5],则x2-1=,
所以m<==.
因为函数y=x和函数y=-在[3,5]上均为增函数,所以函数y=t-+2在[3,5]上为增函数,则函数y=在[3,5]上为减函数,
所以m<=1.
故实数m的取值范围为(-∞,1).

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