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1.3　等式性质与不等式性质
[考情引航]　1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.掌握不等式的性质,并能简单应用.
[知识重构]
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性:如果a=b,那么b=a.
(2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c.
(3)可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c.
(4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc.
(5)可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
(1)对称性:a>b b(2)传递性:a>b,b>c a>c.
(3)同向可加性:a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c>b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 acb>0,c>d>0 ac>bd.
(5)可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥1).
(6)可开方性:a>b>0 >(n∈N,n≥2).
[常用结论]
1.倒数性质
若ab>0,则a>b < ;
若ab<0,则a>b > .
2.分数性质
若a>b>0,m>0,则
(1)真分数性质:< ; > (b-m>0).
(2)假分数性质:> ; < (b-m>0).
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)同向不等式具有可加性和可乘性.(×)
(3)如果a>b,那么<.(×)
(4)如果c>a>b>0,那么>. (√)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A版必修第一册习题改编)设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(　　)
A.M>N B.M≥N
C.M解析　A　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N.
3.(人教A版必修第一册习题改编)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是(　　)
A.ac>bc B.<
C.a2>b2 D.a+c>b+c
解析　D　对于A,当c≤0时,不等式ac>bc不成立,故A错误;对于B,当a>0,b<0时,不等式<不成立,故B错误;对于C,当a=-1,b=-2时,不等式a2>b2不成立,故C错误,D正确.
4.(人教B版必修第一册习题改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是　　　　.
答案　(-5,-1)
解析　由b∈(2,3)得-6<-2b<-4, 又1考点一　比较两个数(式)的大小
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.+≥+(a>0,b>0)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.<(b>a>0)
(2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=abba的大小关系是(　　)
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p答案　(1)ABD　(2)A
解析　(1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2-2x>-3,故A正确;
∵+-=+=,
又a,b均为正实数,
∴a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,∴+≥+,故B正确;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
用作差法比较-=,
∵b>a>0,∴>0,∴<,故D正确.
(2)由题知p>0且q>0,===,
若a>b>0,则>1,a-b>0,∴>1,
即p>q;
若b>a>0,则0<<1,a-b<0,
∴>1,即p>q;
若a=b,则=1,∴p=q.综上,p≥q.
比较大小的常用方法
1.作差法
(1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论.
2.作商法
(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.
1.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　)
A.x>y
B.x=y
C.xD.x,y的关系随c而定
解析　C　由题设,易知x>0,y>0,又==<1,∴x2.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(　　)
A.M>N
B.MC.M≤N
D.M,N大小关系不确定
解析　B　M2-N2=(a+b)-(a+b+2)=-2<0,所以M考点二　不等式性质的基本应用
例2 (1)若a>0>b,则(　　)
A.a3>b3 B.|a|>|b|
C.< D.ln(a-b)>0
(2)(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　)
A.< B.|a|+b>0
C.a->b- D.ln a2>ln b2
答案　(1)A　(2)AC
解析　(1)因为a>0>b,所以a3>0,b3<0,即a3>b3,故A正确;
取a=1,b=-2,则|a|>|b|不成立,<不成立,故B,C错误;
取a=,b=-,则ln(a-b)=ln 1=0,故D错误.
(2)由<<0,可知b对于A,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0,则<,故A正确;
对于B,因为b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;
对于C,因为b ->0,所以a->b-,故C正确;
对于D,因为ba2>0,
而y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增,所以ln b2>ln a2,故D错误.
解决不等式性质应用问题的三种方法
1.直接法:直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件.
2.利用特殊值排除法.
3.单调性法:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
3.若a,b,c为实数,且a0,则下列不等关系一定成立的是(　　)
A.a+cC.ac>bc D.b-a>c
解析　A　对于A,由不等式的性质知,c>0,a对于B,若a=-2,b=-1,则>,故B错误;
对于C,由不等式的性质知,c>0,a对于D,a0,又c>0,所以无法判断b-a与c的大小关系,故D错误.
4.(多选)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(　　)
A.> B.a-c>2b
C.a2>b2 D.ab+bc>0
解析　BC　对于A,因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以<,故A错误;
对于B,因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0,a-b>0,
所以b+c=-a<0,所以a-b>b+c,即a-c>2b,故B正确;
对于C,因为a-b>0,a+b=-c>0,所以a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故C正确;
对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,故D错误.
考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 (1)已知-1(2)已知3答案　(1)(-4,2)　(1,18)　(2)
解析　(1)因为-1(2)因为4[变式探究] (变条件)若将本例(1)中条件改为“-1解　设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则所以即3x+2y=(x+y)+(x-y),又因为-1所以-<(x+y)<10,1<(x-y)<,
所以-<(x+y)+(x-y)<,即-<3x+2y<,所以3x+2y的取值范围为.
根据不等式的性质求取值范围的策略
1.严格运用不等式的性质,注意其成立的条件.
2.同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.
3.运用待定系数法建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.
5.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是　　　　.
答案　
解析　因为0<β<,所以-<-β<0,又0<α<,所以-<α-β<,又β<α,所以α-β>0,即0<α-β<,即α-β的取值范围为.
6.已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　)
A.[-24,192] B.[-24,252]
C.[36,252] D.[36,192]
解析　D　设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
所以解得
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).
又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192].(共28张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.3　等式性质与不等式性质
[考情引航]　1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.掌握不等式的性质,并能简单应用.
启航　固本清源　自主诊断
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
[知识重构]
2.等式的性质
(1)对称性:如果a=b,那么b=a.
(2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c.
(3)可加(减)性:如果a=b,那么__________.
(4)可乘性:如果a=b,那么_______.
(5)可除性:如果a=b,c≠0,那么________.
a±c=b±c
ac=bc
=
3.不等式的性质
(1)对称性:a>b b(2)传递性:a>b,b>c a>c.
(3)同向可加性:a>b a+c___b+c;a>b,c>d a+c___b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0 ac___bc;a>b,c<0 acb>0,c>d>0 ac____bd.
(5)可乘方性:a>b>0 an___bn(n∈N,n≥1).
(6)可开方性:a>b>0 (n∈N,n≥2).
>
>
>
>
>
>
[常用结论]
1.倒数性质
若ab>0,则a>b < ;
若ab<0,则a>b > .
2.分数性质
若a>b>0,m>0,则
(1)真分数性质:< ; > (b-m>0).
(2)假分数性质:> ; < (b-m>0).
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( )
(3)如果a>b,那么<.( )
(4)如果c>a>b>0,那么>. ( )
√
×
×
√
2.(人教A版必修第一册习题改编)设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(　　)
A.M>N B.M≥N
C.M解析　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N.
A
D
3.(人教A版必修第一册习题改编)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是(　　)
A.ac>bc B.<
C.a2>b2 D.a+c>b+c
解析　对于A,当c≤0时,不等式ac>bc不成立,故A错误;对于B,当a>0,b<0时,不等式<不成立,故B错误;对于C,当a=-1,b=-2时,不等式a2>b2不成立,故C错误,D正确.
4.(人教B版必修第一册习题改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是　　　　.
(-5,-1)
解析　由b∈(2,3)得-6<-2b<-4, 又1导航　考点精研　核心突破
考点一　比较两个数(式)的大小
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.+≥+(a>0,b>0)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.<(b>a>0)
ABD
解析　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2-2x>-3,故A正确;
∵+-=+=,
又a,b均为正实数,
∴a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,∴+≥+,故B正确;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
用作差法比较-=,
∵b>a>0,∴>0,∴<,故D正确.
(2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=abba的大小关系是(　　)
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p解析　∵由题知p>0且q>0,===,
若a>b>0,则>1,a-b>0,∴>1,即p>q;
若b>a>0,则0<<1,a-b<0,∴>1,即p>q;
若a=b,则=1,∴p=q.综上,p≥q.
A
比较大小的常用方法
1.作差法
(1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论.
2.作商法
(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.
1.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　)
A.x>y
B.x=y
C.xD.x,y的关系随c而定
解析　由题设,易知x>0,y>0,又==<1,∴xC
2.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(　　)
A.M>N
B.MC.M≤N
D.M,N大小关系不确定
解析　M2-N2=(a+b)-(a+b+2)=-2<0,所以MB
考点二　不等式性质的基本应用
例2 (1)若a>0>b,则(　　)
A.a3>b3 B.|a|>|b|
C.< D.ln(a-b)>0
解析　因为a>0>b,所以a3>0,b3<0,即a3>b3,故A正确;
取a=1,b=-2,则|a|>|b|不成立,<不成立,故B,C错误;
取a=,b=-,则ln(a-b)=ln 1=0,故D错误.
A
(2)(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　)
A.< B.|a|+b>0
C.a->b- D.ln a2>ln b2
解析　由<<0,可知b0,所以<0,>0,则<,故A正确;对于B,因为b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;
对于C,因为b ->0,所以a->b-,故C正确;
对于D,因为ba2>0,
而y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增,所以ln b2>ln a2,故D错误.
AC
解决不等式性质应用问题的三种方法
1.直接法:直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件.
2.利用特殊值排除法.
3.单调性法:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
3.若a,b,c为实数,且a0,则下列不等关系一定成立的是(　　)
A.a+cC.ac>bc D.b-a>c
解析　对于A,由不等式的性质知,c>0,a对于B,若a=-2,b=-1,则>,故B错误;
对于C,由不等式的性质知,c>0,a对于D,a0,又c>0,所以无法判断b-a与c的大小关系,故D错误.
A
4.(多选)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(　　)
A.> B.a-c>2b
C.a2>b2 D.ab+bc>0
解析　对于A,因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以<,故A错误;
对于B,因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0,a-b>0,
所以b+c=-a<0,所以a-b>b+c,即a-c>2b,故B正确;
对于C,因为a-b>0,a+b=-c>0,所以a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故C正确;
对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,故D错误.
BC
考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 (1)已知-1解析　因为-1(2)已知3解析　因为4(-4,2)
(1,18)
[变式探究] (变条件)若将本例(1)中条件改为“-1解　设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则所以即3x+2y=(x+y)+(x-y),又因为-1所以-<(x+y)<10,1<(x-y)<,
所以-<(x+y)+(x-y)<,即-<3x+2y<,所以3x+2y的取值范围为.
根据不等式的性质求取值范围的策略
1.严格运用不等式的性质,注意其成立的条件.
2.同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.
3.运用待定系数法建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.
5.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是　　　　.
解析　因为0<β<,所以-<-β<0,又0<α<,所以-<α-β<,又β<α,所以α-β>0,即0<α-β<,即α-β的取值范围为.
6.已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　)
A.[-24,192] B.[-24,252]
C.[36,252] D.[36,192]
解析　设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
所以解得
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).
又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192].
D

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