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2026年甘肃省武威第十二中学数学中考模拟预测试卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则“”表示（ ）
A．向北行走8步 B．向南行走8步
C．向东行走8步 D．向西行走8步
2．有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，核心硬件采用完全自主设计的SW26010处理器，全系统合计约有1065万计算核心，曾登顶全球超算TOP500榜单，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则 ABC的周长为（ ）
A．21 B．23 C．25 D．29
7．如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（ ）
A．当时，的面积为3平方米
B．小车的运动速度为1米／秒
C．长方形的周长为14米
D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．方程的解为_______．
12．若实数，同时满足，，则的值为______．
13．如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________．
15．如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______．
16．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______．
17．如图，在 ABC中，，为的中点，以线段为直径的交于点，过点作，交于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则_______．
18．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ．
三、解答题（66分）
19．（8分）计算
(1) (2)．
20．（6分）如图，，，．
(1)证明．
(2)若，，求．
21．（6分）如图，在 ABC中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线与分别相交于和，连接．
(1)若，平分，求的度数．
(2)若， ABC的周长为，求的周长．
22．（8分）某校对七、八、九年级的学生进行体育综合素质测评，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等次．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取160名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图表如下：
各年级学生成绩统计表
优秀 良好 合格 不合格
七年级 10 a 12 8
八年级 15 15 24 10
九年级 b 17 13 4
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，a的值为_______，b的值为_______；
(2)在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为_______；
(3)若该校三个年级共有1600名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩优秀的人数；
(4)若该校已选定优秀代表甲、乙两位同学去参加区里面开展的跳绳、跑步、引体向上、掷实心球四项体育活动比赛，每人任选一项参加，请直接写出甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的概率．
23．（6分）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，．
(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________；
(2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设．
①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
24．（6分）如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．
(1)求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数）
(2)现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？
25．（8分）如图，与相切于点，以为边作菱形，交于点C，D，E是对角线上一点，在，上取点F，G，使．
(1)求证：是切线；
(2)求证：是等边三角形；
(3)若，求的半径．
26．（8分）综合与探究
【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转．
(1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长．
27．（10分）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称．
(1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标．
(2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页《2026年甘肃省武威第十二中学数学中考模拟预测试卷1》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A D D A B D B
11．
12．
13．
14．4
15．
16．
17．
18．
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）证明：∵，
∴，
∴，
在 ABC和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．（1）解：根据题意，得直线是线段的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
．
（2）解：根据题意，得直线是线段的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
，
，
的周长为．
22．（1）解：由题意得，，
；
（2）解：，
∴在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为；
（3）解：人，
∴估计该校学生体育成绩优秀的人数为470人；
（4）解：设分别用A、B、C、D表示跳绳、跑步、引体向上、掷实心球四项体育活动比赛，列表如下：
甲乙
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的结果数有4种，
∴甲、乙两位同学刚好选择同一项活动的概率为．
23．（1）过点C作轴于D，
，，
，
∵，
∴点D与点A重合，
∴，
。
∵四边形是平行四边形，
，的纵坐标和相等，横坐标为 ，
．
（2）① 由折叠性质得 ，， ，
∴ ， ，
设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得，
∴直线的解析式为 ，
同理可得直线的解析式为，
联立和的方程得交点 ，
∴ ．
直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）．
(2) ② 当 时，过点F作 ，
∵直线与直线平行且经过原点，
∴直线解析式为，
由题意可得 ， ， ，
∴可得直线的解析式为，
联立和的方程得交点 ，
∴ ，
∴面积
，
此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大，
故最大值在处，；最小值在端点处，；
当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ，
同理可知 ， ， ， ， ，
面积
，
此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小，
时，； 时，；
故此时，；
当时，重叠部分是三角形，
同理可知 ， ， ，
，最小值在时为；
∴的范围是．
24．（1）解：如图，作于，作于，
由题意得，，，
，
在中，，
，
，
，，，
四边形为矩形，，
，，
，
在中，,
，
，
即和两放牧点地之间的距离约为；
（2）解：如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，
作于点，连接，则，，
设，则，
甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍，
，
，
在中，，，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
整理得，
解得，（负值，舍去），
答：当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲距离放牧点的距离是．
25．（1）证明：连接，，，
∵与相切于，是的半径，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵是的半径，
故是的切线；
（2）证明：在菱形中，，，，，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∵与相切于，是的半径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
在中，且，
故是等边三角形；
（3）解：如图，作于点M，作于点N，作于点H，连接，设．
由（2）知是等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
又∵，
，
∴，．
∴，
．
∵，
∴
∴．
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，
，经检验，是原分式方程的解，
∴的半径是．
26．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
是的中点，，
，
，
．
由旋转的性质得，
，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：，理由如下：
∵在图1中，D、E分别是的中点，
∴是 ABC的中位线，，
∴，
∴；
如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），
∵，线段经过的中点，
∴
，
．
由旋转的性质可得，
，即，
∴，
．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点．
，
∴，
由（3）可知，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
；
如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
；
∵，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
27．（1）解：∵，
∴顶点坐标为
∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称
∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为
∴，
当时，，当时，．则，
∴；
（2）解：∵
∴对称轴是直线，设，
∵
∴，，
当时，，
解得
∴Q的坐标为或；
当时，，
解得，
若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意；
∴；
当时，，
解得，
∴
综上所述， Q的坐标为或或或；
（3）解：∵，
∴，，
又∵
∴点P在以为直径的上，且不与重合，
如图，连接，
则，
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，
∵，
∴
∴的最小值为3．
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