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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则集合
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若是二项式的展开式中的一项，则为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为
A． B． C． D．
5．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则
A．15 B．16 C．17 D．18
6．已知单位向量，，满足，则
A． B． C． D．2
7．已知函数，若，，，则
A． B．
C． D．
8．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是
A．若众数为5，则
B．若平均数不变，则
C．若中位数不变，则
D．若极差为9，则或
10．已知，，，点在圆上运动，则
A．点在圆内
B．直线的方程为
C．圆为的内切圆
D．的最大值为88
11．对于正整数，欧拉函数的函数值是所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，，则
A．
B．对任意正整数，恒有
C．记，则的前项和
D．从集合中随机取两个不同的数，，记事件：“”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．双曲线的离心率为_________．
13．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________．
14．平面直角坐标系中，若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本题满分15分）
内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求证：；
（2）当角取得最大值时，的面积为，求．
17．（本题满分15分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
18．（本题满分17分）
近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．
已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击．
（1）若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率；
（2）求小明第次在场景A下射击的概率；
（3）求小明在次射击后总得分的期望．
19．（本题满分17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过的直线交椭圆于，两点（在轴上方），的周长为8，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中点为，求点到直线的距离的最小值；
（3）若线段的中点为，的重心为，和面积分别为，，求的取值范围．
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 D A B C A B D A AB BCD ACD
12． 13．0 14．
15．解（1）如图，取中点，连接，． 1分
因为，，所以，
即， 2分
且，．
又因为四边形是菱形，，
所以，．
因为，所以，
即， 4分
因为平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以平面平面． 6分
（2）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，
，． 7分
设平面的法向量为，
由得，不妨取． 8分
设平面的法向量为，
由得，不妨取． 10分
所以． 12分
故平面与平面夹角的余弦值为． 13分
16．解（1）由可得． 1分
由正弦定理可得． 2分
故． 4分
由余弦定理可得． 6分
化简得． 7分
（2）由题意可知，为锐角，
则 10分
当且仅当即时取等号． 11分
此时最大，且． 12分
所以． 13分
解得． 15分
17．解（1）． 1分
当时，恒成立，故函数在在单调递增； 2分
当时，令得． 3分
故当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增， 5分
综上，当时，恒成立，函数在单调递增；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增．分
（2）令，，， 7分
，，． 8分
令，，
而在恒成立，即在单调递增，分
故当，即时，，在单调递增，
在恒成立；分
当，即时，当时，，
所以，存在，使得时，，单调递减，时，
，单调递增，分
故由可知，时，与在恒成立矛盾； 14分
综上，实数的取值范围是．15分
18．解（1）设事件“小明在前次射击中得到分”，
事件“这分均在场景下获得”．分
则，． 3分
所以． 5分
（2）设第次在场景下射击为事件，
则，，， 6分
由全概率公式可得， 7分
即， 8分
则， 9分
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 10分
则，所以； 11分
（3）设第轮得分期望为，则， 14分
所以前轮期望总得分为． 17分
19．（1）设椭圆的半焦距为，
由已知可得，且，解方程得， 2分
所以椭圆的标准方程为； 3分
（2）由已知直线的斜率不为，故设直线的方程为，
联立，消可得，
方程的判别式，
设，，其中，，
由已知，， 4分
故，则． 5分
所以直线，其中． 6分
点到直线的距离
． 7分
令， 8分
所以． 9分
当时取最小值． 10分
（3）设，则，
所以，即，
所以， 11分
因为，所以，，
所以，所以，
所以 12分
因为点为线段的中点，所以，
因为点为的重心，所以，
所以
因为点为的重心，所以，
所以， 14分
所以，． 15分
因为函数在上单调递减，所以，
即的取值范围为． 17分

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