资源简介

第28课时　简单的三角恒等变换
[考试要求]　能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝＝ (　　)
A．2－
C． －2)
2．(人教B版必修第三册P109练习BT4(1)改编)计算：＝ (　　)
A．
3．(北师大版必修第二册P161练习T2改编)sin 37.5°cos 7.5°＝ (　　)
A．
4．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈＝___________．
5．(湘教版必修第二册P88练习T3)化简：
(1)sin(α＋β)cos β－sin(α＋2β)＝___________．
(2)sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝___________．
1．半角公式(不要求记忆)
(1)sin；
(2)cos；
(3)tan所在象限决定；
(4)tan．
2．积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
3．和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sin；
(2)sin θ－sin φ＝2cos；
(3)cos θ＋cos φ＝2cos；
(4)cos θ－cos φ＝－2sin．
1．弦切互化——万能公式
(1)sin 2α＝；
(2)cos 2α＝．
2．改变次数——升幂降幂公式
(1)sin2α＝；
(2)cos2α＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝；
(6)1－sin α＝．
考点一　积化和差、和差化积公式的应用
[典例1]　(1)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝ (　　)
A．
D．－3
(2)若cos，则sin 2α等于 (　　)
A．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量变形出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．
[巩固迁移]
1．已知α，β∈(0，π)，且满足sin α＋sin β＝(cos α＋cos β)，则 (　　)
A．tan(α＋β)＝
B．tan(α＋β)＝－
C．cos(α＋β)＝
D．cos(α＋β)＝－
考点二　三角函数式的化简、求值
[典例2]　已知3sin α＝2sin2－1．
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)常见的缩小角的范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．
[巩固迁移]
2．已知cos＝ (　　)
A．－
3．已知0<θ<π，化简：
＝___________．
4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，则2α－β的值为___________．
考点三　三角恒等变换的综合应用
[典例3]　已知f (x)＝sin．
(1)求f 的值；
(2)若锐角α满足f (α)＝，求sin 2α的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
[巩固迁移]
5．证明三角平方差公式：sin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第28课时　简单的三角恒等变换
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．D　3．C　4．－　－
5．(1)sin α　(2)0
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)C　(2)C　[(1)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝(－2cos 30°sin 10°)2＋(sin 70°－sin 30°)＝3sin210°＋sin 70°－sin 70°－
＝cos 20°＋cos 20°－．
故选C．
(2)因为coscos× (sin 2α－1)＝－，所以sin 2α＝．故选C．]
巩固迁移
1．B　[因为sin α＋sin β＝sin＋sin＝2sincos，cos α＋cos β＝cos＋cos＝2coscos，所以2sincos×2coscos，又因为α，β∈(0，π)，所以－<<，0<<π，所以cos>0，所以sincos，所以tan，又因为0<<π，所以，所以α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan＝－，cos(α＋β)＝cos＝－．故选B．]
考点二
典例2　解：(1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－，
所以sin 2α＋cos 2α
＝
＝
＝．
(2)因为β∈，所以tan β<0，
因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－，
所以<α<π．
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
由
得π<α＋β<2π，所以α＋β＝．
巩固迁移
2．C
3．－cos θ　[原式＝
＝cos ·＝．
因为0<θ<π，所以0<<，
所以cos >0，
所以原式＝－cos θ．]
4．－　[∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝>0，
∴0<α<．
又∵tan 2α＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1．
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－．]
考点三
典例3　解：(1)由题意得，f (x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sin·cos
＝sin－2sincos
＝sinsin
＝sin 2xcos－cos 2xsincos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
故f ＝sin＝0．
(2)∵α∈，∴2α＋∈，
又∵f (α)＝，
∴f (α)＝sin，
又∵<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos－cossin
＝．
巩固迁移
5．证明：sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)(sin Acos B－cos Asin B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2Asin2B－sin2B＋sin2Asin2B＝sin2A－sin2B，即得证．
5/5(共60张PPT)
第28课时　简单的三角恒等变换
第四章　三角函数与解三角形
[考试要求]能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝＝(　　)
A．2－
C． －2)
√
C　[∵sin α＝，∴tan －2．]
2．(人教B版必修第三册P109练习BT4(1)改编)计算：＝
(　　)
A．
√
D　[原式＝．故选D．]
3．(北师大版必修第二册P161练习T2改编)sin 37.5°·cos 7.5°＝(　　)
A．
√
C　[sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝．故选C．]
4．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈
＝____________，cos ＝________．
－　[∵θ∈，
∴cos θ＝－，
∴sin ，cos ．]
－
5．(湘教版必修第二册P88练习T3)化简：(1)sin(α＋β)cos β－sin(α＋2β)＝________．
(2)sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝________．
(1)sin α．
(2)原式＝2sin－cos 20°
＝2sin 30°cos 20°－cos 20°＝0．]
1．半角公式(不要求记忆)
(1)sin；
(2)cos；
(3)tan所在象限决定；
(4)tan．
2．积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
3．和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sin；
(2)sin θ－sin φ＝2cos；
(3)cos θ＋cos φ＝2cos；
(4)cos θ－cos φ＝－2sin．
1．弦切互化——万能公式
(1)sin 2α＝；
(2)cos 2α＝．
2．改变次数——升幂降幂公式
(1)sin2α＝；(2)cos2α＝；(3)1＋cos α＝2cos2；(4)1－cos α＝2sin2；(5)1＋sin α＝；(6)1－sin α＝．
考点一　积化和差、和差化积公式的应用
[典例1]　(1)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝(　　)
A．C．　　D．－3
(2)若cos，则sin 2α等于(　　)
A．
精研考点·提升素养
√
√
(1)C　(2)C　[(1)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°
＝(－2cos 30°sin 10°)2＋(sin 70°－sin 30°)
＝3sin210°＋sin 70°－
＝sin 70°－
＝cos 20°＋cos 20°－
＝．故选C．
(2)因为cos× ＝．故选C．]
名师点评：利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量变形出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．
[巩固迁移]
1．已知α，β∈(0，π)，且满足sin α＋sin β＝(cos α＋cos β)，则
(　　)
A．tan(α＋β)＝
C．cos(α＋β)＝
√
B　[因为sin α＋sin β＝sin
，又因为α，β∈(0，π)，
所以－
．故选B．]
考点二　三角函数式的化简、求值
[典例2]　已知3sin α＝2sin2－1．
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
[解]　(1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－，
所以sin 2α＋cos 2α＝
＝＝＝．
(2)因为β∈，所以tan β<0，
因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，所以tan β＝－，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－<α<π．
所以tan(α＋β)＝＝－1，
由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝．
名师点评：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)常见的缩小角的范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．
[巩固迁移]
2．已知cos＝(　　)
A．－
√
C　[法一：因为cos，
所以sin
＝cos－1＝2×．
法二(换元法)：令t＝，
所以sin
＝sin．]
3．已知0<θ<π，化简：＝________．
－cos θ　[原式＝＝cos ．因为0<θ<π，所以0<>0，
所以原式＝－cos θ．]
－cos θ
4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，则2α－β的值为________．
－　[∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝>0，
∴0<α<．
又∵tan 2α＝>0，
－
∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝1．
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－．]
考点三　三角恒等变换的综合应用
[典例3]　已知f (x)＝sin．
(1)求f 的值；
(2)若锐角α满足f (α)＝，求sin 2α的值．
[解]　(1)由题意得，f (x)＝sin＋2
＝sin
＝sin
＝sin
＝sin 2xcoscos 2x
＝，
故f ＝0．
(2)∵α∈，∴2α＋，
又∵f (α)＝，∴f (α)＝sin，
又∵，∴2α＋，
∴cos，
∴sin 2α＝sin＝sin
＝．
名师点评：进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
[巩固迁移]
5．证明三角平方差公式：sin2A－sin2B＝sin(A＋B)·sin(A－B)．
[证明]　sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)(sin Acos B－cos Asin B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2Asin2B－sin2B＋sin2Asin2B＝sin2A－sin2B，即得证．
一、单项选择题
1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝＝(　　)
A．
C．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(二十八)　简单的三角恒等变换
√
D　[因为cos α＝1－2sin2>0，
解得sin．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知cos＝(　　)
A．
√
D　[由cos
，
∴tan．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．的化简结果为(　　)
A．－sin 20° B．－cos 20°
C．cos 20° D．sin 20°
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[原式＝＋＝|sin 20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°．]
4．(2026·湖北黄冈模拟)已知cos＝(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[sin
．]
5．已知cos α－cos β＝，则tan(α＋β)的值为
(　　)
A．－4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[由α＝，
得cos α－cos β＝－2sin，
sin α－sin β＝2cos，
两式相除可得tan，
所以tan(α＋β)＝tan＝．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[因为m＝2sin 18°，
所以由4m2＋n＝16，
可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝4．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．下列各式与tan α相等的是(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BD　[对于A，
＝tan α．
故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知，则
(　　)
A．cos α＝－
C．β－α＝
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BC　[因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝≤2α≤π， cos α＝
，
所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，π≤β≤≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
，
－π≤－2α≤－≤β－α≤π，则β－α＝，故D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．已知函数f (x)＝3sin x＋4cos x．若x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
，
∵当x＝θ时，f (x)取得最大值，
∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos
＝cossin φ
＝－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
10．(2026·广东执信中学月考)已知α∈＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3　[由题设有25－10sin α－1＝0，
即25sin2α＋5sin α－12＝0，
解得sin α＝，因为α∈，
所以sin α＝，
则tan＝3．]
3
四、解答题
11．已知α∈，且tan(2α＋β)＝3．
(1)求tan 2α的值；
(2)求α＋β的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)∵β∈(0，π)，且cos β＝，
∴sin β＝，
∴tan β＝．
又∵tan(2α＋β)＝3，
∴tan 2α＝tan[(2α＋β)－β]＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)∵tan 2α＝，∴2tan2α＋3tan α－2＝0，
∴tan α＝或tan α＝－2，∵α∈，∴tan α＝，
又∵tan β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，
∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈，
又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝．
题号
2
1
3
4
5
6
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12
13
12．已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈．求：
(1)tan α；(2)sin．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－，
∵α∈，∴tan α＝－．
(2)∵sin 2α＝，
cos 2α＝，
∴sin
＝－．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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11
12
13
13．通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α．
(1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式；
(2)求sin 18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
[解]　(1)sin 3α＝sin＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α
＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α
＝2sin α·cos2α－sin α＋2sin α·coα
＝4sin α·cos2α－sin α
＝4sin α·－sin α
＝－4sin3α＋3sin α．
题号
2
1
3
4
5
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8
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13
(2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°，
即sin，
∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°，
∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3，
即2sin 18°＝4－3，
整理得4sin218°＋2sin 18°－1＝0，∵sin 18°>0，
∴sin 18°＝．
题号
2
1
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12
13
(3)由(1)得sin3α＝sin 3α，
∴sin3126°＋sin36°－sin366°
＝sin 126°－sin 378°＋sin 6°－sin 18°－sin 66°＋sin 198°
＝(sin 378°＋sin 18°－sin 198°)
＝＝
＝－sin 18°＝．
题号
2
1
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7
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13
谢 谢 ！课后作业(二十八)　简单的三角恒等变换
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝＝ (　　)
A．
C．
2．已知cos＝ (　　)
A．
3．的化简结果为 (　　)
A．－sin 20° B．－cos 20°
C．cos 20° D．sin 20°
4．(2026·湖北黄冈模拟)已知cos＝ (　　)
A．
5．已知cos α－cos β＝，则tan(α＋β)的值为 (　　)
A．－4
C．－2
6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为 (　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
二、多项选择题
7．下列各式与tan α相等的是 (　　)
A．
C．
8．已知，则 (　　)
A．cos α＝－
C．β－α＝
三、填空题
9．已知函数f (x)＝3sin x＋4cos x．若x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos＝___________．
10．(2026·广东执信中学月考)已知α∈＝___________．
四、解答题
11．(13分)已知α∈，且tan(2α＋β)＝3．
(1)求tan 2α的值；
(2)求α＋β的值．
12．(13分)已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈．求：
(1)tan α；
(2)sin．
13．(15分)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α．
(1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式；
(2)求sin 18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
课后作业(二十九)　三角函数的图象与性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．函数f (x)＝的定义域为 (　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为 (　　)
A．
3．函数f 的单调递增区间为 (　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
4．函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数为 (　　)
A．奇函数，且函数的最大值为2
B．偶函数，且函数的最大值为2
C．奇函数，且函数的最大值为
D．偶函数，且函数的最大值为
5．函数f 上单调递增，则φ的取值范围为 (　　)
A．
C．
6．(2025·天津卷)已知f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在时，f (x)的最小值为 (　　)
A．－
C．－1
D．0
二、多项选择题
7．(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有 (　　)
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
8．(2024·九省联考)已知函数f (x)＝sin，则 (　　)
A．函数f 为偶函数
B．曲线y＝f (x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f (x)在区间上单调递增
D．f (x)的最小值为－2
三、填空题
9．(2026·河北石家庄模拟)已知函数f (x)＝cos2x＋，则m的取值范围为___________．
10．若函数f
中心对称，则φ＝___________．
四、解答题
11．(13分)已知函数f 的最小正周期为π．
(1)若A＝1，f ，求φ的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f (x)的解析式，并求函数h(x)＝f (x)－2cos 2x的单调递增区间．
条件①：f 的最大值为2；
条件②：f 中心对称；
条件③：f ．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
12．(13分)(2025·全国二卷)已知函数f (x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f (0)＝．
(1)求φ；
(2)设函数g(x)＝f (x)＋f ，求g(x)的值域和单调区间．
13．(15分)已知函数f (x)＝4sin上单调递减．
(1)求ω的最大值；
(2)若f (x)的图象关于点中心对称，且f (x)在上的值域为[－2，4]，求m的取值范围．
课后作业(二十八)
1．D　2．D
3．C　[原式＝＋＝|sin 20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°．]
4．B　[sin＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－．]
5．A　[由α＝，β＝，
得cos α－cos β＝－2sinsin，
sin α－sin β＝2cossin＝－，
两式相除可得tan，
所以tan(α＋β)＝tan＝－4．故选A．]
6．C　[因为m＝2sin 18°，
所以由4m2＋n＝16，
可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝4．]
7．BD　[对于A，＝＝；
对于B，＝tan α；
对于C，＝；对于D，
＝＝tan α．
故选BD．]
8．BC　[因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，可得cos 2α＝－＝2cos2α－1 cos2α＝ cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－＝－≤α＋β≤，－π≤－2α≤－≤β－α≤π，则β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选BC．]
9．　[f (x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝，sin φ＝，cos φ＝，
∵当x＝θ时，f (x)取得最大值，
∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos＝cos
＝cos＝coscos φ＋sinsin φ
＝－．]
10．3　[由题设有25－10sin α－1＝0，
即25sin2α＋5sin α－12＝0，
解得sin α＝或sin α＝－，
因为α∈，
所以sin α＝，
则cos α＝－＝－，
则tan＝＝3．]
11．解：(1)∵β∈(0，π)，且cos β＝，
∴sin β＝＝，
∴tan β＝．
又∵tan(2α＋β)＝3，
∴tan 2α＝tan[(2α＋β)－β]＝．
(2)∵tan 2α＝，
∴2tan2α＋3tan α－2＝0，
∴tan α＝或tan α＝－2，
∵α∈，∴tan α＝，
又∵tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1，
∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈，
又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝．
12．解：(1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈，
∴tan α＝－．
(2)∵sin 2α＝＝－，
cos 2α＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－．
13．解：(1)sin 3α＝sin＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α
＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α
＝2sin α·cos2α－sin α＋2sin α·coα
＝4sin α·cos2α－sin α
＝4sin α·－sin α
＝－4sin3α＋3sin α．
(2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°，
即sin＝cos，
∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°，
∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3，
即2sin 18°＝4－3，
整理得4sin218°＋2sin 18°－1＝0，
∵sin 18°>0，
∴sin 18°＝．
(3)由(1)得sin3α＝sin α－sin 3α，
∴sin3126°＋sin36°－sin366°
＝sin 126°－sin 378°＋sin 6°
－sin 18°－sin 66°＋sin 198°
＝
－(sin 378°＋sin 18°－sin 198°)＝
－
＝
＝－sin 18°＝．
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