资源简介 (共132张PPT)第30课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)第四章 三角函数与解三角形[考试要求]1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．以题引理·激活思维1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )A．2，4π， B．2，C．2，，－ D．2，4π，－C [由题意知A＝2，f ＝，初相为－．]√2．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的( )A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变√B [因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos，即可得到函数y＝3cos的图象．故选B．]3．(苏教版必修第一册P212练习T4改编)将函数f (x)＝3sin个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝_________________．3sin [g(x)＝f ＝3sin＝3sin．]3sin4 [由题图知A＝4，T＝＝4π，故ω＝，由＋φ＝2kπ＋π，得φ＝2kπ＋，又0<φ<2π，所以φ＝．]4．(北师大版必修第二册P52习题1－6B组T1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，则A＝______，ω＝_______，φ＝_________．45．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0，ω>0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为_________________________________．y＝5sin＋10，x∈[6，14]y＝5sin＋10，x∈[6，14] [从题图中可以看出，6~14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则所以A＝×(15－5)＝5，b＝×(15＋5)＝10．又＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，所以y＝5sin＋10，x∈[6，14]．]1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．振幅 周期 频率 相位 初相A T＝_____ f ＝ ________ __φωx＋φ2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．ωx＋φ 0 π 2πx －y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 03．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．|φ|AA1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为．2．分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度．3．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则ω＝；(3)求φ：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例1] (2026·福建漳州模拟)某同学用“五点法”画函数f (x)＝Asin在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：精研考点·提升素养ωx＋φ 0 π 2πx Asin(ωx＋φ) 0 2 根据这些数据，要得到函数y＝Asin ωx的图象，需要将函数f (x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度√A [由表中的数据可得A＝2，解得ω＝3，φ＝－，所以f (x)＝2sin．将f (x)＝2sin＝2sin个单位长度后，得到y＝2sin 3x的图象．故选A．]名师点评：函数图象的平移变换解题策略(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数．(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝cos，cos α＝sin将不同名函数转换成同名函数．(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．[巩固迁移]1．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f (x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sin√B [依题意，将y＝sin个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin y＝sin的图象f (x)＝sin的图象．故选B．]2．(多选)(人教A版必修第一册P237例1改编)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )A．把曲线C1向左平移，纵坐标不变，得到曲线C2B．把曲线C1向左平移，纵坐标不变，得到曲线C2C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2AD [对于A，曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，纵坐标不变，得到曲线y＝cos＝cos＝sin，故A正确；对于B，把曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos＝sin＝sin，不是曲线C2，故B错误；对于C，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos＝cos＝sin＝sin，不是曲线C2，故C错误；对于D，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos＝cos＝cos＝sin，故D正确．]【教用·备选题】1．(2022·全国甲卷)将函数f (x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )A． B．C． D．√C [由题意知，曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z．又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为．故选C．]2．(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4√C [把函数y＝cos个单位长度后得到函数y＝f (x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象．作出函数f (x)＝－sin 2x和直线y＝x－的部分图象如图所示，所以由图可知，y＝f (x)＝－sin 2x的图象与直线y＝x－的交点个数为3．故选C．]考点二 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式[典例2](1)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则( )A．f (x)＝3sin＋1B．f (x)＝2sin＋2C．f (x)＝2sin＋2D．f (x)＝2sin＋2√(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．－(1)D (2)－ [(1)根据题中图象知所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，所以ω＝＝2，又函数图象经过最高点，代入函数f (x)＝2sin(2x＋φ)＋2，得sin＝1，因为|φ|<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin＋2．(2)设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sin x＝，可知x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．因为f ＝sin＝0，所以＋φ＝2kπ，即φ＝－＋2kπ，k∈Z．所以f (x)＝sin＝sin，所以f (π)＝sin＝－．]名师点评：借助五点法确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b中的φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[巩固迁移]3．[高考变式](多选)如图，直线y＝1与函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象交于A，B，C三点(点A在y轴上)，若|BC|＝，则下列说法正确的是( )A．φ＝B．ω＝2C．将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin的图象D．当x∈时，f (x)∈√√AD [对于A，由f (x)的图象过A(0，1)，可得2sin φ＝1，即sin φ＝，由题图结合|φ|≤可得φ＝，故A正确；对于B，由f (x)＝1，可得2sin＝1，即ωx＋＋2kπ(k∈Z)或ωx＋＋2kπ(k∈Z)，由B，C两点相邻，可得ωxB＋＋2kπ，ωxC＋＋2(k＋1)π，故ω(xC－xB)＝ω＝，可得ω＝4，故B错误；对于C，由AB可得f (x)＝2sin，将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin的图象，故C错误；对于D，当x∈时，4x＋∈，故sin∈，则f (x)∈[－2，1]，故D正确．故选AD．]【教用·备选题】已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝_____________．－－ [由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝．又因为f (x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f (x)＝cos＝－sinx，所以f (1)＝－．]考点三 三角函数图象与性质的综合应用[典例3] (1)(多选)已知函数f ＝sin(ω>0)，则下列说法正确的是( )A．若ω＝1，则是f 的图象的对称中心B．若f ≤f 恒成立，则ω的最小值为2C．若f 上单调递增，则0<ω≤D．若f 上恰有2个零点，则≤ω≤√√√(2)(2026·湖北武汉模拟)为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 m，圆心角为的扇形空地OPQ的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地的面积的最大值为__________m2．2025课标新变化：具有用函数分析事件的意识．400(－1)(1)ABC (2)400(－1) [(1)选项A，若ω＝1，则f ＝sin＝sin π＝0，可知是f 的图象的对称中心，A正确；选项B，若f ≤f 恒成立，则ω×＋2kπ，解得ω＝2＋12k，又ω>0，所以ω的最小值为2，B正确；选项C，因为x∈，所以ωx＋∈≤，即0<ω≤，C正确；选项D，当x∈时，ωx＋∈，若f 上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D错误．故选ABC．(2)如图所示，连接OC，设∠COA＝θ，作DF⊥OP，CE⊥OP，垂足分别为F，E．根据平面几何知识可知，AB＝CD＝EF，DF＝OF，CE＝DF．所以CE＝20sin θ，EF＝OE－OF＝20cos θ－20sin θ．故四边形ABCD的面积S也为四边形DFEC的面积，即有S＝20sin θ×20＝400(sin 2θ＋cos 2θ－1)＝400sin－400，其中θ∈．所以当sin＝1，即θ＝时，Smax＝400 m2．]名师点评：(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)圆周运动是典型的三角函数建模问题，建模时注意三角函数定义的应用．[巩固迁移]4．若关于x的方程2cos2x－sin 2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的取值范围为____________________________．{m|m＝－2或－1{m|m＝－2或－1所以cos t＝－上有且只有一个解，即y＝cos t的图象和直线y＝－只有1个交点．作出y＝cos t，t∈的图象，由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－15．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝__________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是_________平方米．60sin α22560sin α 225 [在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60(米)，∴PQ＝APsin α＝60sin α(米)．在Rt△PAR中，可得PR＝60sin，由题可知∠QPR＝，∴S△PQR＝·PQ·PR·sin∠QPR＝×60sin α×60sin×sin＝900sin αsin＝450＝450，又α∈，∴2α＋∈，∴当2α＋，即α＝时，△PQR的面积取最大值225平方米，即三角形绿地的最大面积是225平方米．]【教用·备选题】1．已知函数f ＝sin，则下列说法正确的是( )A．函数f 中心对称B．函数f 的图象关于直线x＝－对称C．函数f 内有4个零点D．函数f 上单调递增√C [对于A，由f ＝sin＝sin≠0，所以不是函数f 的图象的对称中心，所以A错误；对于B，由f ＝sin＝sin≠±1，所以x＝－不是函数f 的图象的对称轴，所以B错误；对于C，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z，当k＝0时，可得x＝；当k＝1时，可得x＝；当k＝－1时，可得x＝－；当k＝－2时，可得x＝－内，函数f 有4个零点，所以C正确；对于D，由x∈，可得2x－∈，此时函数f 不单调，所以D错误．故选C．]2．(多选)设函数f (x)＝cos(ω>0)，已知f (x)在(0，2π)内有且仅有3个极小值点，则( )A．f (x)在(0，2π)内有且仅有5个零点B．f (x)在(0，2π)内有且仅有2个极大值点C．f (x)在内单调递减D．ω的取值范围是√√CD [因为x∈(0，2π)，所以ωx＋∈．设t＝ωx＋∈，画出y＝cos t的图象如图所示．由图象可知，若f (x)在(0，2π)内有且仅有3个极小值点，则5π<2πω＋≤7π，故f (x)在(0，2π)内可能有5，6或7个零点，故A错误；f (x)在(0，2π)内可能有2或3个极大值点，故B错误；由5π<2πω＋≤7π，可得<ω≤，故D正确；当x∈时，ωx＋∈<ω≤<ω＋≤，故f (x)在内单调递减，故C正确．故选CD．]3．(多选)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝Asin ωt＋b，其中0≤t≤24．已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则( )A．ω＝B．当天下午3：00温度最高C．温度为28 ℃是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃√√√ABD [t＝0时，θ＝25 ℃，∴b＝25，第二天凌晨3：00温度最低为19 ℃，此时t＝18，∴∴A正确；θ＝6sint＋25，令t＝＋2kπ，k∈Z，即t＝6时，θ取最大值，t＝6对应下午3：00，B正确；令θ＝28，得t＝2或10，即上午11：00或晚上7：00时温度为28 ℃，C错误；当14≤t≤20时，19≤θ≤22，D正确．故选ABD．]4．(2026·重庆巴蜀中学模拟)已知函数f (x)＝cossin(ω>0)，且y＝f (x)的最小正周期是4π．(1)求ω的值，并求此时y＝f (x)图象的对称轴；(2)g(x)＝[f (x)]2＋f (－x)f (π－x)，求函数g(x)的单调递减区间．[解] (1)因为f (x)＝cossinsin ωx，且y＝f (x)的最小正周期是4π，所以T＝＝4π，解得ω＝，所以f (x)＝sinx．令＋kπ，k∈Z，解得x＝π，k∈Z，即函数f (x)图象的对称轴为x＝π，k∈Z．(2)由(1)知f (x)＝sin，所以g(x)＝[f (x)]2＋f (－x)f (π－x)＝sin2sinsin＝cos x－sincoscos x－sin x＝sin．令2kπ－≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得2kπ－≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z．14一、单项选择题1．(2025·江苏南京二模)把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的个单位长度，得到函数y＝f (x)的图象，则f (x)＝( )A．cos B．cosC．cos D．cos题号13524687910111213课后作业(三十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)√14B [把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)后为y＝cos 2x的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后为y＝cos＝cos的图象．故选B．]题号1352468791011121314题号213456879101112132．(2025·河北石家庄三模)将函数f (x)＝sin＋3的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一个对称中心是( )A． B．C． D．√14A [由题知g(x)＝f ＝sin＋3＝sin＋3．令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，∴函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z．∴当k＝0时，为函数g(x)图象的一个对称中心．故选A．]题号21345687910111213143．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为( )A．3 B．4C．6 D．8题号21345687910111213√14C [因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，在直角坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]题号21345687910111213144．(2026·陕西榆林模拟)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝ 秒时，电流强度是( )A．－5安 B．5安C．－5安 D．5安题号21345687910111213√14D [由题图得，电流的最大值和最小值分别为10和－10，可得A＝10．由周期T＝，得ω＝100π，再将点代入I＝10sin，得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，φ＝＋2kπ，k∈Z．因为0<φ<，所以当k＝0时， φ＝，所以I＝10sin．将t＝代入，得I＝10sin＝5．故选D．]题号21345687910111213145．(2026·广东佛山模拟)将函数f (x)＝4cos个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )A．g(x)是奇函数B．g(x)的图象关于直线x＝对称C．g(x)在D．g(x)在上单调递增题号21345687910111213√14C [由题意知g(x)＝4cos，g(x)不是奇函数，故A错误．g＝4cos＝2≠±4，g(x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误．由x∈，得2x－∈，则4cos∈，故C正确．当x∈时，2x－∈，而y＝cos x在上不单调，所以g(x)在上不单调，故D错误．故选C．]题号21345687910111213146．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A． B．C． D．题号21345687910111213√14C [依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示， 则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤，即ω∈．故选C．]题号2134568791011121314二、多项选择题7．为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度题号21345687910111213√√√14ACD [A中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，A正确；B中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，B不正确；题号2134568791011121314C中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin＝6sin＝6sin的图象，C正确；D中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin＝6sin＝6sin的图象，D正确．]题号21345687910111213148．已知f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )A．A＝2B．f (x)的最小正周期为πC．f (x)在内有3个极值点D．f (x)在区间题号21345687910111213√√√14ABD [对于AB，根据函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确；对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin，令2x＋＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；题号2134568791011121314当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；对于D，因为x∈，所以2x＋∈，故当2x＋，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin＝2sin，故D正确．故选ABD．]题号2134568791011121314三、填空题9．将函数f (x)＝sin(2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值______________________．题号21345687910111213－(答案不唯一) [由题意知所得的图象对应的解析式为g(x)＝sin＝sin，由题意g(x)的图象关于y轴对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－(答案不唯一)．]－(答案不唯一)1410．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为__________cm．题号21345687910111213601460 [如图所示，EF＝10，FG＝20，令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，则∠CGH＝α，CG＝10cos α．∴矩形框架的周长为2AB＋2BC＝2(10sin α＋20cos α)＋2＝60sin α＋60cos α＝60sin≤60，当α＝时取等号，即矩形框架周长的最大值为60 cm．]题号2134568791011121314四、解答题11．已知函数f ＝sin内单调，其中ω为正整数，<，且f ＝－f ．(1)求y＝f 图象的一个对称中心；(2)若f ，求φ．题号2134568791011121314[解] (1)因为f 内单调，且f ＝－f ∈∈，所以f ＝f ＝0，所以y＝f ．题号2134568791011121314(2)由题设，f 的最小正周期T≥2×＝π，<，故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1或ω＝2，由点为f (x)＝sin图象的一个对称中心，所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，①因为f ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z．题号2134568791011121314若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，②①－②得ω＝－π，即ω＝－2＋6．不存在整数k1，k2，使得ω＝1或ω＝2．若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，③题号2134568791011121314①－③得ω＝－π，即ω＝－4＋6，不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2．此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝．综上所述，φ＝．题号213456879101112131412．(2025·湖北襄阳二模)已知函数f (x)＝sincos．(1)求f (x)的单调递减区间；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，当函数y＝g(x)－k在上有一个零点时，求k的取值范围．题号2134568791011121314[解] (1)f (x)＝sincos＝sin，令＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，所以f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．题号2134568791011121314(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin的图象，则y＝g(x)－k＝sin－k，因为0≤x≤，所以－≤≤π，所以要使函数y＝g(x)－k在上有一个零点，则y＝g(x)的图象与直线y＝k只有一个交点，题号2134568791011121314结合正弦型函数的图象，可得当－≤<0或，即0≤x<或x＝，即0≤sin<或sin，0≤k<或k＝时，y＝g(x)的图象与直线y＝k只有一个交点，所以实数k的取值范围为．题号213456879101112131413．(多选)(2026·广东茂名模拟)如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1 m，筒车的半径是3 m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2 rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间(单位：min)，则( )A．0C．sin 2t＝－ D．cos 2t＝－题号21345687910111213√√14AD [设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为t，由题图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1的角度小于π，又筒车的角速度为2 rad/min，∴所需的时间0由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系为d＝3sin＋1，令d＝0，即3sin＋1＝0，解得sin＝－，题号2134568791011121314又0∴cos＝－，∴cos 2t＝cos＝coscos＋sinsin＝－＝－，故D正确；题号2134568791011121314∵0∴sin 2t＝，故C错误；又cos 2t＝1－2sin2t，解得sin t＝，故B错误．故选AD．]题号2134568791011121314．已知偶函数f ＝sin上单调，则ω＝_____________．题号2134568791011121314 [因为偶函数f ＝sin，所以φ＝kπ＋，k∈Z，即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，又f ＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，所以cosω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝3k＋，k∈Z，因为当x∈时，函数单调，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．]题号2134568791011121314一、单项选择题1．在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，x轴的非负半轴为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝( )A．－ B．－C． D．题号1352468791011121314阶段评估(五) (第25课时~第30课时)√D [如图，由cos α＝，0<α<，得sin α＝，所以y＝sin(sin α＋cos α)＝．故选D．]题号1352468791011121314题号21345687910111213142．若α是第二象限角，则( )A．cos>0 B．tan>0C．sin>0 D．cos<0√B [若α是第二象限角，则cos＝cos α<0，故A错误； 为第一、三象限角，则tan>0，故B正确； sin＝－sin α<0，故C错误；cos＝－cos α>0，故D错误．故选B．]3．(2026·湖南长沙模拟)下列函数中，最小正周期为π的函数是( )A．f (x)＝sin x＋cos 2x B．f (x)＝|cos x|C．f (x)＝tan D．f (x)＝sin|x|题号2134568791011121314√B [对于A， f (x＋π)＝sin(x＋π)＋cos 2(x＋π)＝－sin x＋cos 2x≠f (x)，故A不符合题意；对于B，作出函数f (x)＝的图象，由图可知，函数f (x)＝的最小正周期为π，故选项B符合题意；对于C， f (x)＝tan＝2π，故选项C不符合题意；题号2134568791011121314对于D，函数f (x)＝sin其图象如图所示． 由图可知，函数f (x)＝sin|x|不是周期函数，故选项D不符合题意．故选B．]题号21345687910111213144．已知sin xcos y＋cos xsin y＝，cos 2x－cos 2y＝，则sin(x－y)＝( )A． B． C．－ D．－题号2134568791011121314√D [sin xcos y＋cos xsin y＝sin(x＋y)＝，cos 2x－cos 2y＝－2sin(x＋y)sin(x－y)＝－sin(x－y)＝，所以sin(x－y)＝－．故选D．]5．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝( )A．－ B．－C． D．题号2134568791011121314√D [由题意得，解得ω＝2，易知x＝是f (x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin＝sin，f ＝sin＝sin ，故选D．]题号21345687910111213146．(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan＝( )A． B．C．1 D．题号2134568791011121314√A [由θ∈，tan 2θ＝－4tan，得 －4＝2tan θ，则＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，因为θ∈，所以tan θ∈，所以tan θ＝－，＝．故选A．]题号2134568791011121314二、多项选择题7．(2025·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )A．ω＝2B．φ＝C．y＝f 是奇函数D．当x∈[3π，4π]时，f (x)的图象与x轴有2个交点题号2134568791011121314√√AD [由题图可知，T＝2×＝π，故ω＝＝2，f ＝sin＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，由于|φ|<，则φ＝，故f (x)＝sin，故A正确，B错误；y＝f ＝sin＝cos 2x为偶函数，故C错误；题号2134568791011121314令f (x)＝sin＝0，则2x＋＝kπ，k∈Z，故x＝－kπ，k∈Z，当x∈[3π，4π]时，此时x＝－或x＝－＋4π，故D正确．故选AD．]题号21345687910111213148．已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝题号2134568791011121314√√AC [由题意，易得α＋β∈，2α∈，所以sin 2α＝，故A正确；sin(α＋β)＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝，故B错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝，故C正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝，所以tan αtan β＝，故D错误．]题号2134568791011121314三、填空题9．sin 20°＝_____________．题号21345687910111213141 [原式＝＝＝＝1．]110．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)具有下列三个性质：①图象关于直线x＝对称；②在区间内单调递减；③最小正周期为π．则满足条件的一个函数f (x)＝____________________________．题号2134568791011121314sin(答案不唯一)sin(答案不唯一) [由③可得ω＝2，由①可得2×＋φ＝＋kπ φ＝－＋kπ(k∈Z)，再由②可知x∈时，2x－＋kπ∈(k∈Z)，则 (k，m∈Z)，故k为奇数时符合条件，不妨令k＝1，则φ＝，可取A＝1，此时f (x)＝sin．]题号2134568791011121314四、解答题11．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P．(1)求cos－sin的值；(2)若锐角β满足cos，求sin β的值．题号2134568791011121314[解] (1)由题设知，x＝3，y＝－4，r＝OP＝5，则cos α＝，又cos＝－cos α，sin＝cos α，∴cos－sin＝－2cos α＝－．题号2134568791011121314(2)由(1)知sin α＝－，cos α＝，且sin＝±＝±，又β为锐角，α为第四象限角，所以α＋β为第四象限角或第一象限角．当α＋β为第一象限角时，sin，则sin β＝sin＝sincos α－cos(α＋β)·sin α＝，当α＋β为第四象限角时，sin＝－，则sin β＝sin＝sincos α－cos(α＋β)sin α＝．题号213456879101112131412．已知f (x)＝．(1)若f (α)＝，求sin αcos α＋2sin2α的值；(2)若f (α－β)＝－2，f (α)＝－3且α∈，β∈，求2α－β的值．题号2134568791011121314[解] (1)f (x)＝＝＝－，由已知，f (α)＝－，得tan α＝－2，∴sin αcos α＋2sin2α＝＝．题号2134568791011121314(2)由f (α－β)＝－2，f (α)＝－3，可知tan(α－β)＝，tan α＝，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1．∵α∈，β∈，∴－π<α－β<0．而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－．∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－．题号213456879101112131413．已知f ＝sin ωx＋sin x＋cos x．(1)当ω＝0时，求f 的最小正周期以及单调递减区间；(2)当ω＝2时，求f 的值域．题号2134568791011121314[解] (1)当ω＝0时，f ＝sin x＋cos x＝sin，T＝＝2π，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ＋2kπ≤x≤＋2kπ，所以函数f 的最小正周期为2π，在(k∈Z)上单调递减．题号2134568791011121314(2)当ω＝2时，f ＝sin 2x＋sin x＋cos x＝2sin xcos x＋sin x＋cos x，设sin x＋cos x＝sin＝t，则sin 2x＝t2－1，令g＝t2＋t－1，t∈，又g，故当t＝时，g取得最大值1＋，当t＝－时，g取得最小值－，所以f ．题号213456879101112131414．(2026·河南郑州模拟)已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数f (x)的图象向右平移个单位长度，再关于x轴对称，得到函数g(x)的图象．(1)求函数f (x)和g(x)的解析式；(2)设h(x)＝－＋2acos2x，若h(x)≤a＋1对任意x∈恒成立，求实数a的最大值；(3)若关于x的方程f (x)－m＝0在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3，且x1题号2134568791011121314[解] (1)f (x)＝2sin(ωx＋φ)，由题有f (0)＝1，即2sin φ＝1，sin φ＝，又|φ|<，则φ＝．又因为f (x)图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以T＝π＝，即ω＝2，所以f (x)＝2sin，函数f (x)的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin的图象，所以g(x)＝－2sin＝－2sin＝2cos 2x．题号2134568791011121314(2)h(x)＝－(2cos 2x)2＋2acos2x＝－2cos22x＋a(1＋cos 2x)＝－2cos22x＋acos 2x＋a≤a＋1，即－2cos2 2x＋acos 2x≤1对任意的x∈恒成立．令u＝cos 2x，x∈，则－2u2＋au≤1对任意的u∈恒成立，即u＋≥对任意的u∈恒成立，有≤，则a≤3，所以a的最大值为3．题号2134568791011121314(3)f (x)－m＝2sin－m＝0，即f (x)＝2sin＝m在x∈上恰有三个实数根x1，x2，x3，且x1令t＝2x＋，即sin t＝在t∈上恰有三个实数根t1，t2，t3，且t1题号2134568791011121314在平面直角坐标系中画出y＝sin t的图象及直线y＝≤<1，再由对称性可得t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，t3∈，又因为x＝，所以x1＋2x2－x3＝＋2·＝，即x1＋2x2－x3＝－t3∈，所以sin．题号2134568791011121314谢 谢 ！第30课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)[考试要求] 1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为 ( )A．2，4π， B．2，C．2，，－ D．2，4π，－2．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的 ( )A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变3．(苏教版必修第一册P212练习T4改编)将函数f (x)＝3sin个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝______________．4．(北师大版必修第二册P52习题1－6B组T1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，则A＝ ，ω＝___________，φ＝___________．5．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0，ω>0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为______________________．1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．振幅 周期 频率 相位 初相A T＝__ f ＝ ____ __2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．ωx＋φ 0 π 2πx －y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 03．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为．2．分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度．3．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则ω＝；(3)求φ：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例1] (2026·福建漳州模拟)某同学用“五点法”画函数f (x)＝Asin在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx＋φ 0 π 2πxAsin(ωx＋φ) 0 2根据这些数据，要得到函数y＝Asin ωx的图象，需要将函数f (x)的图象 ( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度 名师点评：函数图象的平移变换解题策略(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数．(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝cos，cos α＝sin将不同名函数转换成同名函数．(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．[巩固迁移]1．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f (x)＝ ( )A．sin B．sinC．sin D．sin2．(多选)(人教A版必修第一册P237例1改编)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是 ( )A．把曲线C1向左平移，纵坐标不变，得到曲线C2B．把曲线C1向左平移，纵坐标不变，得到曲线C2C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2考点二 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式[典例2](1)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则 ( )A．f (x)＝3sin＋1B．f (x)＝2sin＋2C．f (x)＝2sin＋2D．f (x)＝2sin＋2(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝___________． 名师点评：借助五点法确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b中的φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[巩固迁移]3．[高考变式](多选)如图，直线y＝1与函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象交于A，B，C三点(点A在y轴上)，若|BC|＝，则下列说法正确的是 ( )A．φ＝B．ω＝2C．将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin的图象D．当x∈时，f (x)∈考点三 三角函数图象与性质的综合应用[典例3] (1)(多选)已知函数f ＝sin(ω>0)，则下列说法正确的是 ( )A．若ω＝1，则是f 的图象的对称中心B．若f ≤f 恒成立，则ω的最小值为2C．若f 上单调递增，则0<ω≤D．若f 上恰有2个零点，则≤ω≤(2)(2026·湖北武汉模拟)为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 m，圆心角为的扇形空地OPQ的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地的面积的最大值为______m2．2025课标新变化：具有用函数分析事件的意识． 名师点评：(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)圆周运动是典型的三角函数建模问题，建模时注意三角函数定义的应用．[巩固迁移]4．若关于x的方程2cos2x－sin 2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的取值范围为___________．5．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝___________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________平方米．第30课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)以题引理·激活思维No1．深研教材典题1．C 2．B 3.3sin 4.4 5．y＝5sin＋10，x∈[6，14]No2．储备知识要点1． ωx＋φ φ3．|φ| A A精研考点·提升素养考点一典例1 A [由表中的数据可得A＝2，解得ω＝3，φ＝－，所以f (x)＝2sin．将f (x)＝2sin＝2sin个单位长度后，得到y＝2sin 3x的图象．故选A．]巩固迁移1．B2．AD [对于A，曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，纵坐标不变，得到曲线y＝cos＝cos＝sin，故A正确；对于B，把曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos＝sin＝sin，不是曲线C2，故B错误；对于C，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos＝cos＝sin＝sin，不是曲线C2，故C错误；对于D，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos＝cos＝cos＝sin，故D正确．]考点二典例2 (1)D (2)－ [(1)根据题中图象知所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，所以ω＝＝2，又函数图象经过最高点，代入函数f (x)＝2sin(2x＋φ)＋2，得sin＝1，因为|φ|<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin＋2．(2)设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sin x＝，可知x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．因为f ＝sin＝0，所以＋φ＝2kπ，即φ＝－＋2kπ，k∈Z．所以f (x)＝sin＝sin，所以f (π)＝sin＝－．]巩固迁移3．AD [对于A，由f (x)的图象过A(0，1)，可得2sin φ＝1，即sin φ＝，由题图结合|φ|≤可得φ＝，故A正确；对于B，由f (x)＝1，可得2sin＝1，即ωx＋＋2kπ(k∈Z)或ωx＋＋2kπ(k∈Z)，由B，C两点相邻，可得ωxB＋＋2kπ，ωxC＋＋2(k＋1)π，故ω(xC－xB)＝，则ω＝，可得ω＝4，故B错误；对于C，由AB可得f (x)＝2sin，将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin的图象，故C错误；对于D，当x∈时，4x＋∈，故sin∈，则f (x)∈[－2，1]，故D正确．故选AD．]考点三典例3 (1)ABC (2)400(－1) [(1)选项A，若ω＝1，则f ＝sin＝sin π＝0，可知是f 的图象的对称中心，A正确；选项B，若f ≤f 恒成立，则ω×＋2kπ，解得ω＝2＋12k，又ω>0，所以ω的最小值为2，B正确；选项C，因为x∈，所以ωx＋∈，即0<ω≤，C正确；选项D，当x∈时，ωx＋∈，若f 上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D错误．故选ABC．(2)如图所示，连接OC，设∠COA＝θ，作DF⊥OP，CE⊥OP，垂足分别为F，E．根据平面几何知识可知，AB＝CD＝EF，DF＝OF，CE＝DF．所以CE＝20sin θ，EF＝OE－OF＝20cos θ－20sin θ．故四边形ABCD的面积S也为四边形DFEC的面积，即有S＝20sin θ×20＝400(sin 2θ＋cos 2θ－1)＝400sin－400，其中θ∈．所以当sin＝1，即θ＝时，Smax＝400 m2．]巩固迁移4．{m|m＝－2或－1所以cos t＝－上有且只有一个解，即y＝cos t的图象和直线y＝－只有1个交点．作出y＝cos t，t∈的图象，由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－15．60sin α 225 [在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60(米)，∴PQ＝APsin α＝60sin α(米)．在Rt△PAR中，可得PR＝60sin，由题可知∠QPR＝，∴S△PQR＝·PQ·PR·sin∠QPR＝×60sin α×60sin×sin＝900sin αsin＝450＝450，又α∈，∴2α＋∈，∴当2α＋，即α＝时，△PQR的面积取最大值225平方米，即三角形绿地的最大面积是225平方米．]1/7课后作业(三十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分一、单项选择题1．(2025·江苏南京二模)把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的个单位长度，得到函数y＝f (x)的图象，则f (x)＝ ( )A．cosC．cos2．(2025·河北石家庄三模)将函数f (x)＝sin个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一个对称中心是 ( )A．C．3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为 ( )A．3 B．4C．6 D．84．(2026·陕西榆林模拟)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ) 秒时，电流强度是 ( )A．－5安B．5安C．－5安5．(2026·广东佛山模拟)将函数f (x)＝4cos个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 ( )A．g(x)是奇函数B．g(x)的图象关于直线x＝对称C．g(x)在D．g(x)在上单调递增6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 ( )A．C．二、多项选择题7．为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象 ( )A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．已知f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 ( )A．A＝2B．f (x)的最小正周期为πC．f (x)在内有3个极值点D．f (x)在区间三、填空题9．将函数f (x)＝sin(2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值___________．10．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为___________cm．四、解答题11．(13分)已知函数f．(1)求y＝f 图象的一个对称中心；(2)若f ，求φ．12．(13分)(2025·湖北襄阳二模)已知函数f (x)＝．(1)求f (x)的单调递减区间；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移上有一个零点时，求k的取值范围．13．(多选)(2026·广东茂名模拟)如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1 m，筒车的半径是3 m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2 rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间(单位：min)，则 ( )A．0C．sin 2t＝－14．已知偶函数f上单调，则ω＝___________．课后作业(三十)1．B2．A [由题知g(x)＝f ＝sin＋3＝sin＋3．令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，∴函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z．∴当k＝0时，为函数g(x)图象的一个对称中心．故选A．]3．C4．D [由题图得，电流的最大值和最小值分别为10和－10，可得A＝10．由周期T＝，得ω＝100π，再将点代入I＝10sin，得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，φ＝＋2kπ，k∈Z．因为0<φ<，所以当k＝0时， φ＝，所以I＝10sin．将t＝代入，得I＝10sin＝5．故选D．]5．C [由题意知g(x)＝4cos，g(x)不是奇函数，故A错误．g＝4cos＝2≠±4，g(x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误．由x∈，得2x－∈，则4cos∈，故C正确．当x∈时，2x－∈，而y＝cos x在上不单调，所以g(x)在上不单调，故D错误．故选C．]6．C [依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示，则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤，即ω∈．故选C．]7．ACD8．ABD [对于AB，根据函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2， T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确；对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin，令2x＋＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；对于D，因为x∈，所以2x＋∈，故当2x＋，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin＝2sin，故D正确．故选ABD．]9．－(答案不唯一) [由题意知，所得的图象对应的解析式为g(x)＝sin＝sin，由题意g(x)的图象关于y轴对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－(答案不唯一)．]10．60 [如图所示，EF＝10，FG＝20，令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，则∠CGH＝α，CG＝10cos α．∴矩形框架的周长为2AB＋2BC＝2(10sin α＋20cos α)＋2(20sin α＋10cos α)＝60sin α＋60cos α＝60sin≤60，当α＝时取等号，即矩形框架周长的最大值为60 cm．]11．解：(1)因为f 内单调，且f ＝－f ∈∈，所以f ＝f ＝0，所以y＝f ．(2)由题设，f 的最小正周期T≥2×＝π，<，故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1或ω＝2，由点为f (x)＝sin图象的一个对称中心，所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，①因为f ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z．若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，②①－②得ω＝－π，即ω＝－2＋6．不存在整数k1，k2，使得ω＝1或ω＝2．若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，③①－③得ω＝－π，即ω＝－4＋6，不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2．此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝．综上所述，φ＝．12．解：(1)f (x)＝sincos＝sin，令＋2kπ≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，所以f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin的图象，则y＝g(x)－k＝sin－k，因为0≤x≤，所以－≤π，所以要使函数y＝g(x)－k在上有一个零点，则y＝g(x)的图象与直线y＝k只有一个交点，结合正弦型函数的图象，可得当－<0或，即0≤x<或x＝，即0≤sin<或sin，0≤k<或k＝时，y＝g(x)的图象与直线y＝k只有一个交点，所以实数k的取值范围为．13．AD [设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为t，由题图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1的角度小于π，又筒车的角速度为2 rad/min，∴所需的时间0由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系为d＝3sin＋1，令d＝0，即3sin＋1＝0，解得sin＝－，又0∴cos＝－，∴cos 2t＝cos＝coscos＋sinsin＝－＝－，故D正确；∵0∴sin 2t＝，故C错误；又cos 2t＝1－2sin2t，解得sin t＝，故B错误．故选AD．]14． [因为偶函数f ＝sin(ωx＋φ)，所以φ＝kπ＋，k∈Z，即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，又f ＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，所以cosω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝3k＋，k∈Z，因为当x∈时，函数单调，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．]4/4 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第四章 第30课时 函数y＝A sin (ωx＋φ).pptx 第四章 第30课时 函数y＝Asin(ωx＋φ).docx 课后作业30 函数y＝Asin(ωx＋φ).docx
资源列表
