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2026届高三命题趋势预测（四）
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．已知圆台的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（ ）
A． B．2 C． D．
5．当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知函数的极大值点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图像，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.现将双曲线（）绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象.设的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点是的一个顶点
C．的方程为
D．
二、多选题
9．已知随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点轨迹所形成区域的面积是
11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则周长的最小值为11
C．若三点共线，且，则
D．若直线过，且，则
三、填空题
12．的展开式中的系数为__________.
13．已知正项等比数列的前4项和为，则数列的公比__________.
14．当时，，则实数的最小值为__________．
四、解答题
15．某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．

(1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
(2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
附：．
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围.
17．在中，内角的对边分别为，且的面积为2.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且外接圆半径为2，求的取值范围.
18．在四棱锥中，平面平面，是线段的中点.
(1)证明：.
(2)若二面角的平面角的正弦值为.
①求线段的长；
②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过点的直线与椭圆相交于两点，点在轴上方，点在轴下方，设的斜率分别为，则.
①证明：直线过定点；
②设①中的定点为，若，且，记的面积为，的面积为，求的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】由题意，得，所以.
2．B
【详解】因为，所以，
则，在复平面内所对应的点为，位于第二象限.
3．D
【详解】因为向量，且，
所以，解得.
故，
所以.
4．C
【详解】如图，作出圆台的轴截面，
设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，
所以圆台的体积为，解得，
所以母线长是.
5．B
【详解】直线过定点，
圆的标准方程为，则圆心为，半径为.
定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短.
因为，所以直线的斜率为1，故，解得.
6．C
【详解】因为，该函数的定义域为，，
因为，即，
即，即，
所以，
又因为，所以（*），
①当时，，
当时，；当时，.
所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意；
②若，由可得，由可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为，
则函数的极大值点为，即得，
则由（*）得，
，
因为，所以；
③当时，由可得，由可得或，
所以函数的减区间为、，增区间为，
所以函数的极大值点为，同②可得.
综上所述，.
7．D
【详解】因为，所以①；
又因为，所以②.
①+②得，所以.
又因为，所以，即.
把代入，得，
则，即.
把，得，
则，即.
所以.
8．D
【详解】对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴，
因为旋转不改变双曲线实轴与渐近线的夹角，而双曲线的实轴与渐近线的夹角为，
所以对于双曲线有，由渐近线方程得.
所以双曲线的离心率，故A错误；
对于B、D，双曲线的两条渐近线为直线和，
所以双曲线的实轴方程为，联立方程，得，
故双曲线的两个顶点为，
双曲线的实轴长为，即，故D正确，B错误；
对于C，由，得，故双曲线的方程为，故C错误.
9．ABC
【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确；
因为，且，
所以，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
10．AC
【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则.
对于A，因为，
所以，则，故A正确；
对于B，因为，设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以.
又，
所以点到平面的距离，故B错误；
对于C，设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于D，如图，取的中点分别为点，点，连接，
则.
因为平面平面，

所以平面平面.
又平面，
所以平面平面，故点的轨迹为.
因为，
所以，故D错误.
11．BCD
【详解】抛物线的焦点为，
由题意得，解得.
对于A：如图，设点在第一象限，由，得.
在中，因为，则，
所以，故A错误；
对于B：抛物线的焦点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为.
的周长为，
当三点共线时，的周长取最小值，
最小值为，故B正确；
对于C：设直线的方程为，显然直线与抛物线必相交，
联立方程，消去得，
则.
则.
可得，解得.
所以
，故C正确；
对于D：设过点的直线的方程为，
联立方程，消去得，
则，解得，可得.
将，代入得，即，解得或.
当时，，此时与重合，舍去；
当时，，则，
可得，
因为，则.
又因为，则，
所以.
可得.
所以，故D正确.
12．3
【详解】易知，
展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为3.
13．/
【详解】由题意得：，
又，
且，
两式相除得，解得或（舍去）,
因为是正项数列，所以.
14．
【详解】，因为，故，也即，
对，，故其在单调递增，
且当时，；当趋近于时，趋近于；
令，则；原不等式等价于，又，
故，令，则，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为.
15．(1)，人
(2)表格如下：
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得，
则属于“优等生”的有 人.
（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．
属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.
不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．
所以得到列联表如下：
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．
根据表中数据，计算得．
根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意，，则，
.
∴曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）解：由题意，.
在上存在两个零点，
∴存在，使，
即.
令函数，则直线与函数的图象有两个交点.
，
由，得.
当时，；当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，则.
∵当时，；当时，，
∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
∴实数的取值范围是．
17．(1)
(2).
【详解】（1）解：由余弦定理，得①，
由面积公式，得②.
②÷①，得，即.
由，得.
（2）由题意，得外接圆的直径为4，
则由正弦定理，得，
所以.
因为是锐角三角形，
所以解得，
所以，则，
所以，
由对勾函数的性质，得在上单调递减，
所以的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)①；②存在实数
【详解】（1）证明：在中，是线段的中点，.
∵平面平面，平面平面平面平面.
又平面.
（2）解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面.
平面，即两两互相垂直.
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，
则.
设平面的法向量为，
则即令，则.
设平面的法向量为，
则即令，则.
.
设二面角的平面角为，
则.
，解得，即.
②假设实数存在，设点，则.
由，得则
由，得，则，
由（1）知平面的一个法向量.
由平面，得，解得.
∴存在实数，使得当时，平面.
19．(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题意得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）①证明：由题意，直线的斜率存在且不为0.
设直线的方程为.
由消去，整理得，
则，
.
又，则，
则
.
又因为，所以，解得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②由①可知，直线的方程为.
由消去，整理得，则.
由题意，得.因为，即，所以.
因为，所以，所以.
则
，
.
所以.（*）
因为，
因为，所以，所以.
设，则，由对勾函数的性质，解得.
即，代入式，得.
所以的取值范围为.

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