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《第19章~第23章》单元综合复习题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　　）
A．若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
B．若OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，则四边形ABCD是矩形
C．若OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，则四边形ABCD是菱形
D．若AB＝BC，AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
4．关于函数y＝kx+k﹣2（k为常数），下列说法不正确的是（　　）
A．当k≠0时，该函数是一次函数
B．若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，则k＞0
C．若该函数图象不经过第四象限，则k＞2
D．该函数图象恒过点（﹣1，﹣2）
5．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边AB，AC与网格对角线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是AC上一点，连接BE，∠ABE＝∠AEB，若AE：EC＝5：1，OE＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．60 B．40 C．36 D．48
7．一次函数y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m（m，n常数，且mn≠0）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，若将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（　　）
A．1 B．3 C． D．
9．甲，乙两名运动员在笔直的公路上进行自行车训练（同向行驶），行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，行驶1.5小时，乙在甲前的距离是（　　）
A．6.5 B．7.5 C．10 D．11.5
10．对于平面直角坐标系中的任意线段AB，给出如下定义：线段AB上各点到x轴距离的最大值，叫做线段AB的“x轴距”，记作dxAB．如图，点A（﹣1，﹣2），点B（3，4），则线段AB的“x轴距”为4，记作dxAB＝4．已知点E（﹣1，2m），点F（2，m+1），若dxEF＝2，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣3或1 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．化简：　 　 ．
12．若一个多边形的内角和与外角和之差为360°，那么此多边形的边数为　 　 ．
13．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A（2，4），则一次函数的解析式为 　 　 ．
14．如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，且，点Q是边DC的中点，那么的值为 　 　 ．
15．如图，将直线y＝x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，位于x轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数y＝|x﹣3|的图象．对于函数y＝|x+m﹣3|（m为常数）的图象，下列命题：
①当m＝1时，直线y＝x+m﹣3（m为常数）与x轴交点为（2，0）；
②若函数y＝|x+m﹣3|图象经过点（1，1），则m＝1或3；
③函数y＝|x+m﹣3|图象与x轴交点为（m﹣3，0）；
④若当x≥1时，y随x的增大而增大，则m≥2．
其中是真命题的有　 　 ．（填序号）
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：
（1）； （2）．
18．（6分）阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值．
小迪同学是这样解答的：
＝10﹣x﹣4+x
＝6
∵，∴
问题：已知．求x的值．
19．（6分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件　 　 时，四边形EGFH是菱形；
②当AB与CD满足条件　 　 时，四边形EGFH是矩形．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
21．（8分）某商店准备购进甲、乙两种商品共100件，商品甲的进价是40元/件，售价是50元/件；商品乙的进价是48元/件，售价是60元/件．设商品甲购进x件，销售完购进商品获得的总利润是w元．
（1）求w与x的函数关系式．
（2）某同学说，有一种进货方案，可获得利润980元．这种方案存在吗？为什么？
（3）若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的2倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
22．（8分）在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C，D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F．
（1）如图1，求证：AF＝AE；
（2）如图2，连接EF，若CE＝2DE，，求AB的长；
（3）如图3，连接EF，BD交于点G，判断点G是否为线段EF的中点，并证明你的结论．
23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）若已知△ABC的面积为40．
①求点C的坐标及直线BC的解析式；
②点P是平面内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，已知D是AB的中点，若E是直线BC上一点，且∠DEB＝45°，求点E的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：由条件可知3﹣x≥0，且2+x≠0，
解得：x≤3且x≠﹣2，
故选：B．
2．解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．解：对于选项A，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴不能得出OA＝OC，OB＝OD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定为矩形，
故选项B不正确，不符合题意；
对于选项C，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选项C正确，符合题意；
对于选项D，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
再根据AC＝BD可得到的四边形ABCD如图所示，
依据已知条件不能判定它是正方形，
故选项D不正确，不符合题意．
故选：C．
4．解：A．由一次函数的定义得，结论正确，不符合题意；
B．y1＝﹣2，y2＝4k﹣2，∵y1＜y2，
∴﹣2＜4k﹣2，
解得：k＞0，结论正确，不符合题意；
C．当k﹣2＝0时，
∴k＝2，
∴y＝2x，
此时不经过第四象限；
当k﹣2≠0时，
∵函数图象不经过第四象限，
∴，
解得k＞2；
∴k≥2，结论错误，符合题意；
D．y＝k（x+1）﹣2，当x+1＝0时，x＝﹣1，y＝﹣2，
∴函数图象恒过点（﹣1，﹣2），结论正确，不符合题意；
故选：C．
5．解：由题意得，AD＝BD，AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵BC，
∴DE，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，，
∵AE：EC＝5：1，
∴设EC＝x，则AE＝5x，AC＝6x，
∴OA＝OC＝3x，
∵E在AC上，且AE＞OA，
∴OE＝AE﹣OA＝5x﹣3x＝2x，
∵OE＝6，
∴2x＝6，解得x＝3，
∴AE＝5x＝15，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝15，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×15＝60．
故选：A．
7．解：A：y1的图象从左到右上升，
∴m＞0，y1与y轴交于正半轴，
∴﹣n＞0，即n＜0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＜0，m＞0，图象应下降，且与y轴交于负半轴，
∴与图象不符，故A错误，不符合题意；
B：y1的图象从左到右上升，
∴m＞0，y1与y轴交于正半轴，
∴n＜0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＜0，m＞0，图象应下降，且与y轴交于负半轴，
∴与图象相符合，故B正确，符合题意；
C：y1的图象从左到右上升，
∴m＞0，y1与y轴交于负半轴，
∴n＞0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＞0，m＞0，图象应上升，且与y轴交于负半轴，
∴与图象不符，故C错误，不符合题意；
D：y1的图象从左到右上升，
∴m＞0，y1与y轴交于负半轴，
∴﹣n＜0，即n＞0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＞0，m＞0，图象应上升，且与y轴交于负半轴，
∴与图象不符，故D错误，不符合题意；
故选：B．
8．解：连接AE．
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，AO＝CO，∠EOC＝90°．
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2．
设CE＝x，则AE＝x，BE＝2﹣x，
在Rt△ABC中，AC，且O为AC中点，
∴OC，
∵AB2+BE2＝AE2，
∴12+（2﹣x）2＝x2，
∴x，
∴CE，
∵∠EOC＝90°，
∴OE2＝CE2﹣OC2＝（）2﹣（）2，
∴OE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴OF＝OE，
∴EF＝OE+OF．
故选：D．
9．解：由图可知甲3小时行驶120千米，
∴甲的速度为40千米/时，故①正确；
由图可知，乙前1小时速度为50千米/小时，1小时后速度为（120﹣50）÷（3﹣1）＝35（千米/小时），
行驶1.5小时时，甲距出发地40×1.5＝60千米，
乙距出发地50+0.5×35＝67.5千米，
∴乙在甲前67.5﹣60＝7.5千米处，
故选：B．
10．解：由题知，
因为dxEF＝2，且点E（﹣1，2m），点F（2，m+1），
则|2m|＝2时，m＝±1，
m＝1时，点E（﹣1，2），点F（2，2），符合题意；
m＝﹣1时，点E（﹣1，﹣2），点F（2，0），符合题意；
|m+1|＝2时，m＝1或﹣3，
m＝1时，点E（﹣1，2），点F（2，2），符合题意；
m＝﹣3时，点E（﹣1，﹣6），点F（2，﹣2），不符合题意，
综上所述，m的值为﹣1或1．
故选：D．
二．填空题
11．解：原式
，
故答案为：．
12．解：设多边形的边数是n，根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°可知：
（n﹣2） 180°﹣360°＝360°，
解得n＝6．
故答案为：6．
13．解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
又∵函数y＝3x+b的图象经过点A（2，4），
∴4＝6+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝3x﹣2，
故答案为：y＝3x﹣2，
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
∴△PCQ和△ADQ都是直角三角形，
∵点P是正方形ABCD边BC上一点，且BP，PC，
∴BC＝BP+PC，
∴AD＝CD＝BC，
∵点Q是边DC的中点，
∴CQ＝DQCD，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：QP，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ，
∴2，
∴的值为2．
故答案为：2．
15．解：①将m＝1代入直线方程，得y＝x﹣2，
令y＝0，即x﹣2＝0，解得x＝2，
所以当m＝1时，直线y＝x+m﹣3（m为常数）与x轴交点为（2，0），
故①是真命题；
②将（1，1）代入y＝|x+m﹣3|，得|m﹣2|＝1，
解得m＝1或3；
故②是真命题；
③令y＝|x+m﹣3|＝0，解得x＝3﹣m，
所以函数y＝|x+m﹣3|图象与x轴交点为（3﹣m，0），
故③是假命题；
④函数y＝|x+m﹣3|＝0的顶点坐标为（3﹣m，0），
当x≥3﹣m时，y随x的增大而增大，
当x≥1时，y随x的增大而增大，则3﹣m≤1，解得m≥2，
故④是真命题．
所以其中是真命题的有①②④．
故答案为：①②④．
16．解：在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AD＝4，如图，延长BC，截取CG＝CD，连接GE，AG，过点A作AH⊥BC于点H，
∴AB＝DC＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
在△CDF和△GCE中，
，
∴△CDF≌△GCE（SAS），
∴CF＝GE，
∴AE+CF＝AE+EG，
∴当AE+EG最小时，AE+CF最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，AE+EG最小，即AE+CF最小，且最小值为AG的长，
∵AH⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴，
在直角三角形ABH中，由勾股定理得：，
∵BG＝BC+CG＝4+2＝6，
∴GH＝6﹣1＝5，
在直角三角形AGH中，由勾股定理得：．
即AE+CF的最小值为．
故答案为：．
三．解答题
17．解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．解：∵①，
又∵
，
∴②，
由①+②可得，，
∴x2+21＝25，
解得x1＝2，x2＝﹣2．
19．（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EGAB，EG∥AB，
同理，FHAB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FGCD，FG∥CD，
当AB＝CD时，EG＝FG，
∴四边形EGFH是菱形；
②∵HF∥AB，
∴∠HFC＝∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB＝∠DCB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠HFC+∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故答案为：①AB＝CD；②AB⊥CD．
20．解：（1）当x＝1时，y＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：，
解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m），
∵，即，
解得：m＝±4，
∴点D的坐标为（0，±4）．
21．解：（1）w＝（50﹣40）x+（60﹣48）（100﹣x）＝﹣2x+1200，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x+1200．
（2）这种方案不存在．理由如下：
当w＝980时，得﹣2x+1200＝980，
解得x＝110，
∵110＞100，
∴这种方案不存在．
（3）根据题意，得x≥2（100﹣x），
解得x，
∵﹣2＜0，
∴w随x的减小而增大，
∵x且x为整数，
∴当x＝67时，w值最大，w最大＝﹣2×67+1200＝1066，
100﹣67＝33（件）．
答：购进商品甲67件、商品乙33件能获得最大利润，最大利润是1066元．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠EAF﹣∠BAE＝∠BAD﹣∠BAE，
即∠BAF＝∠DAE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AF＝AE；
（2）解：∵△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，
∵CE＝2DE，
∴BC＝CD＝CE+DE＝3DE，
∴CF＝BC+BF＝3DE+DE＝4DE，
在直角三角形CEF中，∠C＝90°，
由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2．
即（2DE）2+（4DE）2＝EF2＝200，
解得：（负值已舍去），
∴；
（3）解：点G是EF的中点．
证明：四边形ABCD是正方形，如图3，过点E作CD的垂线交BD于点H，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°，
∴∠DHE＝90°﹣∠BDC＝45°，∠FBG＝∠EHG＝135°，
∴∠DHE＝∠BDC，
∴DE＝HE，
∵△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE＝HE，
在△BFG和△HEG中，
，
∴△BFG≌△HEG（AAS），
∴FG＝EG．
∴点G是EF的中点．
23．解：（1）由条件可知A（﹣6，0），B（0，8）；
（2）①设点C（m，0），则AC＝m﹣（﹣6）＝6+m，
∴，
解得m＝4，
∴C（4，0）；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由条件可得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x+8；
②∵A（﹣6，0），C（4，0），
∴AC＝4﹣（﹣6）＝10，
当AC为边时，
如图，当四边形ACBP是平行四边形时，
∴AC∥BP且AC＝BP＝10，
由条件可知P（﹣10，8）；
如图，当四边形ACPB是平行四边形时，
同理可得P（10，8）；
当AC为对角线时，
如图，此时四边形APCB是平行四边形，
连接PB交AC于N，作PM⊥AC交AC于M，
由条件可知，PN＝BN，
∵C（4，0），
∴N（﹣1，0），
即ON＝1，
在△PNM和△BNO中，
，
∴△PNM≌△BNO（AAS），
∴NM＝NO＝1，PM＝BO＝8，
∴MO＝2，即M（﹣2，0），
∴P（﹣2，﹣8）；
综上所述，点P的坐标为（﹣10，8）或（10，8）或（﹣2，﹣8）；
（3）如图，过点D作DE′⊥DE交直线BC于点E′，过点D作DF∥y轴交x轴于点F，分别过点E、E′作E′G⊥DF交DF于点G，EH⊥DF交DF于点H，
由条件可知AO＝6，BO＝8，
∵点D是直线AB的中点，DF∥y轴，
∴，
∴D（﹣3，4），F（﹣3，0），
∵DE′⊥DE，
∴∠EDE′＝90°，
∴∠GDE′＝∠DEH，
∴∠DE′E＝∠DEE＝45°，
∴DE＝DE′，E、E′均为所求，
在△GDE′和△HED中，
，
∴△GDE′≌△HED（AAS），
设E（n，﹣2n+8），
∴HE＝GD＝n﹣（﹣3）＝n+3，DH＝GE′＝4﹣（﹣2n+8）＝2n﹣4，
∴E′横坐标为：﹣[3﹣（2n﹣4）]＝2n﹣7，E′纵坐标为：n+3+4＝n+7，
∴E′（2n﹣7，n+7），
把E′（2n﹣7，n+7）代入直线BC中得：n+7＝﹣2（2n﹣7）+8，
∴n＝3，
∴点E的坐标为（3，2）或（﹣1，10）．

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