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第23章《一次函数》章节综合复习题
一、单选题
1．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把 AOB绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将 ABC沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被 ABC的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．点A的坐标为
B． ABC的面积为16
C．边所在直线的表达式为
D．D点坐标为
5．已知，，m为正整数．下列说法：其中正确的个数是（ ）
①始终大于；
②函数，点在该函数的图象上，若时，则；
③若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为1010或．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
7．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ）
A．，
B．关于x的方程的解为
C．直线上有两点，，若时，则
D．关于x的不等式的解集为
8．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为______．
10．已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________．
11．如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____．
12．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，所在直线与轴交于点，若，点在第一象限，点的坐标为_______．则点的坐标为________．
13．如图，点M的坐标为，点P从出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______．
14．直线的解析式为，点在轴上，点在轴上，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交直线于点，则直线的解析式为________．
三、解答题
15．如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)求点的坐标和直线的解析式；
(2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积．
16．A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，A型号进价为30元/个，B型号进价为35元/个，若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．
(1)该超市A、B型号吉祥物售价分别为多少？
(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称．
(1)求直线的表达式及C点坐标；
(2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形 若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点．
(1)求的值；
(2)如果的面积是，求、的值；
(3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标．
19．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】
(1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________．
(2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________．
【拓展延伸】
(3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________．
②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度；
(1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)；
(2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由；
(3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．
(1)请求出直线的解析式；
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．D
解：，
与异号，
随增大而减小，
一次函数中，
把代入函数解析式得：，
，
，
，
的值可能为．
2．C
解：∵直线与轴，轴分别交于、两点
∴令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
在中，，
即，
解得，
∵把 AOB绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），
∴，，
过点作，如图所示：
则在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
3．C
解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积，
点、的坐标分别为，．
，
，，
，
，
点的纵坐标为，
点在直线上，
，解得，
即，
，
，
即线段扫过的面积为．
4．D
解：在直线中，令，则，
解得，
∴直线与轴交于点，
由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与 ABC相交，直线向左平移了两个单位长度，
故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意；
当时，该直线被 ABC的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒，
∴点的坐标为，即，
∴，
∴，， ABC的面积为，故B选项错误；
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，故C选项错误；
当时，该直线被 ABC的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确．
5．C
解：∵，，
∴，
又∵ m为正整数，
∵，
∴，
∴，
①正确；
∵，
当时，，
②正确；
∵，
∴，为正整数，
∴整数n有且只有4个，
∴不等式整理为，
∵满足条件的整数n有且只有4个，即整数n的取值为，
∴，
解得，
∵ m是正整数，
因此m只有一个值为1010，
③错误；
综上，正确的说法共2个，
故选：C．
6．D
解：由图象可得：一次函数与轴交于正半轴，则，故①说法错误；
一次函数的图象经过第一、二、四象限，则；一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，故，②说法正确；
当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，即，故③说法错误；
当时，，故④说法正确；
一次函数的图象与轴交于负半轴，即，故，⑤说法正确；
综上所述，说法正确的有②④⑤．
7．D
解：A、∵直线经过一、二、四象限，
∴，，故正确，不符合题意；
B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3，
∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；
C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大，
∵直线上有两点，，，
∴．故正确，不符合题意；
D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意．
8．B
解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，
由题意得，，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
；
同理可证明，
，
垂直平分，
；
AOB是等腰直角三角形，
；
，
，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得，
点的坐标为，
故选：B．
二、填空题
9．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式有解，则解为：，
∵不等式组有两个整数解，
则这两个整数解为3，2，
∴，
解得；
∵一次函数不过第四象限，
∴则有，
解得；
综上：
∴a的整数值有：，，，
则其和为：．
10．或
解：①当时，一次函数（，是常数），随增大而增大，函数必过，，则，
解得．
∴该一次函数的表达式是．
②当时，一次函数（，是常数），随增大而减小，函数必过，，则，
解得．
∴该一次函数的表达式是．
综上所述，该一次函数的表达式是或．
11．
解：因为直线与相交于点，
且点的横坐标为，
故关于的不等式的解集为；
12．解：过点作，如图所示：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点的坐标为，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，则有，解得：，
∴．
13．或
解：由题意设直线的解析式为，
点从出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动，
点的坐标为，
直线过点，
，
∴直线的解析式为，
直线平行于直线，
直线与坐标轴的夹角为，
①当点关于直线的对称点落在轴上时，设直线与轴交于点，
点与点关于直线对称，
直线垂直平分线段，，
直线平分，
直线与轴夹角为，即，
，
轴，
点的坐标为，
点的坐标为，，
，
点在点左侧，
点的坐标为，
直线垂直平分，
线段的中点在直线上，
线段的中点坐标为，即，
将代入，得，解得；
②当点关于直线的对称点落在轴上时，
点与点关于直线对称，且点在直线上，
，直线平分，
直线与轴夹角为，即，
，
轴，
点的坐标为，
点的坐标为，
，解得，
综上所述，的值为或．
14．
解：对于直线，
当时，，当时，，
，，
将沿翻折，点的对应点为点，
，，，
，
，
，
即，
，
且轴，
设点的坐标为，且，
，，
，
在中，
，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入中得：
，
解得，
直线的解析式为．
三、解答题
15．（1）解：把点代入中，得
，
∴点P的坐标为．
把点分别代入中，得
，
解得，
∴直线l1的解析式为；
（2）解：对于直线，当时，，
解得，
∴，
由（1）得点P的坐标为，
∵与有相同的高，即．要使与面积相等，且点M在x轴正半轴上，
如图，
∴在x轴上取点M，当时，与面积相等．
∵在直线中，当时， ，即点B的坐标是 ，
∴， 即，
∴，
则点M运动到时，与面积相等．
∴．
16．（1）解：设A型号吉祥物售价为元/个，B型号吉祥物售价为元/个；
由题知，，
解得：；
答：A型号吉祥物售价为40元/个，B型号吉祥物售价为50元/个．
（2）解：∵购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个，
且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，
∴，
解得，
∴且为正整数，
该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为：
，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∵x取正整数，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元）．
17．（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
∵直线与直线关于y轴对称，
∴点与点A关于y轴对称，
∴，
∵直线过点与点B，设直线的解析式为：，
∴ ，解得，
∴直线的解析式为： ；
（2）解：存在
∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D，
∴平移后解析式为：，
∵平移后的解析式与直线交于点D，
∴，解得，
∴点，
设直线解析式为：，
∴，解得，
∴直线解析式为：，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，
∴ ，
设，则 ，
∴ ，解得：，
∴或.
18．（1）解：将代入，得，
解得：．
（2）解：过作x轴垂线，垂足坐标为，
则，
∵，，
∴，
∴或．
∵直线过，
∴，
解得：，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
将代入，得方程组：，
解得：．
（3）解：联立直线方程，
解得：，
∴ ，
∴ ，
∵点在直线上，
∴设，
则，
∴，
∴，
解得；
或，
∴，
解得：．
∴点的坐标为或．
19．（1）解：∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是．
（2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当时，，
∴不等式的解是．
（3）解：①∵，
∴的解集是，
∵，
∴的解集是，
∴的解集是；
②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
设点P的坐标为：，
∵，，
∴，，，
当时，则，
解得或(舍去)，
∴P点坐标为；
当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
20．（1）解：点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点，
，
点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点，
；
（2）解：能平行，
理由如下：
设秒后轴，
由题意得，
解得，
即时，轴；
（3）解：存在．
设运动秒时成为以点为直角顶点的等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴的平行线，过作于点，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点坐标为，
由题可知，
则，，
由可得，
解得，
当时，，
∴，
∴当点坐标为时，成为以点为直角顶点的等腰直角三角形．
21．（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为．
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理可得直线的解析式为，
设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为边时，则，∴，
∴，∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．

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