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西藏日喀则市2021届高三学业水平考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，，，且，则公比（ ）
A． B． C． D．2
5．已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．4 C． D．
7．执行如图的程序框图，则输出的值为
A．33 B．215 C．343 D．1025
8．等差数列中，已知，，求（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
9．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
A． B． C． D．
10．过原点的直线被圆所截得的弦长为1，则直线的倾斜角为
A． B．或 C． D．或
11．函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列叙述错误的是（ ）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
二、填空题
13．某学校共有学生2000名，采用分层抽样的方法抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生数比男生数少6人，则该校的女生数为__________.
14．若x，y满足约束条件，则的最大值是________．
15．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为_________．
16．一个圆锥的底面面积是S，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是__________．
三、解答题
17．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
18．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;
（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
19．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
21．已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
22．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，M是上的动点，点N在射线上且满足，设点N的轨迹为.
（1）写出曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（2）已知直线l的参数方程为(t为参数，)，曲线截直线l所得线段的中点坐标为，求的值.
23．已知，函数.
（1）若，，求不等式的解集；
（2）求证：.
参考答案
1．A
【详解】因为集合，集合，
所以，
故选：A
2．D
【详解】,
故选：D
3．B
解：由已知可得该几何体是一个圆柱，
底面直径为1，周长为，圆柱的高为1，故展开图是以圆柱底面周长和高为边长的矩形，故这个几何体侧面展开图的面积是.
故选：B.
4．A
【详解】由等比数列性质得，，
又，
所以，
故选：A
5．B
【详解】因为向量与的夹角是，且，，
所以，
，
解得 .
故选：B
6．C
【详解】因为，
利用诱导公式可得，即，
所以，
故选：C
7．C
【详解】由题意得， ,故选C.
8．B
【详解】∵等差数列中，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B.
9．B
【详解】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，
故其中位数，众数，
平均数，
故.
故选：B.
10．D
【详解】由圆方程知，圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆相切，不合题意，
可设直线，即，则圆心到直线距离，
，解得：，
直线的倾斜角为或.
故选：.
11．B
解：根据题意，当时，，为指数函数，单调递增，且在时函数有最小值；
当时，为指数函数，单调递减，且函数值.
故选：B.
12．C
【详解】选项，点在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；
选项，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；
选项，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；
选项，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
故选：C
13．
【详解】设样本中女生人数为，则男生人数为，
又样本容量为200，所以，解得，
因为抽样比为，
所以该校的女生数为.
故答案为：.
14．10
【详解】根据约束条件画出可行域如下：
作目标函数的一系列平行线，可知直线过A点时z最大.
由得，故的最大值为.
故答案为：10.
15．60
【详解】设数列的公差为，则，解得，
所以．
故答案为：60．
16．
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，底面周长，
因为侧面展开图是半圆，所以，，
所以侧面积为．
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【详解】（1）,由正弦定理得
∴
，
在中，,可得，
又∴
（2）∵，其中，，
∴，
所以.
18．（1）25小时；（2）0.3.
【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，
∴由频率最大区间为，则众数为；
（2）由图知：不少于30小时的区间有、，
∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
19．（1）证明见详解；（2）
【详解】（1）在三棱柱中，底面，所以，
又因为，所以⊥平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，，
所以，
所以三棱锥的体积为：==.
20．（1）（2）是定值，.
【详解】（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，
则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=.
所以椭圆的标准方程：.
（2）是定值，证明如下：
如图，设直线MN的方程为.
联立消去y整理得.
设，则，
.
将，代入上式得，
即.
21．(1)；
(2).
【详解】（1）由求导得：，设切点，而点在第三象限，即，
依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上，
所以切点的坐标为.
（2）直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为，
又l过切点，于是得直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为：.
22．（1）， ；（2）.
【详解】（1）设，因为，可得，
代入满足的方程，可得，
即，两边同乘以并展开整理得，
又由，
所以的直角坐标方程为.
（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，整理得，
可得，
又由直线的参数方程经过点，可得，
即，即，
因为，所以.
23．（1）或；（2）证明见解析.
【解析】（1）代入、的值，解此不等式即可得解；
（2）利用分析法可得知：要证不等式成立，即证，利用绝对值三角不等式及两次基本不等式证明即可.
【详解】（1）依题意，，
则或，
解得或，故不等式的解集为或.
（2）依题意，，
因为，
，故，
故，当且仅当，时等号成立.

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