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第2章　三角恒等变换
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.sin 140°cos 10°+cos 40°sin 350°=(　　)
A. B.- C. D.-
2.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是(　　)
A.6π B.2π C. D.
3.已知=5,则cos2α+sin 2α=(　　)
A.- B.3 C.-3 D.
4.sin-cos的值等于(　　)
A.- B. C.- D.
5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
6.已知sin 2α=,则cos2(α-)=(　　)
A.- B. C.- D.
7.已知sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
8.设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　)
A. B.-
C. D.-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列四个等式中正确的是(　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=
B.
C.cos2-sin2
D.=4
10.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则(　　)
A.sin θcos θ=- B.sin θ-cos θ=
C.sin θ-cos θ= D.tan θ=-
11.已知α,β∈(0,π),sin,cos(β-)=,则sin(α-β)的可能取值为(　　)
A.- B.- C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知cos α=,α∈(0,),则cos(+α)=　　　　　.
13.函数y=cos x+cos的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　.
14.已知tan(α+β)=,tan=-2,则tan=　　　　　,tan(α+2β)=　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知0<α<<β<π,tan=-2,sin β=.
(1)求的值;
(2)求sin(α+2β)的值.
16.(15分)(1)求值:sin 50°(1+tan 10°);
(2)已知tan θ=-,求1+sin θcos θ-cos 2θ 的值.
17.(15分)在△ABC中,sin Acos A=sin Bcos B,且A≠B.
(1)求证:A+B=;
(2)求sin A+sin B的取值范围;
(3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围.
18.(17分)如图,三个全等的矩形相接,且AB=a,AD=b.
(1)若b=2a,求tan(α+β)的值;
(2)已知α+β=γ,求的值.
19.(17分)已知向量a=(cos α,sin β+2sin α),b=(sin α,cos β-2cos α),且a∥b.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若α,β∈,且tan α=,求2α+β的值.
参考答案
1.A　依题意,原式=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°=sin(40°-10°)=sin 30°=,故选A.
2.C　由y=sin 3x+cos 3x,
得y=sin 3x+cos 3x)=sin(3x+),
可知该函数的最小正周期T=,故选C.
3.D　因为=5,所以=5,
解得tan α=3,cos2α+sin 2α=,故选D.
4.A　sin-cossin()=-sin=-.故选A.
5.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=,
∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.故选A.
6.D　cos2,由于sin 2α=,
所以cos2.故选D.
7.D　因为sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,又cos 2β=2cos2β-1=-<0,
所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系,
可得cos(α+2β)=-,sin β=,
所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]
=sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β
=--×,故选D.
8.A　因为sin 20°=m,cos 20°=n,
所以.故选A.
9.AD　对A:tan 60°=tan(25°+35°)=,
故tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故正确;
对B:,故错误;
对C:cos2-sin2=cos,故错误;
对D:=4,故正确.故选AD.
10.ACD　因为sin θ+cos θ=,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
即sin θcos θ=-,所以A正确;
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,
即sin θ-cos θ>0,
所以sin θ-cos θ=,所以B错误,C正确;
联立
解得sin θ=,cos θ=-.
所以tan θ=-.所以D正确.
11.CD　∵cos,
∴cos=cos=sin,
∵α,β∈(0,π),
∴α+∈,β+∈.
又sin,sin,
∴α+,β+,
∴cos=-,cos=±,
∴sin(α-β)=sin[(α+)-(β+)]=sin(α+)cos(β+)-cos(α+)sin(β+)=.故选CD.
12.　因为cos α=,α∈(0,),
所以sin α=,
所以cos(+α)=coscos α-sinsin α=.
13.-　(方法一)y=cos x+cos xcos-sin xsincos x-sin x=cos x-sin x)=cos.
当cos=-1时,ymin=-;
当cos=1时,ymax=.
(方法二)y=cos+cos(x+)=cos(x+)cos+sin(x+)sin+cos(x+)
=cos(x+)+sin(x+)=cos(x+)+sin(x+)]=cos(-x-)=cos(x+),
所以-≤y≤.
14.-8　　tan=tan[(α+β)-]==-8.
tan=-2,tan β=-.
tan(α+2β)=.
15.解(1)因为tan=-2,
所以tan α=3,
所以.
(2)因为tan α=3,0<α<,
所以cos2α=,
所以cos α=.
因为<β<π,sin β=,所以β=,
所以sin(α+2β)=sin=-cos α=-.
16.解(1)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+)=sin 50°×=1;
(2)∵tan θ=-,
∴1+sin θcos θ-cos 2θ=1+sin θcos θ-(1-2sin2θ)=.
17.(1)证明因为sin Acos A=sin Bcos B,
所以sin 2A=sin 2B,
解得2A=2B或2A+2B=π,
即A=B,或A+B=.
又A≠B,所以A+B=.
(2)解由(1)可知A+B=,
故sin A+sin B=sin A+sin=sin A+cos A=sin.
由题可知0所以1故sin A+sin B的取值范围是(1,].
(3)解由题意可知sin Asin B≠0,
所以x=,
设sin A+cos A=t∈(1,],
则t2=1+2sin Acos A,故sin Acos A=,代入得x==2,
故实数x的取值范围为[2,+∞).
18.解(1)若b=2a,则tan α=,tan β=1,
所以tan(α+β)==5.
(2)由题图可得,tan α=,tan β=,tan γ=,
因为α+β=γ,
所以tan(α+β)==tan γ,
即,化简得a2=b2,所以a=b,
所以的值为1.
19.解(1)因为a∥b,
所以cos α(cos β-2cos α)-sin α(sin β+2sin α)=0,
所以(cos αcos β-sin αsin β)=2(sin2α+cos2α)=2,
所以cos(α+β)=2,即cos(α+β)=.
(2)因为α,β∈,所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,
所以tan(α+β)=.因为tan α=,
所以tan(2α+β)==1.
因为0<α+β<π,且cos(α+β)=>0,
所以0<α+β<.
因为0<α<,所以0<2α+β<π.
因为tan(2α+β)=1,所以2α+β=.

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