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第3章　复数
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=2+i,则z=(　　)
A. B. C.3 D.5
2.复数z=,在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2025北京,2)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|=(　　)
A. B.2 C.4 D.8
4.复数i+i2+i3+…+i2 025=(　　)
A.i-1 B.i
C.-1 D.0
5.设复数z满足|-2i|=3,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9
C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9
6.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°,则z1z2为(　　)
A.i B.i
C.i D.i
7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R.则p是q的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　)
A.3+4i B.4+3i
C.+3i D.3+i
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若z-=-14i,||=5,则z可能为(　　)
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
10.已知复数z1=(i为虚数单位),下列说法正确的是(　　)
A.z1在复平面上对应的点在第三象限
B.z1的虚部为-1
C.=4
D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上
11.设f(θ)=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos 2θ+isin 2θ,f3(θ)=cos 3θ+isin 3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　　)
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　　.
13.若复数z在复平面内对应的点在第二象限,|z|=5,对应点在直线y=x上,则z=　　　　　.
14.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.
16.(15分)当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为
(1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数
17.(15分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.
18.(17分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.
(1)求复数z和|z|;
(2)若z1=i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
19.(17分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R.
(1)求z1的共轭复数;
(2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围.
参考答案
1.D　∵z=2+i,∴=2-i.
∴z=(2+i)(2-i)=5.故选D.
2.D　∵z==1+i,
∴=1-i.
∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.故选D.
3.B　由题意,得z==2+2i,
∴|z|==2.故选B.
4.B　∵i4=1,i2 025=(i4)506·i=i,
∴i+i2+i3+…+i2 025==i.
故选B.
5.D　因为z在复平面内对应的点为(x,y),
所以=x-yi,故-2i=x+(-y-2)i,
因为|-2i|=3,
所以=3,化简可得x2+(y+2)2=9.
故选D.
6.A　z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos 60°+isin 60°=i.
7.A　显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分而不必要条件,选A.
8.B　设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是解得因为13-2x≥0,故x≤,
所以x=不符合要求,故z=4+3i.
9.AC　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由题意可得
解得
所以z=1-7i或-1-7i.故选AC.
10.AB　复数z1==-=-=-1-i.
z1在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;
z1的虚部为-1,故B正确;
(z1)4=(-1-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;
|z1|=,满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为的圆上,故D不正确.故选AB.
11.AC　f10(θ)=cos 10θ+isin 10θ,要使f10(θ)为实数,则sin 10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=(k∈Z),当k=1时,θ=,当k=2时,θ=.
12.2　因为=1+i=a+bi,所以a=b=1.故a+b=2.
13.-3+4i　设=3t+4ti(t∈R),则z=3t-4ti,∵|z|=5,∴9t2+16t2=25,∴t2=1.
∵z在复平面内对应的点在第二象限,∴t<0,
∴t=-1,∴z=-3+4i.
14.[3,7]　设z=x+yi(x,y∈R),
∵复数z满足|z+2-4i|=2,
∴=2,
即(x+2)2+(y-4)2=4.
∴在复平面内复数z所对应的点Z在以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆上.
|z-1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.圆心与点(1,0)之间的距离d==5,
则|z-1|的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7].
15.解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,
∴-1-3i+a+bi=0,
即解得
∴z=-4+3i,
∴=3+4i.
16.解(1)若z为实数,可得解得m=2.
∴当m=2时,z为实数.
(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,
解得m≠2,且m≠0.∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.
(3)z为纯虚数,则解得m=-3.
∴当m=-3时,z为纯虚数.
17.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.
理由如下:因为z1=a+bi,z2=cos A+icos B,所以z1z2=(acos A-bcos B)+i(acos B+bcos A).
又因为z1z2为纯虚数,
所以 ①
由①及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B.
因为∠A,∠B为△ABC的内角,
所以0<2∠A<2π,0<2∠B<2π,且2∠A+2∠B<2π.
所以2∠A=2∠B或2∠A=π-2∠B,即∠A=∠B或∠A+∠B=.即∠A=∠B或∠C=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
18.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则b+2=0,解得b=-2.
因为i为实数,所以=0,
解得a=4.所以z=4-2i,|z|=2.
(2)z1=4++2-i对应的点在第四象限,
则解得-2故实数m的取值范围为.
19.解(1)∵(1+i)z1=-1+5i,
∴(1-i)(1+i)z1=(1-i)(-1+5i),
∴2z1=4+6i,∴z1=2+3i,
∴z1的共轭复数=2-3i.
(2)z1-z2=2+3i-(a-3+i)=5-a+2i,a∈R.
若|z1-z2|<|z1|,则,
化为(a-2)(a-8)<0,解得2∴a的取值范围为(2,8).

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