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第4章　立体几何初步
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025天津,4)已知m,n为直线,α,β为平面,则下列说法正确的是(　　)
A.若m∥α,n α,则m∥n B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β
C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若m α,α⊥β,则m⊥β
2.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列说法正确的是(　　)
A.三条交线为异面直线 B.三条交线两两平行
C.三条交线交于一点 D.三条交线两两平行或交于一点
3.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
4.如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
5.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的体对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积为(　　)
A.160 B.80 C.100 D.120
6.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N,Q分别为棱AB,B1B,C1D1的中点,过点M,N,Q作该正方体的截面,则所得截面的形状是(　　)
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
7.如图是一款多功能粉碎机的实物图,它的进物仓为正四棱台,已知该四棱台的下底面棱长为48 cm,上底面棱长为8 cm,侧棱长为25 cm,则该款粉碎机进物仓的体积为(　　)
A.11 840 cm3 B.13 760 cm3
C.35 520 cm3 D.41 280 cm3
8.已知正四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形.若一个半径为1的球与此四棱锥的所有面都相切,则该四棱锥的高是(　　)
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知m,n,l为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列说法正确的是(　　)
A.由α∥β,m α,n β,得m与n平行或者异面 B.由m∥n,m⊥α,n⊥l,得l∥α或l α
C.由m⊥α,n⊥β,α⊥β,l⊥m,得l∥n D.由n⊥α,m∥α,得m⊥n
10.如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下列结论中正确的是(　　)
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是(　　)
A.直线A1B与直线AC所成的角是60°
B.直线A1B与平面ABCD所成的角是30°
C.二面角A1-BC-A的平面角是60°
D.直线A1B与平面A1B1CD所成的角是30°
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,则PC=　　　　.
13.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C的平面角为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为　　　　.
14.(2025上海,7)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C=9,BD=4,则该正四棱柱的体积为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点.求证:
(1)VB∥平面MOC;
(2)平面MOC⊥平面VAB.
16.(15分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A1-ABD,求:
(1)截去的三棱锥A1-ABD的表面积;
(2)剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的体积.
17.(15分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些
18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为平行四边形,若∠DAB=60°,AB=2,AD=1.
(1)求证:BD⊥平面PAD;
(2)若∠PCD=45°,求点D到平面PBC的距离h.
19.(17分)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC,CE与平面ABE所成的角为45°.
(1)求证:AD⊥CE;
(2)求二面角A-CE-B的平面角的正切值.
参考答案
1.C　对于A,若m∥α,n α,则m∥n或m,n异面,故A错误;
对于B,,如图,α∥β,故B错误;
对于D,,如图,m∥β,此时m不垂直于β,故D错误.
故选C.
2.D　三平面两两相交,交线如有两条平行,由线面平行性质定理知三条都平行,如三棱柱三侧棱;三条交线也可以交于一点,如三棱锥三侧棱.
3.D　设△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=2S直观图,所以×OB×h=2×O'B'×2,又 OB=O'B',所以h=4.
4.C　圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形的半径R=4,设其弧长为l,侧面积为扇形的面积,所以扇形的面积S1=Rl=4π,解得弧长l=2π,所以圆锥的底面周长为2π,由此可知底面半径r=1,所以底面面积为S=π,圆锥的高为h=,故圆锥的体积V=Sh=.
5.A　设底面边长是a,底面的两条对角线分别为l1,l2,所以=152-52,=92-52.
又=4a2,即152-52+92-52=4a2,
所以a=8.
所以S侧=4×8×5=160.故选A.
6.D　如图所示,E,F,H分别为棱AD,DD1,B1C1的中点,M,N,Q确定平面α,NH∥MQ且N∈α,
故NH α,Q∈α,H∈α,故QH α.
同理可得FQ α,EF α,EM α,故截面为六边形.
故选D.
7.B　画出满足题意的正四棱台ABCD-A1B1C1D1如图所示,
则下底面A1B1C1D1的棱长为48 cm,上底面ABCD的棱长为8 cm,侧棱DD1=25 cm,
则B1D1==48(cm),BD==8(cm),
下底面的面积为S1=48×48=2 304(cm2),上底面的面积为S2=8×8=64(cm2).
过点B作BF⊥B1D1于点F,过点D作DE⊥B1D1于点E,
根据正四棱台的结构特征可得BF与DE都是该正棱台的高,且EF=BD,B1F=ED1==20(cm),
因此DE==15(cm).
所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为V=(S1+S2+)×DE=13 760(cm3),
即该款粉碎机进物仓的体积为13 760 cm3.故选B.
8.B　设内切球的球心为O,正四棱锥的高为h.因为正四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形,所以球的球心O在四棱锥的高h上.因为球O与正四棱锥S-ABCD所有面都相切,所以由等体积法知V四棱锥S-ABCD=V四棱锥O-ABCD+V三棱锥O-SAB+V三棱锥O-SBC+V三棱锥O-SDA+V三棱锥O-SCD,即×42×h=×42×1+4××1,解得h=.
9.ABD　由m⊥α,n⊥β,α⊥β,l⊥m,得l与n相交、平行或异面,故C错误;易知A,B,D都正确.
10.ABD　由AB是底面圆的直径,得∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵圆柱的轴截面是四边形ABCD,
∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.
∴BE⊥AD,
又AD∩AE=A,AD,AE 平面ADE,
∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.
同理可得,AE⊥CE,易得平面BCE⊥平面ADE.
可得A,B,D正确.
∵AD∥BC,∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角,显然∠ADE≠90°,∴DE⊥平面CEB不成立,即C错误.
11.AD　A选项,连接A1C1,BC1,因为A1C1∥AC,所以直线A1B与直线AC所成的角为∠C1A1B=60°,故A正确;
B选项,因为A1A⊥平面ABCD,故∠A1BA为直线A1B与平面ABCD所成的角,根据题意∠A1BA=45°,故B错误;
C选项,因为BC⊥平面A1AB,所以BC⊥AB,BC⊥A1B,故二面角A1-BC-A的平面角为∠A1BA=45°,故C错误;
D选项,设BC1∩B1C=O,连接A1O,因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的投影,所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角,设正方体的棱长为a,
在Rt△A1BO中,A1B=a,BO=a,
所以BO=A1B,∠BA1O=30°,
即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°,故D正确.故选AD.
12.13　取AB的中点E,连接PE,EC.
因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
所以AB=10,所以CE=5.
因为PA=PB=13,E是AB的中点,
所以PE⊥AB,PE=12.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE 平面PAB,
所以PE⊥平面ABC.
因为CE 平面ABC,所以PE⊥CE.
在Rt△PEC中,PC==13.
13.　设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin 60°=.
14.112　连接AC,∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱,BD=4,∴AC=BD=4,
∴AB=BC=4.又A1C=9,
在Rt△A1AC中,AA1==7.∴正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为AB×BC×A1A=4×4×7=112.
15.证明(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM∥VB.
又因为VB 平面MOC,OM 平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)因为AC=BC,O为AB的中点,
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC 平面ABC,
所以OC⊥平面VAB.
又OC 平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.
16.解(1)由正方体的特点可知在三棱锥A1-ABD中,△A1BD是边长为2的等边三角形,△A1AD,△A1AB,△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形,
所以截去的三棱锥A1-ABD的表面积S=+S△ABD=+3××2×2=6+2.
(2)正方体的体积为23=8,三棱锥A1-ABD的体积为×S△ABD×AA1=×2×2×2=,所以剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的体积为8-.
17.解(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).
若按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积为V2=S·h=×π××8=96π(m3).
(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.圆锥的母线长为l1==4(m),
则仓库的表面积为S1=π×8×4=32π(m2).
若按方案二,仓库的高变成8 m.
圆锥的母线长为l2==10(m),
则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).
(3)∵V1∴方案二比方案一更加经济.
18.(1)证明在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB=3,所以BD=.
由AD2+BD2=AB2,得AD⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以BD⊥PD.
因为AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,BD 平面PAD,所以BD⊥平面PAD.
(2)解因为∠PCD=45°,所以PD=2.
所以V三棱锥P-BCD=S△BCD·PD=×2=.
在△PBC中,BC=1,PC=2,PB=,所以S△PBC=.故V三棱锥D-PBC=S△PBC·h=V三棱锥P-BCD=,故h=.
19.(1)证明如图,取BC的中点H,连接HD交CE于点P,连接AH,AP.
∵AB=AC,∴AH⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=CH,AH 平面ABC,
∴AH⊥平面BCDE.
∴AH⊥CE.
又,
∴Rt△HCD∽Rt△CDE.
∴∠CDH=∠CED,∴HD⊥CE.
又AH∩HD=H,AH,HD 平面AHD,
∴CE⊥平面AHD.∴AD⊥CE.
(2)解由(1)CE⊥平面AHD,
∴AP⊥CE,又HD⊥CE,
∴∠APH就是二面角A-CE-B的平面角.
过点C作CG⊥AB,垂足为G,连接CG,EG.
∵BE⊥BC,BE⊥AH,BC∩AH=H,BC,AH 平面ABC,∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥CG.
又BE∩AB=B,BE,AB 平面ABE,
∴CG⊥平面ABE.∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角,即∠CEG=45°.
又CE=,∴CG=EG=.
又BC=2,∴∠ABC=60°,
∴AB=BC=AC=2,∴AH=.
又HD=,∴HP=,
∴tan∠APH==3.
故二面角A-CE-B的平面角的正切值为3.

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