资源简介

第5章 概率
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.古代科举制度会试分南卷、北卷、中卷,按比例录取,录取比例为11∶7∶2.若某年会试录取人数为100,则中卷录取人数为(　　)
A.10 B.15 C.30 D.35
2.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是(　　)
A.F与G互斥 B.E与G互斥但不对立
C.E,F,G任意两个事件均互斥 D.E与G对立
3.(2025上海,13)若事件A,B相互独立,事件A发生的概率为P(A)=,事件B发生的概率为P(B)=,则事件A∩B发生的概率P(A∩B)=(　　)
A.0 B. C. D.1
4.在平面直角坐标系中,从下列5个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取3个,这三点能构成三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.1
5.从5个同类产品(其中3个正品,2个次品)中,任意抽取2个,下列事件发生概率为的是(　　)
A.2个都是正品 B.恰有1个是正品 C.至少有1个正品 D.至多有1个正品
6.同时抛掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…,11,12中的一个,记事件A为“点数之和是2,4,7,12”,事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为(　　)
A.A∩B B.A∩B∩C
C.A∩B∩ D.A∩B∪
7.小王同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为,他第2球投进的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.某工厂生产一批医疗器械的零件,每件零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零件可以进行一次技术精加工,技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工,只能成为废品,则生产时得到合格零件的概率是(　　)
A.0.49 B.0.73 C.0.79 D.0.91
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列叙述正确的是(　　)
A.两事件互斥是两事件对立的必要条件
B.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率为,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为
C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么事件“至多一件一等品”的概率为
10.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(　　)
A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55
11.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是(　　)
A.如果B A,那么P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P()=0.28,P(B)=0.12
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.一个三位数,百位、十位、个位上的数字依次记为a,b,c(a,b,c互不相同),当且仅当a,b,c中有两个数字的和等于剩下一个数字时,称这个三位数为“等和数”(如358等).现从1,2,3,4这四个数字中任取三个组成无重复数字的三位数,则这个三位数为“等和数”的概率为　　　　　.
13.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为　　　　.
14.甲、乙两队进行羽毛球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若甲队每局获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为　　　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了15个,乙同学猜对了8个.假设猜对每道灯谜都是等可能的,设事件A为“任选一灯谜,甲猜对”,事件B为“任选一灯谜,乙猜对”.
(1)任选一道灯谜,记事件C为“恰有一个人猜对”,求事件C发生的概率;
(2)任选一道灯谜,记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”,求事件D发生的概率.
16.(15分)某次联欢会上设有一个抽奖游戏,抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球,分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖.从中任取一个小球,若已知中二等奖或三等奖的概率为,则小华同学获得一次摸奖机会.
(1)求他不能中奖的概率;
(2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是,试计算黄球的个数.
17.(15分)小明和小亮玩“掷骰子”的游戏,骰子的6个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.每次由小明、小亮各掷一次骰子,正面朝上的数字分别为x,y,若xy为偶数,则算小明胜;否则算小亮胜.
(1)若以A表示xy=12的事件,求P(A).
(2)现连玩三次“掷骰子”的游戏,以B表示“小明至多胜一次”的事件,C表示“小亮至少胜两次”的事件,试问B与C是否为互斥事件或对立事件 为什么
(3)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
18.(17分)如图,A地到火车站共有两条路径,据统计通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间在各时间段内的频率如下表:
时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径
(2)针对(1)的选择方案,问甲、乙两人均在规定时间内赶到火车站的概率为多少.
19.(17分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
参考答案
1.A　依题意,中卷录取人数为100×=10.故选A.
2.D　设1表示取到正品,0表示取到次品,则样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}.则E={(1,1,1)},F={(0,0,0)},G={(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)},F∩G=F,故F与G不互斥,故A,C错误;E∩G= ,E∪G=Ω,故E与G互斥且对立,故B错误,D正确.故选D.
3.B　∵事件A,B相互独立,∴P(A∩B)=P(A)·P(B)=.故选B.
4.C　从5个点中任取3个点,该试验的样本空间Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)},共10个样本点,其中(A,C,E),(B,C,D)这两个样本点中的三点不能构成三角形,故三点能构成三角形的概率P=.
5.C　从5个同类产品(其中3个正品分别记为A,B,C,2个次品分别记为a,b)中,任意抽取2个的样本空间Ω={Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,AB,AC,BC,ab}的样本点数为10,易得两个都是次品的事件的样本点数为1,其概率为P=,故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件,即“至少有1个正品”,故选C.
6.C　∵事件A={2,4,7,12},事件B={2,4,6,8,10,12},∴A∩B={2,4,12}.
又C={9,10,11,12},∴A∩B∩={2,4}.
7.A　第2球投进的事件M是第1球投进第2球投进的事件M1与第1球没投进第2球投进的事件M2的和,M1与M2互斥,P(M1)=,P(M2)=,则P(M)=P(M1∪M2)=P(M1)+P(M2)=,所以第2球投进的概率为.故选A.
8.C　设事件A=“第一次就得到合格零件”,事件B=“第一次得到不合格零件,进行一次技术精加工后得到合格零件”,所以P(A)=0.7,P(B)=(1-0.7)×0.3=0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P(A)+P(B)=0.7+0.09=0.79.
9.ABD　由于互斥事件是不可能同时发生的两个事件,它可以同时不发生,对立事件是必有一个发生的互斥事件,因此A正确;甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件的和,它们互斥,则甲不输的概率为,B正确;由给定条件知,至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件,即它们不互斥,C错误;5件产品中任取两件有10个基本事件,它们等可能,其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”,有3个基本事件,从而所求概率为1-,D正确.故选ABD.
10.ABC　依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,
事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故A,B,C正确,D不正确.故选ABC.
11.ABD　事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,
如果B A,那么P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正确;
如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确;
如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9-0.18=0.72,故C错误;
如果A与B相互独立,那么P()=P()P()=0.4×0.7=0.28,P(B)=P()P(B)=0.4×0.3=0.12,故D正确.故选ABD.
12.　由题意可知,样本空间Ω={123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432},记“三位数为‘等和数’”为事件A,则A={123,132,134,143,213,231,312,314,321,341,413,431},
所以三位数为“等和数”的概率P(A)=.
13.(]　∵随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,
且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,
∴
解得14.　由题意知,每局甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,∴至少在两局内甲队赢一局,甲队才能获得冠军,当第一局甲队获胜,其概率为;
当第一局甲队输,第二局甲队赢,其概率为.
∴甲队获得冠军的概率为.
15.解(1)由题意可得P(A)=,P(B)=,
∴P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=×(1-)+(1-)×.
(2)任选一道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率为
P()=P()P()=(1-)×(1-)=,
∴P(D)=1-P()=1-.
16.解设小华同学任取一个小球,抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖的事件分别为A,B,C,D,
它们彼此是互斥事件.
(1)由题意得P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,
由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-P(B∪C)-P(A)=1-,
∴不能中奖的概率为.
(2)∵P(A∪B)=,
又P(A∪B)=P(A)+P(B),
∴P(B)=.
∵P(B∪C)=P(B)+P(C)=,
∴P(C)=,
∴中三等奖的概率为,
∴黄球个数为16×=4(个).
17.解(1)样本点总数为6×6=36个,而xy=12有(2,6),(6,2),(3,4),(4,3),共4个样本点,
所以P(A)=.
(2)既不是互斥事件也不是对立事件.“小明至多胜一次”的事件包括“小明胜一次”“小明一次都不胜”,相对应的是“小亮胜二次”“小亮胜三次”也即是“小亮至少胜两次”的事件,所以事件B与C同时发生,B与C既不是互斥事件,也不是对立事件.
(3)这种游戏规则不公平,理由如下:
xy为奇数的情况有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),
所以小亮获胜的概率为,小明获胜的概率为1-,且,所以这种游戏规则不公平.
18.解(1)用Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站”,
用频率估计相应的概率,则有P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(A1)>P(A2),所以甲应选择路径L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)(2)用A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自的时间内赶到火车站,
由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,且A,B相互独立.
因此P(AB)=0.9×0.6=0.54.
19.解设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,则P(Ak)=,P(Bk)=(k=1,2,3).
(1)记“乙获胜”为事件C,则P(C)=P(B1)+P(B2)+P(B3)
=P()P(B1)+P()P()P()P(B2)+P()P()P()P()P()P(B3)
=
=.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,
则P(D)=P(B2)+P(A3)
=P()P()P()P(B2)+P()P()·P()P()P(A3)
=
=.

展开更多......

收起↑