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第31课时　正弦定理、余弦定理
[考试要求]　1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形． 2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
1．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为 (　　)
A．120° B．90°
C．60° D．45°
2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b＝ (　　)
A．2 B．12
C．2 D．28
3．(人教B版必修第四册P6例4改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有 (　　)
A．一个 B．两个
C．0个 D．不能确定
4．(湘教版必修第二册P47练习T1改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝___________．
5．(北师大版必修第二册P130习题2－6A组T1改编)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝＝___________．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ ＝2R a2＝______________________； b2＝______________________； c2＝____________________
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3) ＝＝2R cos A＝________________； cos B＝__________________； cos C＝___________
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系 式 a＝bsin A bsin A b a≤b
解的 个数 __ __ __ __ __
3．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝___________；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
(4)S＝．
[二级结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A>B a>b sin A>sin B cos A2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin．
应用正、余弦定理解题的常见策略
考点一　利用正、余弦定理解三角形
[典例1]　(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．
[巩固迁移]
1．(2026·安徽蚌埠模拟)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边长．若a∶b∶c＝4∶5∶6，则＝ (　　)
A． B．1
C． D．2
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是 (　　)
A．6 B．8
C．4 D．2
3．(2025·河北秦皇岛一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，B＝的三角形有两个，则b的取值范围为 (　　)
A．(0，2) B．(2，4)
C．(2，4) D．(2，2)
考点二　判断三角形的形状
[典例2]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【深度思考】　若本例条件变为，判断△ABC的形状．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：判定三角形形状的两种常用途径
[巩固迁移]
4．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是 (　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【拓展融合】　三角形中的射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
【加固训练】　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A，则A＝ (　　)
A． B．
C． D．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝___________．
考点三　三角形面积的有关计算
[典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[巩固迁移]
5．(2026·陕西安康模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝1，△ABC的面积为，则c＝___________．
6． (2026·陕西咸阳模拟)如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝3，AD＝3，CD＝，∠C＝2∠CBD．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第31课时　正弦定理、余弦定理
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．A　2．A　3．B　4．
No2．储备知识要点
1．b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C　
2．一解　两解　一解　一解　无解
3．(2)bcsin A
精研考点·提升素养
考点一
典例1　解：(1)由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，
即sin＝1，
由于A∈(0，π)，所以A＋，
故A＋，
所以A＝．
(2)由题设条件和正弦定理得
sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
所以cos B＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝．
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，
由正弦定理，解得b＝2，c＝，
故△ABC的周长为2＋．
巩固迁移
1．B
2．A　[由csin A＝acos C及正弦定理可得
sin Csin A＝sin Acos C，因为A∈(0，π)，
所以sin A≠0，所以sin C＝cos C，
可得tan C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝．
又c＝2，ab＝8，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得
12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，
所以a＋b＝6．]
3．D　[在△ABC中，a＝2，B＝，由△ABC有两解，得
即解得2考点二
典例2　A　[法一(化角为边)：因为bcos C＋ccos B＝b·＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
所以sin A＝sin2A，
又sin A≠0，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法三(射影定理)：因为bcos C＋ccos B＝a＝asin A，
所以sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．]
深度思考
解：由，
所以sin Acos A＝cos Bsin B，
所以sin 2A＝sin 2B．
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
巩固迁移
4．D　[bcos C＋ccos B＝b sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B sin＝sin B，
即sin A＝sin B，故a＝b，
a＝ccos B sin A＝sin Ccos B sin＝sin Ccos B sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Ccos B sin Bcos C＝0，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，故cos C＝0，
因为C∈，所以C＝，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选D．]
加固训练
(1)D　(2)　[(1)因为2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A，所以2bcos(B＋C)＝acos C＋ccos A，由射影定理得2bcos(B＋C)＝b，所以cos A＝－，又A∈(0，π)，所以A＝．故选D．
(2)在△ABC中，2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
由射影定理得2cos C·c ＝ c，
即2cos C ＝1，∴cos C＝，
又0考点三
典例3　解：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝
＝，
又因为sin C＝cos B，即cos B＝，
又B∈(0，π)，
所以B＝．
(2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，
从而C＝，A＝π－，
而sin A＝sin，
由正弦定理有，
从而a＝c，b＝c，
所以S△ABC＝absin C＝c2，
由已知△ABC的面积为3＋，
所以c＝2．
巩固迁移
5．　[a＝2，b＝1，△ABC的面积为，
所以absin C＝×2×1×sin C＝，
解得sin C＝，
因为0当C＝时，由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1－2＝3，即c＝，
当C＝时，由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1＋2＝7，即c＝，
综上，c＝或c＝．]
6．解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A，
即BD2＝9＋27－2×3×3＝9，
所以BD＝3．
(2)在△BCD中，由正弦定理
得，
则sin C＝sin∠CBD．
而∠C＝2∠CBD，于是sin∠CBD
＝sin 2∠CBD＝2sin∠CBDcos∠CBD，
又∠CBD∈(0，π)，则sin∠CBD>0，
cos∠CBD＝，∠CBD＝，
因此∠C＝2∠CBD＝，∠BDC＝，
所以四边形ABCD的面积
S＝AB·AD·sin A＋．
1/6(共83张PPT)
第31课时　正弦定理、余弦定理
第四章　三角函数与解三角形
[考试要求]
1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
以题引理·激活思维
1．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．45°
√
A　[由余弦定理的推论知cos A＝＝－，所以A＝120°．]
2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b＝(　　)
A．2 B．12
C．2 D．28
√
A　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2．]
3．(人教B版必修第四册P6例4改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(　　)
A．一个 B．两个
C．0个 D．不能确定
√
B　[由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得，所以sin B＝．
因为aA，故B有两解，即符合条件的三角形有两个．]
4．(湘教版必修第二册P47练习T1改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝__________．
　[B＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，得，得c＝．]
5．(北师大版必修第二册P130习题2－6A组T1改编)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝＝_____________．
　[依题意有S△ABC＝bcsin 60°＝，c＝4，由余弦定理得a＝．]
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝2R a2＝________________；
b2＝_________________；
c2＝_________________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
定理 正弦定理 余弦定理
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶ sin C； (3)＝＝2R cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系 式 a＝bsin A bsin A b a≤b
解的 个数 ____ ____ ____ ____ ____
一解
一解
两解
一解
无解
3．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝___________；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
(4)S＝．
bcsin A
[二级结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A>B a>b sin A>sin B
cos A2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin．
应用正、余弦定理解题的常见策略
考点一　利用正、余弦定理解三角形
[典例1]　(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长．
精研考点·提升素养
[解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，即sin＝1，
由于A∈(0，π)，所以A＋∈，
故A＋，所以A＝．
(2)由题设条件和正弦定理得
sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，所以cos B＝，所以B＝，
所以C＝π－A－B＝．
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，
由正弦定理，
解得b＝2，c＝，
故△ABC的周长为2＋＋3．
名师点评：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．
[巩固迁移]
1．(2026·安徽蚌埠模拟)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边长．若a∶b∶c＝4∶5∶6，则＝(　　)
A． B．1
C． D．2
√
B　[因为a∶b∶c＝4∶5∶6，设a＝4k，k>0，则b＝5k，c＝6k，由余弦定理的推论得
cos A＝，
由正弦定理得，sin A∶sin C＝a∶c＝2∶3，
则＝2××cos A＝2×＝1．
故选B．]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是(　　)
A．6 B．8
C．4 D．2
√
A　[由csin A＝acos C及正弦定理可得
sin Csin A＝sin Acos C，因为A∈(0，π)，
所以sin A≠0，所以sin C＝cos C，可得tan C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝．又c＝2，ab＝8，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得
12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，
所以a＋b＝6．]
3．(2025·河北秦皇岛一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，B＝的三角形有两个，则b的取值范围为(　　)
A．(0，2) B．(2，4)
C．(2，4) D．(2，2)
√
D　[在△ABC中，a＝2，B＝，由△ABC有两解，
得即
解得2【教用·备选题】
1．在△ABC中，若2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[因为2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，
所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]
＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，
则2－2sin2A＋cos Bcos C－sin Bsin C
＝2－2sin2B－2sin2C＋cos Bcos C＋sin Bsin C，
整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C．
所以b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理的推论得cos A＝，
因为A∈(0，π)，故A＝．故选B．]
2．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
[解]　(1)证明：因为sin Csin(A－B)＝sin B·sin(C－A)，
所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A＝sin B·sin Ccos A－sin Bsin Acos C，
所以ac·－2bc·＝－ab·，
即－(b2＋c2－a2)＝－，
所以2a2＝b2＋c2．
(2)因为a＝5，cos A＝，
由(1)得b2＋c2＝50，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得50－bc＝25，
所以bc＝，
故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，
所以b＋c＝9，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14．
考点二　判断三角形的形状
[典例2]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C
＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
√
A　[法一(化角为边)：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝a，
所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
所以sin A＝sin2A，
又sin A≠0，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法三(射影定理)：因为bcos C＋ccos B＝a＝asin A，
所以sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．]
【深度思考】　若本例条件变为，判断△ABC的形状．
[解]　由，得，
所以sin Acos A＝cos Bsin B，
所以sin 2A＝sin 2B．
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
名师点评：判定三角形形状的两种常用途径
[巩固迁移]
4．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
√
D　[bcos C＋ccos B＝b sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B sin＝sin B，
即sin A＝sin B，故a＝b，
a＝ccos B sin A＝sin Ccos B sin＝sin Ccos B sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Ccos B sin Bcos C＝0，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，故cos C＝0，
因为C∈，所以C＝，
故△ABC为等腰直角三角形．故选D．]
【拓展融合】　三角形中的射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
【加固训练】　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝_____________．
√
(1)D　(2)　[(1)因为2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A，所以2bcos(B＋C)＝acos C＋ccos A，由射影定理得2bcos(B＋C)＝b，所以cos A＝－，又A∈(0，π)，所以A＝．故选D．
(2)在△ABC中，2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
由射影定理得2cos C·c ＝ c，即2cos C ＝1，
∴cos C＝，
又0考点三　三角形面积的有关计算
[典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c．
[解]　(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，可得cos C＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝，
又因为sin C＝cos B，即cos B＝，
又B∈(0，π)，所以B＝．
(2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，
从而C＝，A＝π－，
而sin A＝sin＝sin，
由正弦定理有，
从而a＝c＝c，b＝c＝c，
所以S△ABC＝absin C＝c·c·c2，
由已知△ABC的面积为3＋c2＝3＋，所以c＝2．
名师点评：三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[巩固迁移]
5．(2026·陕西安康模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝1，△ABC的面积为，则c＝___________．
　[a＝2，b＝1，△ABC的面积为，
所以absin C＝×2×1×sin C＝，
解得sin C＝，
因为0当C＝时，由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1－2＝3，即c＝，
当C＝时，由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1＋2＝7，即c＝，
综上，c＝或c＝．]
6．(2026·陕西咸阳模拟)如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝3，AD＝3，CD＝，∠C＝2∠CBD．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解]　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A，
即BD2＝9＋27－2×3×3＝9，
所以BD＝3．
(2)在△BCD中，由正弦定理
得，
则sin C＝sin∠CBD．
而∠C＝2∠CBD，于是sin∠CBD＝sin 2∠CBD＝2sin∠CBDcos ∠CBD，
又∠CBD∈(0，π)，则sin∠CBD>0，cos∠CBD＝，∠CBD＝，
因此∠C＝2∠CBD＝，∠BDC＝，
所以四边形ABCD的面积
S＝AB·AD·sin A＋BD·CD＝×3×3×3＝．
【教用·备选题】
1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝．
(1)若CD＝2，求sin∠ADC；
(2)若C＝，求四边形ABCD的面积．
[解]　(1)如图，连接BD，
在Rt△ABD中，BD＝＝2，且tan∠ADB＝，
∠ADB∈，所以∠ADB＝．
在△BCD中，由余弦定理的推论得
cos∠BDC＝＝，
所以sin∠BDC＝．
所以sin∠ADC＝sin
＝sin∠BDCcos＋cos∠BDCsin＝．
(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos，即CD2－2CD－2＝0，解得CD＝1＋或CD＝1－(舍去)，
所以四边形ABCD的面积为
S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD＋BC·CD·sin．
2．(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：csin A＝．
[解]　(1)由题知，2sin B·cos B＝bcos B．
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b．
又，
所以sin A＝．
又A为钝角，所以A＝．
(2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，
则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①．
若选②，由题知sin B＝，
又，所以b＝3．
又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝．
所以S△ABC＝absin C＝×7×3×．
若选③，由题知c·，所以c＝5．
由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)．
所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×．
一、单项选择题
1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A．45°　　B．60°　　C．120°　　D．135°
A　[cos A＝，因为0°所以A＝45°．]
题号
1
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课后作业(三十一)　正弦定理、余弦定理
√
题号
2
1
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2．已知△ABC的外接圆半径为1，A＝，则ACcos C＋ABcos B＝(　　)
A． B．1
C． D．
√
D　[由射影定理得AC·cos C＋AB·cos B＝ BC，
由正弦定理可得＝2，所以BC＝2sin A＝．]
3．(2026·广东梅州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝120°，a＝2ccos C，则C＝(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．15°
题号
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13
√
C　[因为A＝120°，a＝2ccos C，由正弦定理可得sin A＝2sin Ccos C＝sin 2C，
所以sin 2C＝，因为0°所以2C＝60°，解得C＝30°．故选C．]
题号
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4．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　)
A．6 B．8
C．24 D．48
题号
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√
C　[∵BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，
∴根据余弦定理可知，BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，
∴64＝100＋AB2－2AB×10×，
∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC为直角三角形，
∴AB⊥BC．
∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．故选C．]
题号
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5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为(　　)
A．a＝8 B．a＝9
C．a＝10 D．a＝11
题号
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√
B　[由正弦定理可得，，所以sin B＝，因为三角形有两解，所以sin B<1，且b>a，由选项知，只有a＝9符合．故选B．]
6．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
题号
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√
A　[因为sin2 ，所以，即cos B＝．
法一：由余弦定理得，
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2．
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
题号
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法二：由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，
又sin B≠0，所以cos C＝0，
又C为三角形的内角，所以C＝，
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．]
题号
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二、多项选择题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．若cos A>cos B，则sin AB．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝
C．已知a＝7，b＝4，c＝
D．若，则B＝
题号
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√
√
√
ABC　[对于A，cos A>cos B A题号
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8．(2026·湖北武汉模拟)锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin＝cos B，b＝2，c＝3，则(　　)
A．C＝
B．a＝
C．sin A＝
D．△ABC的面积为
题号
2
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11
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13
√
√
AD　[因为sin＝cos B且△ABC为锐角三角形，
所以A－＋B＝ A＋B＝，
根据三角形的内角和定理，得C＝，故A正确；
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，
得a2－2a－5＝0，
又a>0，所以a＝＝1＋，故B错误；
题号
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根据正弦定理得
sin A＝，故C错误；
因为S△ABC＝absin C＝×2×，故D正确．故选AD．]
题号
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三、填空题
9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________．
题号
2
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4　[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4．]
4
10．(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面
积S＝_____________．
题号
2
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　[法一：S＝．
法二：由余弦定理的推论得cos A＝，sin A＝，S＝bcsin A＝×2×．]
题号
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四、解答题
11．(2026·陕西汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从下面三个条件中选择两个，使得△ABC存在，并回答下列问题：①b＋c＝2a，②A＝，③3csin B＝4asin C．
(1)求cos B的值；
(2)当a＝2时，求△ABC的面积．
题号
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[解]　(1)若选择①②，由b＋c＝2a，可知b≤a≤c或c≤a≤b，因此B≤A≤C 或C≤A≤B，
结合A＝，可知△ABC中有两个钝角，与三角形内角和定理矛盾，所以△ABC不存在；
若选择②③，由3csin B＝4asin C，得3sin Csin B＝4sin Asin C，
结合sin C≠0，可得sin B＝sin A＝>1，与sin B≤1矛盾，所以△ABC不存在；
题号
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若选择①③，根据正弦定理得sin B＝sin A，即b＝a，
结合b＋c＝2a，解得c＝a，此时△ABC存在．
综上所述，选择①③，可得
cos B＝＝－．
题号
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(2)若a＝2，结合(1)的结论可得c＝，
由cos B＝－，可得sin B＝．
所以△ABC的面积S＝acsin B＝×2×．
题号
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12．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝asin．
(1)求A；
(2)若a＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
题号
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[解]　(1)由b＝asin，得sin B＝sin Asin，
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
sin＝sin C＋cos C，
所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin A(sin C＋cos C)，
即cos Asin C＝sin Asin C，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
所以cos A＝sin A，
所以tan A＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝．
题号
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(2)因为△ABC的面积为bcsin A＝，
所以bc＝4，
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2＝1＋4，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝9＋4＝(1＋2)2，故b＋c＝1＋2，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2．
题号
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13．(2026·江苏连云港模拟)在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝，∠DBC＝，AB＝1．
(1)若BC＝2，求AD；
(2)若AD＝2CD，求AD．
题号
2
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[解]　(1)在△ABC中，∠ABC＝，
由余弦定理得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝12＋22－2×1×2cos＝7，
得AC＝，
所以cos∠BAC＝＝．
所以在Rt△ABD中，AD＝．
题号
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(2)设CD＝t，AD＝2t(t>0)，在△BCD中，
由正弦定理得，
又因为sin∠CDB＝sin∠ADB＝，
代入上式有，
得BC＝1．
由余弦定理得AC＝，
所以AD＝AC＝．
题号
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谢 谢 ！课后作业(三十一)　正弦定理、余弦定理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝ (　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
2．已知△ABC的外接圆半径为1，A＝，则ACcos C＋ABcos B＝　 (　　)
A．
3．(2026·广东梅州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝120°，a＝2ccos C，则C＝ (　　)
A．60° B．45°
C．30° D．15°
4．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为 (　　)
A．6 B．8
C．24 D．48
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为 (　　)
A．a＝8 B．a＝9
C．a＝10 D．a＝11
6．在△ABC中，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 (　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
二、多项选择题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是 (　　)
A．若cos A>cos B，则sin AB．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝
C．已知a＝7，b＝4
D．若
8．(2026·湖北武汉模拟)锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin＝cos B，b＝2，c＝3，则 (　　)
A．C＝
B．a＝
C．sin A＝
D．△ABC的面积为
三、填空题
9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝___________．
10．(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝
，c＝2，则该三角形的面积S＝___________．
四、解答题
11．(13分)(2026·陕西汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从下面三个条件中选择两个，使得△ABC存在，并回答下列问题：①b＋c＝2a，②A＝，③3csin B＝4asin C．
(1)求cos B的值；
(2)当a＝2时，求△ABC的面积．
12．(13分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝．
(1)求A；
(2)若a＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
13．(15分)(2026·江苏连云港模拟)在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝，AB＝1．
(1)若BC＝2，求AD；
(2)若AD＝2CD，求AD．
课后作业(三十一)
1．A
2．D　[由射影定理得AC·cos C＋AB·cos B＝ BC，
由正弦定理可得＝2，
所以BC＝2sin A＝．]
3．C　[因为A＝120°，a＝2ccos C，由正弦定理可得sin A＝2sin Ccos C＝sin 2C，
所以sin 2C＝，因为0°所以2C＝60°，解得C＝30°．故选C．]
4．C　[∵BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，
∴根据余弦定理可知，
BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，
∴64＝100＋AB2－2AB×10×，
∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，
∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC为直角三角形，∴AB⊥BC．
∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．故选C．]
5．B　[由正弦定理可得，，
所以sin B＝，因为三角形有两解，所以sin B<1，且b>a，由选项知，只有a＝9符合．故选B．]
6．A
7．ABC　[对于A，cos A>cos B A8．AD　[因为sin＝cos B且△ABC为锐角三角形，
所以A－＋B＝ A＋B＝，
根据三角形的内角和定理，得C＝，故A正确；
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，得a2－2a－5＝0，
又a>0，所以a＝＝1＋，故B错误；
根据正弦定理得
sin A＝＝，故C错误；
因为S△ABC＝absin C＝×2×，故D正确．故选AD．]
9．4　[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4．]
10．
11．解：(1)若选择①②，由b＋c＝2a，可知b≤a≤c或c≤a≤b，因此B≤A≤C 或C≤A≤B，
结合A＝，可知△ABC中有两个钝角，与三角形内角和定理矛盾，所以△ABC不存在；
若选择②③，由3csin B＝4asin C，
得3sin Csin B＝4sin Asin C，
结合sin C≠0，可得sin B＝sin A＝>1，与sin B≤1矛盾，
所以△ABC不存在；
若选择①③，根据正弦定理得sin B＝sin A，即b＝a，
结合b＋c＝2a，解得c＝a，此时△ABC存在．
综上所述，选择①③，可得
cos B＝＝＝－．
(2)若a＝2，结合(1)的结论可得c＝，
由cos B＝－，可得sin B＝．
所以△ABC的面积S＝acsin B＝×2×．
12．解：(1)由b＝asin，
得sin B＝sin Asin，
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，sin＝sin C＋cos C，
所以sin Acos C＋cos Asin C
＝sin A(sin C＋cos C)，
即cos Asin C＝sin Asin C，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
所以cos A＝sin A，
所以tan A＝1，因为A∈(0，π)，
所以A＝．
(2)因为△ABC的面积为，
所以bcsin A＝，所以bc＝4，
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2＝1＋4，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝9＋4＝(1＋2)2，故b＋c＝1＋2，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2．
13．解：(1)在△ABC中，∠ABC＝，
由余弦定理得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝12＋22－2×1×2cos＝7，
得AC＝，
所以cos∠BAC＝．
所以在Rt△ABD中，AD＝．
(2)设CD＝t，AD＝2t(t>0)，在△BCD中，
由正弦定理得，
又因为sin∠CDB＝sin∠ADB＝，
代入上式有，得BC＝1．
由余弦定理得AC＝，
所以AD＝AC＝．
3/3

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