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第34课时　正弦定理、余弦定理的应用举例
[考试要求]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．(人教A版必修第二册P49例9改编)在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为 (　　)
A． km B． km
C． km D．2 km
2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为 (　　)
A．a km B．a km
C．2a km D．a km
3．(人教B版必修第四册P15习题9－2AT2改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于 (　　)
A．10 m B．5 m
C．5(－1) m D．5(＋1) m
4．(北师大版必修第二册P125练习T1改编)曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针方向旋转角α(α>0)时，P和Q之间的距离是x cm，若OA＝3 cm，OQ＝10 cm，x＝5，请写出一个满足题意的角α的值___________．
5．(湘教版必修第二册P49例10改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝___________m．
测量中的几个常用术语
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做__________________， 目标视线在水平视线下方的叫做______
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做___________，方位角θ的范围是___________
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
1．理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．
2．对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形．
考点一　测量距离问题
[典例1]　(2025·安徽黄山二模)如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知∠ABM＝30°，∠BAN＝45°，∠MAN＝60°，∠MBN＝90°，AB＝2，则MN＝ (　　)
A．5(－1) B．5
C．5(＋1) D．10
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：距离问题的解题思路：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
[巩固迁移]
1．已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向，且与A相距3 km的B处．乙船位于灯塔A的北偏西50°方向上的C处．若两船相距 km，则乙船与灯塔A之间的距离(单位：km)为 (　　)
A．1 B．
C．2 D．2
考点二　测量高度问题
[典例2]
某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝50 m，则该古建筑物的高度为 (　　)
A．15 m B．20 m
C．10 m D．50 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解决高度问题的三个注意事项
(1)要理解仰角、俯角的定义．
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[巩固迁移]
2．[高考改编]三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面的高度差为___________．
考点三　测量角度问题
[典例3]　一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为12 n mile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的 (　　)
A．正西方向
B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向
D．南偏西45°方向
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．
[巩固迁移]
3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为___________ h，角α的正弦值为___________．
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．A　2．D　3．D　4．(答案不唯一)　5.200
No2．储备知识要点
仰角　俯角　方位角　[0，2π)
精研考点·提升素养
考点一
典例1　C　[由题设∠BAM＝105°，
∠ABM＝30°，
则∠AMB＝45°，而AB＝2，
所以，
则AM＝，
由∠ABN＝120°，∠BAN＝45°，
则∠ANB＝15°，
而AB＝2，
又sin 15°＝，
所以，
则AN＝
＝3，由
MN＝
＝
＝＝5(＋1)．故选C．]
巩固迁移
1．C
考点二
典例2　C　[设OM＝x m，在Rt△OMA中，＝tan∠OAM＝tan 30°，OA＝x，在Rt△OMB中，＝tan∠OBM＝tan 60°，OB＝x，在Rt△OMC中，＝tan∠OCM＝tan 45°，OC＝x，在△OAB中，由余弦定理的推论得cos∠OBA＝，
在△OBC中，由余弦定理的推论得
cos∠OBC＝
＝，因为∠OBA＋∠OBC＝π，所以cos∠OBA＋cos∠OBC＝0，
即＝0，
解得x＝10，所以该古建筑物的高度为10 m．故选C．]
巩固迁移
2．100(＋2)　[如图，过C作CH⊥BB'，过B作BD⊥AA'，
故AA'－CC'＝AA'－(BB'－BH)＝AA'－BB'＋100＝AD＋100，
由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB．
所以AA'－CC'＝AD＋100＝DB＋100＝A'B'＋100．
因为∠BCH＝15°，
所以CH＝C'B'＝．
在△A'C'B'中，由正弦定理得，
，
而sin 15°＝sin(45°－30°)＝，
所以A'B'＝＝100(＋1)，
所以AA'－CC'＝100(＋2)．]
考点三
典例3　C　[如图，在△ABD中，∠B＝45°，由正弦定理得，
则AD＝＝24．
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得，
则sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°．
因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．]
巩固迁移
3．2　　[设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x km，BC＝10x km，∠ABC＝120°．
在△ABC中，根据余弦定理得－240×x×cos 120°，解得x＝2，
故AC＝28 km，BC＝20 km．
根据正弦定理得，解得sin α＝．]
5/5(共96张PPT)
第34课时　正弦定理、余弦定理的应用举例
第四章　三角函数与解三角形
[考试要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第二册P49例9改编)在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)
A． km B． km
C． km D．2 km
√
A　[如图，在△ABC中， ∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则∠ACB＝45°，
∴，∴AC＝2(km)．]
2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为
(　　)
A．a km B．a km
C．2a km D．a km
√
D　[依题意，知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°．
在△ABC中，由余弦定理，知AB＝a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km．故选D．]
3．(人教B版必修第四册P15习题9－2AT2改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)
A．10 m
B．5 m
C．5(－1) m
D．5(＋1) m
√
D　[法一：设AB＝x，则BC＝x．
∴BD＝10＋x，∴tan∠ADB＝．
解得x＝5(＋1)．
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m．
法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°．
由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin 30°＝ ．
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1) m．]
4．(北师大版必修第二册P125练习T1改编)曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针方向旋转角α(α>0)时，P和Q之间的距离是x cm，若OA＝3 cm，OQ＝10 cm，x＝5，请写出一个满足题意的角α的值______________________．
(答案不唯一)
(答案不唯一)　[由题意，AP＝BQ＝OQ－OB＝10－3＝7(cm)，OP＝OQ－x＝5(cm)，
在△AOP中，由余弦定理得
cos∠AOP＝＝－，
即cos α＝－，
∵α>0，∴α的一个值可以为(答案不唯一)．]
5．(湘教版必修第二册P49例10改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝_____________m．
200
200　[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°．
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h．
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD，即40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
解得h＝200，所以塔高AB为200 m．]
测量中的几个常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做____，目标视线在水平视线下方的叫做____
仰角
俯角
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做______，方位角θ的范围是____________
方位角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
方位角
[0，2π)
1．理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．
2．对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形．
考点一　测量距离问题
[典例1]　(2025·安徽黄山二模)如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知∠ABM＝30°，∠BAN＝45°，∠MAN＝60°，∠MBN＝90°，AB＝2，则MN＝(　　)
A．5(－1)
B．5
C．5(＋1)
D．10
精研考点·提升素养
√
C　[由题设∠BAM＝105°，∠ABM＝30°，
则∠AMB＝45°，而AB＝2，所以，
则AM＝，
由∠ABN＝120°，∠BAN＝45°，则∠ANB＝15°，
而AB＝2，
又sin 15°＝，所以，
则AN＝＝3，
由MN＝
＝
＝＝5(＋1)．故选C．]
名师点评：距离问题的解题思路：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
[巩固迁移]
1．已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向，且与A相距3 km的B处．乙船位于灯塔A的北偏西50°方向上的C处．若两船相距
km，则乙船与灯塔A之间的距离(单位：km)为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
√
C　[由图可得，AB＝3，BC＝，∠CAB＝，
由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB 19＝AC2＋9＋3AC (AC＋5)(AC－2)＝0 AC＝2．
故选C．]
【教用·备选题】
1．在100 m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B，C两点(B，C与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°，则B，C两点之间的距离为(　　)
A．200 m
B．240 m
C．180 m
D．200 m
√
D　[由题意，BC＝＝100×
＝100×．
而tan 15°tan 75°＝＝1，
所以BC＝100×2＝200(m)．
故选D．]
考点二　测量高度问题
[典例2]某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝50 m，则该古建筑物的高度为(　　)
A．15 m
B．20 m
C．10 m
D．50 m
√
C　[设OM＝x m，在Rt△OMA中，＝tan∠OAM＝tan 30°，OA＝x，在Rt△OMB中，＝tan∠OBM＝tan 60°，OB＝x，在Rt△OMC中，＝tan∠OCM＝tan 45°，OC＝x，在△OAB中，由余弦定理的推论得cos∠OBA＝，在△OBC中，由余弦定理的推论得cos∠OBC＝，因为∠OBA＋∠OBC＝π，所以cos∠OBA＋cos∠OBC＝0，即＝0，解得x＝10，所以该古建筑物的高度为10 m．故选C．]
名师点评：解决高度问题的三个注意事项
(1)要理解仰角、俯角的定义．
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[巩固迁移]
2．[高考改编]三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到
水平面的高度差为_____________．
100(＋2)
100(＋2)　[如图，过C作CH⊥BB'，过B作BD⊥AA'，
故AA'－CC'＝AA'－(BB'－BH)＝AA'－BB'＋100＝AD＋100，
由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB．
所以AA'－CC'＝AD＋100＝DB＋100＝A'B'＋100．
因为∠BCH＝15°，所以CH＝C'B'＝．
在△A'C'B'中，由正弦定理得，
，
而sin 15°＝sin(45°－30°)＝，
所以A'B'＝＝100(＋1)，所以AA'－CC'＝100(＋2)．]
【教用·备选题】
1．如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为(　　)
A．　　 B．
C． D．
√
D　[如图所示，
因为∠APQ＝30°，∠CPB＝90°－α，
所以∠APB＝30°－90°＋α＝α－60°，
则∠PBA＝180°－30°－α＋60°＝180°＋30°－α，
在△PBA中，由正弦定理得，，
则，得PA＝，
在直角三角形PAQ中，sin 60°＝，
得PQ＝．故选D．]
2．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是(　　)
A．27.75 m　　　 B．27.25 m
C．26.75 m D．26.25 m
√
D　[如图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE∽△PQE，可得
EQ＝，
由△NTF∽△PQF，可得
FQ＝，
故EQ－FQ＝＝a，
故PQ＝＝26.25(m)．
故选D．]
考点三　测量角度问题
[典例3]　一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为
12 n mile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的(　　)
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
√
C　[如图，在△ABD中，∠B＝45°，由正弦定理得，则AD＝＝24．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－
2AC·AD·cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得，则sin∠CDA＝，
故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°．
因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，
即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．]
名师点评：解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．
[巩固迁移]
3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为_____________ h，
角α的正弦值为_____________．
2
2　　[设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x km，BC＝10x km，∠ABC＝120°．
在△ABC中，根据余弦定理得＝122＋－240×x×cos 120°，解得x＝2，
故AC＝28 km，BC＝20 km．
根据正弦定理得，
解得sin α＝．]
【教用·备选题】
(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海
底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三
点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处
测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，
于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝_____________．
－
(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线
CB前往B处救援，则cos θ的值为_____________．
(1)－　(2)　[(1)如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
则DF＝＝＝(m)，
DE＝＝＝100(m)，
EF＝＝130(m)，
在△DEF中，由余弦定理的推论得
cos∠DEF＝＝＝－．
(2)由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20，
由正弦定理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝．
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝．]
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
课后作业(三十四)　正弦定理、余弦定理的应用举例
√
A　[由正弦定理得，
∵B＝30°，
∴AB＝＝50(m)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．(2026·湖北恩施模拟)某学生准备测量如图中某建筑物AB的高度，选择高为50 m的大楼CD进行测量，在大楼顶部D处测得该建筑物的顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则该建筑物的高度为(　　)
A．50(－1)m　　　
B．50(＋1)m
C．50(＋1)m
D．50(＋2)m
√
B　[如图，过点D作AB的垂线，垂足为H，则DH＝CA＝CD＝50 m，
得BH＝DH＝50m，则该建筑物的高度为AH＋BH＝50(＋1)m．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
3．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　)
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
B　[如图，
设球的半径为R，则AB＝R，AC＝．
∵BC＝R＝100，
∴R＝
＝＝≈，
∴2R≈≈50.76，故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
二、多项选择题
4．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则(　　)
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了 km
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
√
√
ACD　[A选项中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠BDA＝30°＋60°＝90°，
因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
B选项中，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km，
所以BC＝2 km，故B错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
C选项中，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，
由正弦定理得，即AB＝(km)，故C正确；
D选项中，在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝6＋8－2××2＝2，
即AC＝ km，故D正确．故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
5．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile．当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下列说法正确的是(　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 n mile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h
D．甲、乙两船不可能相遇
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
√
AD　[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝5(n mile)，而B2A2＝5 n mile，∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，
∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，
在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝5 n mile，
由余弦定理得，
题号
2
1
3
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9
题号
2
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9
B1B2＝
＝＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2交于点O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10 n mile，OB2＝5 n mile，OB1＝5(＋1) n mile，
所以甲船从出发到点O用时t1＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝(h)，t1三、填空题
6．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°．已知旗杆CP＝
10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝_________．
题号
2
1
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4
5
6
8
7
9
　[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，
由正弦定理得
PD＝·sin 15°＝，
在△PDC中，PC＝10 m，
故sin∠PCD＝·PD＝，
因为cos θ＝sin∠PCD，所以cos θ＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
7．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°方向，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为________n mile．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2
2　[由题意知，AB＝ n mile，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以BC＝sin∠BAC＝×sin 45°＝2(n mile)．
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile．]
题号
2
1
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8
7
9
四、解答题
8．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶
4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的
最大仰角为θ，求tan θ．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
[解]　(1)设此山高h km，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4 km．
根据正弦定理得，
即，
解得h＝2() km．
所以此山的高度为2()km．
题号
2
1
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8
7
9
(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝．
题号
2
1
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5
6
8
7
9
9．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10 s完成了清扫任务．
(1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．
2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础．
题号
2
1
3
4
5
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8
7
9
[解]　(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2，
设BC＝x，0由题意得A＝90°＋30°＝120°．
在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝－，
整理得，x2－6.6x＋7.28＝0，
解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)，∴BC＝1.4 m．
题号
2
1
3
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5
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8
7
9
(2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4．
∴cos B＝．
题号
2
1
3
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7
9
一、单项选择题
1．在△ABC中，a＝2，A＝，b＝2，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
阶段评估(六)　(第31课时~第34课时)
√
C　[利用正弦定理可知 ，
解得sin B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝或B＝，则C＝π－A－B＝，或C＝π－A－B＝．
根据大边对大角，以上两种情况都符合题意．故选C．]
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
题号
2
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11
12
2．(2026·江苏南通模拟)在△ABC中，若(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac，则B＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
√
C　[由题设(a＋c)2－b2＝ac，则a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝＝－，又0°3．(2026·安徽阜阳模拟)已知△ABC中，a＝3，A＝60°，△ABC有两解，则b的取值范围是(　　)
A．(2，2) B．[3，2]
C．(3，2] D．(3，2)
题号
2
1
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5
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11
12
√
D　[如图，
要使△ABC有两解，则bsin 60°即bsin 60°<3题号
2
1
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9
10
11
12
4．(2025·河北秦皇岛三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
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6
8
7
9
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11
12
√
D　[因为9sin2B＝4sin2A，所以．
根据正弦定理可得，所以b＝．
因为cos C＝－，所以根据余弦定理的推论得cos C＝＝－，
化简可得c2＝，所以．
因为a，c为△ABC的边，a>0，c>0，所以．故选D．]
题号
2
1
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12
5．(2025·湖南邵阳三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cos C＝，且b＝22，则此△ABC的面积为
(　　)
A．176 B．88
C．44 D．22
题号
2
1
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7
9
10
11
12
√
B　[由a＝c由正弦定理知sin A＝sin C，而cos C＝，即0由sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
由正弦定理知，可得a＝10，
故S△ABC＝absin C＝×10×22×＝88．故选B．]
题号
2
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12
6．(2026·山东潍坊模拟)墙上挂着一幅高为1 m的画，画的上端到地面的距离为2 m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角(点A，B与摄像机在同一竖直平面内)，且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
2025课标新变化：具有用函数分析事物的意识．
题号
2
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11
12
√
A　[如图所示，∠ACB为最佳视角，且∠ACB∈，当∠ACB最大时，sin∠ACB最大，
且tan∠ACB最大，又tan∠ACB＝tan(∠ACD－∠BCD)＝，
又设DC＝x(x>0)，
所以tan∠ACD＝，tan∠BCD＝，
题号
2
1
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5
6
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11
12
则≤，
当且仅当x＝，x＝时取等号，
此时sin∠ACB>0，
解得sin∠ACB＝．
故选A．]
题号
2
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11
12
二、多项选择题
7．(2026·四川南充开学考试)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin B＝cos A，则△ABC是直角三角形
C．若sin2A＋sin2BD．若，则△ABC是等边三角形
题号
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12
√
√
CD　[对于A，△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则有2A＝2B或2A＝π－2B，
当2A＝2B时，A＝B，△ABC为等腰三角形；
当2A＝π－2B时，A＝－B，△ABC为直角三角形，
故A选项不正确，
对于B，△ABC中，若sin B＝cos A＝sin，
则B＝－A或B＝π－，
题号
2
1
3
4
5
6
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12
即A＋B＝或B＝＋A，因此△ABC不一定是直角三角形，故B选项不正确；
对于C，△ABC中，若sin2A＋sin2B由余弦定理的推论得cos C＝<0，则C为钝角，△ABC是钝角三角形，故C选项正确；
题号
2
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11
12
对于D，△ABC中，若，即sin＝sin＝sin，
由A，B，C∈(0，π)，得∈，
所以，A＝B＝C，△ABC是等边三角形，故D选项正确．故选CD．]
题号
2
1
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11
12
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝，D为边BC上一动点，则
(　　)
A．BC＝
B．△ABC的外接圆半径为
C．当AD为∠BAC的角平分线时，AD＝
D．当D为BC中点时，AD＝
题号
2
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12
√
√
√
ABC　[对于A，由题意及余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝22＋32－2×2×3×＝7，BC＝，故A正确；
对于B，由A结合正弦定理可知△ABC的外接圆半径为R＝，故B正确；对于C，当AD为∠BAC的角平分线时，则由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得AB×ACsin∠BAC＝AB×ADsin∠BAD＋AD×ACsin∠CAD，所以×2×3sin×2×ADsinAD×3sin，
即AD＋AD，AD＝，故C正确；
题号
2
1
3
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12
对于D，当D为BC中点时，有，
所以×22＋×32＋×2×3cos＝1＋，
所以AD2＝ AD＝，故D错误．
故选ABC．]
题号
2
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三、填空题
9．(2025·上海松江二模)在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东80°的方向，甲、乙两人间的距离为2 km，丙在乙北偏西40°的方向，甲、丙两人间的距离为 km，则乙、丙两人间的距离为_____________km．
题号
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1
1　[如图，设甲、乙、丙所处的位置分别是B，A，C，在△ABC中，A＝80°＋40°＝120°，AB＝2，BC＝．
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
得7＝22＋AC2－2×2×AC×cos 120°
＝4＋AC2－4AC×＝AC2＋4＋2AC，
即AC2＋2AC－3＝0，解得AC＝1(舍负)，
即乙、丙两人间的距离为1 km．]
题号
2
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11
12
10．(2026·华南师大附中模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，S△ABC＝，且b＝3，则△ABC的周长为_____________．
题号
2
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3＋3　[因为，所以(2a－c)cos B＝bcos C，
由余弦定理的推论可得(2a－c)×＝b×，
整理得a2＋c2－b2＝ac，
3＋3
由余弦定理的推论可得cos B＝，
又0因为a2＋c2－b2＝ac，又b＝3，
所以a2＋c2－9＝ac，所以(a＋c)2＝3ac＋9，
又S△ABC＝acsin B＝，所以ac＝3，
所以(a＋c)2＝3ac＋9＝18，所以a＋c＝3，
所以△ABC的周长为3＋3．]
题号
2
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12
四、解答题
11．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－．
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长．
题号
2
1
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12
[解]　(1)由2S＝－，
在△ABC中，得2×AB×BCsin B＝－AB×BCcos B，
即sin B＝－cos B，可得tan B＝－，
因为B∈(0，π)，
所以B＝．
题号
2
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12
(2)因为cos D＝，D∈(0，π)，所以D＝，
所以△ACD为等边三角形，AC＝，∠CAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
由正弦定理知，得
AB＝＝1＝BC，
故四边形ABCD的周长为2＋2．
题号
2
1
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11
12
12．已知f (x)＝sin x·cos．
(1)求f (x)的单调递增区间和对称中心；
(2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，f (A)＝的取值范围．
题号
2
1
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12
[解]　(1)f (x)＝sin x·cos
＝sin x
＝sin xcos x＋sin2x
＝sin 2x＋(1－cos 2x)
＝sin，
题号
2
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11
12
所以函数的单调递增区间满足－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z；
函数的对称中心的横坐标满足2x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
所以函数的对称中心为，k∈Z．
题号
2
1
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6
8
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11
12
(2)因为f (A)＝，
由(1)可得sin＝0，
在锐角三角形中，可得A∈，可得2A－＝0，
解得A＝，
，设t＝，
题号
2
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11
12
由正弦定理可得t＝，
由解得则tan B>，0<<，故有t∈，
题号
2
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11
12
于是＝t＋，t∈，
而g(t)＝t＋上单调递减，
在上单调递增，且g＝g，g(1)＝2，
则．
题号
2
1
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11
12
谢 谢 ！课后作业(三十四)　正弦定理、余弦定理的应用举例
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共65分
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为 (　　)
A．50
m
C．25
m
2．(2026·湖北恩施模拟)某学生准备测量如图中某建筑物AB的高度，选择高为50 m的大楼CD进行测量，在大楼顶部D处测得该建筑物的顶部B的仰角为，则该建筑物的高度为 (　　)
A．50(
＋1)m
C．50(
＋2)m
3．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985) (　　)
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
二、多项选择题
4．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则 (　　)
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了 km
5．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile．当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下列说法正确的是 (　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 n mile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题
6．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°．已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝___________．
7．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°方向，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为___________n mile．
四、解答题
8．(13分)如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ．
9．(15分)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10 s完成了清扫任务．
(1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．
课后作业(三十四)
1．A　2．B
3．B　[如图，设球的半径为R，则AB＝R，AC＝．
∵BC＝R＝100，
∴R＝＝
＝≈，
∴2R≈≈50.76，故选B．]
4．ACD　[A选项中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠BDA＝30°＋60°＝90°，
因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
B选项中，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km，
所以BC＝2 km，故B错误；
C选项中，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，
由正弦定理得，即AB＝(km)，故C正确；
D选项中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝6＋8－2××2＝2，
即AC＝ km，故D正确．
故选ACD．]
5．AD　[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝
5(n mile)，而B2A2＝5 n mile，
∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，
∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，
A1B1＝5 n mile，
由余弦定理得，B1B2＝
＝
＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2交于点O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10 n mile，OB2＝5 n mile，OB1＝5(＋1) n mile，
所以甲船从出发到点O用时t1＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝(h)，t16．　[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，
由正弦定理得
PD＝·sin 15°＝＝，
在△PDC中，PC＝10 m，
故sin∠PCD＝·PD＝，
因为cos θ＝sin∠PCD，
所以cos θ＝．]
7．2　[由题意知，AB＝ n mile，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得，所以BC＝sin∠BAC＝×sin 45°＝2(n mile)．
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile．]
8．解：(1)设此山高h km，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4 km．
根据正弦定理得，
即，
解得h＝2() km．
所以此山的高度为2()km．
(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝．
9．解：(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2，
设BC＝x，0由题意得A＝90°＋30°＝120°．
在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝－，
整理得，x2－6.6x＋7.28＝0，
解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)，
∴BC＝1.4 m．
(2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4．
∴cos B＝＝．
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