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第36课时　平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求]　1．掌握平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
1．(苏教版必修第二册P32练习T1改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝ (　　)
A．(－2，－1)　 B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
2．(人教B版必修第二册P170例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为 (　　)
A．(1，4) B．(1，5)
C．(2，4) D．(2，5)
3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是 (　　)
A．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)
B．e1＝(0，0)，e2＝(2，3)
C．e1＝(－3，4)，e2＝(6，－8)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
4．(北师大版必修第二册P100例2改编)在△ABC中，点M，N满足＝2．若＝x＋y，则x＝___________，y＝___________．
5．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为___________．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2___________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
提醒：若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝__________________，a－b＝__________________，λa＝__________________，|a|＝__________________．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______________________，||＝________________________．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b ______________________．
[二级结论]
1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．
2．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为．
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
3．同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
考点一　平面向量基本定理的应用
[典例1]如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，a，b，AN与BM交于点P，则＝___________(用向量a，b表示)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[巩固迁移]
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 (　　)
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{2e1－e2，－e1＋e2}
C．{e1＋e2，e1＋4e2}
D．{3e1－2e2，－6e1＋4e2}
2．如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P．若＝x＋y，则x＋y＝___________．
考点二　平面向量的坐标运算
[典例2]　(1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为 (　　)
A．　 B．
C． D．
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
(3)在特殊的平面图形中恰当建立平面直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，能使问题的求解更加简便．
[巩固迁移]
3．(1)(2026·辽宁大连模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ (　　)
A．－ B．－
C．－ D．
(2)如图，已知平面内有三个向量的夹角为120°，的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝___________．
考点三　向量共线的坐标表示
　利用向量共线求参数
[典例3]　(1)(2026·湖北重点中学模拟)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，x)，若b∥(2a＋b)，则x＝ (　　)
A．8 B．4
C．2 D．－8
(2)(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是 (　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
　利用向量共线求坐标
[典例4]　已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．
(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
[巩固迁移]
4．(1)在平面直角坐标系中，向量＝(1，4)，＝(2，3)，＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为 (　　)
A．2　　　 B．3
C．4 D．5
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝___________．
(3)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为___________．
第36课时　平面向量基本定理及坐标表示
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．B　3．AD　4．　5．(3，1)或(1，－1)
No2．储备知识要点
1．(1)不共线　有且只有　(2)不共线
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　
3．x1y2－x2y1＝0
精研考点·提升素养
考点一
典例1　b　[设＝ma＋nb，又a，b，
所以．
又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，
所以
所以b．]
巩固迁移
1．C
2．　[因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，所以＝2，
所以)．
又，
所以x＝y＝，x＋y＝．]
考点二
典例2　(1)C　(2)　[(1)因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以)＝．
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，
＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)＝(－2λ＋μ，λ＋2μ)，
∴
解得故λ＋μ＝．]
巩固迁移
3．(1)B　(2)6　[(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
∴
∴λ＝－2，μ＝－，
∴λ＋μ＝－．故选B．
(2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B，C(3，)．
由，
得
所以λ＋μ＝6．]
考点三
考向1　典例3　(1)A　(2)ABD　[(1)向量a＝(1，4)，b＝(2，x)，则2a＋b＝(4，8＋x)，
若b∥(2a＋b)，则4x＝2(8＋x)，解得x＝8．故选A．
(2)由题知＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1·(m＋1)－2m＝0，即m＝1．
所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，则m≠1．故选ABD．]
考向2　典例4　(3，3)　[法一：由O，P，B三点共线，可设＝(4λ，4λ)，则＝(4λ－4，4λ)．
又＝(－2，6)，
由共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且，即x＝y．
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．]
巩固迁移
4．(1)C　(2)　(3)(2，4)　[(1)因为A，B，C三点共线，则，且λ＋μ＝1，即(x，1)＝λ(1，4)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，
则故选C．
(2)因为a＝(2，5)，b＝(λ，4)，a∥b，
所以8－5λ＝0，解得λ＝．
(3)∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴，
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即
∴点D的坐标为(2，4)．]
5/5(共83张PPT)
第36课时　平面向量基本定理及坐标表示
第五章　平面向量、复数
[考试要求]
1．掌握平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
1．(苏教版必修第二册P32练习T1改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则b＝(　　)
A．(－2，－1)　　　　　 B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
以题引理·激活思维
√
D　[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴，
∴＝(－1，2)．故选D．]
2．(人教B版必修第二册P170例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(1，4) B．(1，5)
C．(2，4) D．(2，5)
√
B　[设D(x，y)，则由，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即即D(1，5)．]
3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)
B．e1＝(0，0)，e2＝(2，3)
C．e1＝(－3，4)，e2＝(6，－8)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
√
√
AD　[对于A，∵e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)，
∴1×1－2×(－2)≠0，∴两向量不共线，
∴两向量可作为基底，A正确；
对于B，∵e1＝(0，0)，e2＝(2，3)，
易知两向量共线，
∴两向量不能作为基底，B错误；
对于C，∵e1＝(－3，4)，e2＝(6，－8)，
∴－3×(－8)－4×6＝0，∴两向量共线，
∴两向量不能作为基底，C错误；
对于D，∵e1＝(2，－3)，e2＝，
∴2×－(－3)×≠0，∴两向量不共线，
∴两向量可作为基底，D正确．
故选AD．]
4．(北师大版必修第二册P100例2改编)在△ABC中，点M，N满足，则x＝__________，y＝__________．
　[如图，
)＝，所以x＝，y＝－．]
5．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||，则点P的坐标为_________________．
(3，1)或(1，－1)　[∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||，
∴＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．]
(3，1)或(1，－1)
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
提醒：若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
不共线
有且只有
不共线
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝______________________，a－b＝____________________，
λa＝___________，|a|＝_______．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b ______________．
x1y2－x2y1＝0
[二级结论]
1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．
2．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为．
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
3．同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
考点一　平面向量基本定理的应用
[典例1]如图，在△ABO中，已知＝_____________(用向量a，b表示)．
精研考点·提升素养
b
b　[设＝ma＋nb，又a，b，
所以．
又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，
所以
所以b．]
名师点评：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[巩固迁移]
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　)
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{2e1－e2，－e1＋e2}
C．{e1＋e2，e1＋4e2}
D．{3e1－2e2，－6e1＋4e2}
√
C　[对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，两向量共线，不符合基底的定义，故选项A错误；
对于选项B，2e1－e2＝－2，两向量共线，不符合基底的定义，故选项B错误；
对于选项C，不存在实数λ，使得e1＋e2＝λ(e1＋4e2)，故选项C正确；
对于选项D，－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，两向量共线，不符合基底的定义，故选项D错误．
故选C．]
2．如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P．若，则x＋y＝_____________．
　[因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，所以＝2，
所以)．
又，
所以x＝y＝，x＋y＝．]
考点二　平面向量的坐标运算
[典例2]　(1)在平行四边形ABCD中，的坐标为(　　)
A．
C．
√
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为_____________．
(1)C　(2)　[(1)因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝
(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以)＝．
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)＝(－2λ＋μ，λ＋2μ)，
∴解得故λ＋μ＝．]
名师点评：平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
(3)在特殊的平面图形中恰当建立平面直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，能使问题的求解更加简便．
[巩固迁移]
3．(1)(2026·辽宁大连模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)
A．－
√
(2)如图，已知平面内有三个向量(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝_____________．
6
(1)B　(2)6　[(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
∴
∴λ＝－2，μ＝－，
∴λ＋μ＝－．故选B．
(2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B，C(3，)．
由，
得所以λ＋μ＝6．]
【教用·备选题】
1．在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若，则λ＋μ＝(　　)
A．
D．2
√
B　[设AB＝，如图，以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
A(－1，0)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，
＝(2，0)，＝(1，－1)，＝(2，
，
所以(2，0)＝λ(1，－1)＋μ(2，解得λ＝2－2，μ＝2－，所以λ＋μ＝．故选B．]
2．已知向量的位置，则点P'的坐标为(　　)
A．(－4，3) B．(－3，4)
C．
√
C　[如图，设与x轴正半轴的夹角为α，
由题可得||＝＝5，sin α＝，
cos α＝，则sin(α＋45°)＝sin αcos 45°＋cos αsin 45°
＝，cos(α＋45°)
＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝，设P'(x'，y')，则x'＝||·cos(α＋45°)＝5×，y'＝||·sin(α＋45°)＝5×，所以点P'的坐标为．故选C．]
考点三　向量共线的坐标表示
考向1　利用向量共线求参数
[典例3]　(1)(2026·湖北重点中学模拟)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，x)，若b∥(2a＋b)，则x＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．－8
√
(2)(多选)已知向量＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
√
√
√
(1)A　(2)ABD　[(1)向量a＝(1，4)，b＝(2，x)，则2a＋b＝(4，8＋x)，
若b∥(2a＋b)，则4x＝2(8＋x)，解得x＝8．故选A．
(2)由题知＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1·(m＋1)－2m＝0，
即m＝1．所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，
则m≠1．故选ABD．]
考向2　利用向量共线求坐标
[典例4]　已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____________．
(3，3)　[法一：由O，P，B三点共线，可设＝(4λ，4λ)，则＝(4λ－4，4λ)．
又＝(－2，6)，
由共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3)．
(3，3)
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且，即x＝y．
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．]
名师点评：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．
(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
[巩固迁移]
4．(1)在平面直角坐标系中，向量＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为(　　)
A．2　　　 B．3
C．4 D．5
√
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝_____________．
(3)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_____________．
(2，4)
(1)C　(2)　(3)(2，4)　[(1)因为A，B，C三点共线，则，且λ＋μ＝1，即(x，1)＝λ(1，4)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，
则故选C．
(2)因为a＝(2，5)，b＝(λ，4)，a∥b，
所以8－5λ＝0，解得λ＝．
(3)∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴，
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即
∴点D的坐标为(2，4)．]
一、单项选择题
1．已知点A(1，0)，B(2，2)，向量＝(　　)
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(3，1) D．(－3，－1)
C　[＝(1，2)，＝(1，2)＋(2，－1)＝(3，1)．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(三十六)　平面向量基本定理及坐标表示
√
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝
(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－5，－10) D．(－4，－8)
√
D　[因为a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，
b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选D．]
16
3．(2026·浦东新区校级模拟)下列各组向量中，能作为基底的是
(　　)
A．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)
B．e1＝()
C．e1＝(1，2)，e2＝(2，－1)
D．e1＝(0，0)，e2＝(3，4)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[对于A，由于e2＝－2e1，故不能作为基底，故A错误；
对于B，由于e2＝e1，故不能作为基底，故B错误；
对于C，由于不存在实数λ，使得e1＝λe2，故可以作为基底，故C正确；
对于D，由于e1＝(0，0)为零向量，它与任何一个向量共线，所以不能作为基底，故D错误．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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14
15
16
4．已知点O(0，0)，向量＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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12
13
14
15
√
16
C　[因为＝(2，3)，＝(6，－3)，可得＝(4，
－6)，又因为点P是线段AB的三等分点，则，即点P的坐标为．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
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15
16
【知识拓展】　定比分点坐标公式
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当(λ≠0且λ≠－1)时，，点P的坐标是，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；
当λ<0且λ≠－1时，点P在线段P1P2的
延长线上，称为外分点．
【加固训练】
(1)若过两点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为(　　)
A．－
(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为(　　)
A．(－14，16) B．(22，－11)
C．(6，1) D．(2，4)
√
√
(1)A　(2)D　[(1)设P(x，0)，由定比分点坐标公式y＝得0＝，解得λ＝－．
(2)由，可知P分有向线段所成的比是λ＝2，设O为坐标原点，
所以，则P，即P(2，4)．]
5．(2025·广东广州一模)在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，，则μ＝
(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
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14
15
√
16
C　[因为F是线段DE的中点，
所以)，
又，
所以)＝，
所以μ＝，故选C．]
题号
2
1
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15
16
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝(　　)
A．
题号
2
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15
√
16
A　[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以．]
题号
2
1
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16
7．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，若m∥n，且满足(2a－c)cos B＝
bcos C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角非等腰三角形
题号
2
1
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√
16
B　[由题意，向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，m∥n，则bsin B－asin A＝0，由正弦定理可得b2＝a2，即b＝a．又由(2a－c)cos B＝bcos C，
可得2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，
即2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝
sin A．
∵0又∵b＝a，∴A＝B＝C＝，∴△ABC是等边三角形．]
题号
2
1
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15
16
8．(2026·江苏扬州模拟)如图，已知D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且满足
，则实数λ的值为(　　)
A．2 B．
D．3
题号
2
1
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15
√
16
B　[由D，O，C三点共线，设＝k()＝k，k∈R，
所以(1－k)，①
由B，O，E三点共线，设＝μ()＝μ，μ∈R，
题号
2
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16
所以＝(1－μ)，②
由①②知
故，
由，
由B，F，C三点共线，则＝1，可得λ＝．故选B．]
题号
2
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16
二、多项选择题
9．(2026·辽宁名校联考期末)在△ABC中，点D在边BC所在的直线上，且BD＝4DC，若，则mn的值可能为(　　)
A．－
题号
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15
√
16
√
BC　[因为点D在边BC所在的直线上，且BD＝4DC，所以当点D位于如图1所示的位置时，)＝，
此时m＝，n＝，那么mn＝．
题号
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16
当点D位于如图2所示的位置时，
)＝－＋，
此时m＝－，n＝，那么mn＝－．
故选BC．]
题号
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15
16
10．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若，则(　　)
A．当P为线段OC的中点时，μ＝
B．当P为线段OC的中点时，μ＝
C．无论μ取何值，恒有λ＝
D．存在μ∈R，λ＝
题号
2
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15
√
16
√
AC　[＋λ()＝(1－λ)，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC的中点时，，则1－λ＝，λ＝，解得μ＝，故A正确，B错误．
故选AC．]
题号
2
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16
11．如图，△ABC中，
，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．||
C．＝0
D．S△BFD∶S△AFB＝1∶3
题号
2
1
3
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15
√
16
√
√
ACD　[对于A，根据，
故)＝，故A正确；
对于B，设，
则，
，
题号
2
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16
又，
∵A，F，D三点共线，设，
∴m且m，
∴λ＝，m＝，故B错误；
题号
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16
对于D，由于m＝，
∴S△BFD∶S△AFB＝|FD|∶|AF|＝1∶3，故D正确；
对于C，，
，
，
∴＝0，故C正确．故选ACD．]
题号
2
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13
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15
16
三、填空题
12．已知向量＝(－4，－2)．若B，C，D三点共线，则m＝_____________．
题号
2
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3
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16
－1　[因为向量＝(m，2)，＝(1，3)，
则＝(1－m，1)，
而＝(－4，－2)，
又B，C，D三点共线，则有，
因此－2(1－m)＋4＝0，解得m＝－1．]
－1
13．(2025·湖北武汉一模)已知在梯形ABCD中，
，则x＋y____．
题号
2
1
3
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15
16
　[如图所示：因为在梯形ABCD中，，M为CD边上靠近C的三等分点，所以，，
所以．
又因为，
所以x＝－，y＝，则x＋y＝．]
题号
2
1
3
4
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15
16
14．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则||的取值范围是_____________．
题号
2
1
3
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6
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13
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15
16
[0，2]　[法一(坐标法)：如图，将矩形放在
平面直角坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(－x，－y)＋
(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|
，
[0，2]
转化为矩形内(包括边界)的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等且都是最大值，即．
故||的取值范围是[0，2]．
法二(向量法)：取AB的中点H，易知，
∴||，结合题意可知0≤|．
故||的取值范围为[0，2]．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
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15
16
15．(人教A版必修第二册P53习题6.4T11改编)已知对任意平面向量
后得到点P，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－3，1)
C．(2，5) D．(－2，3)
题号
2
1
3
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8
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16
√
C　[依题意有A(1，2)，B(1－，2＋2＝(－，2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转可以看作点B绕点A沿逆时针方向旋转，向量绕点A沿逆时针方向旋转，
即＝(1，3)，设P(x，y)，则解得x＝2，y＝5，即P(2，5)．故选C．]
题号
2
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16．(2026·海淀区模拟)如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则λ的取值范围是(　　)
A．
C．
2025课标新变化：对向量基本定理的要求全面升级．
题号
2
1
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16
√
D　[如图，在OA的反向延长线上取点C，使得OC＝OA，
过C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，
则CD＝OB，CE＝OB，由于，
要使得P点落在指定区域内，则P点应落在DE上(不含端点处)，
当点P在点D处时，，
当点P在点E处时，，
所以λ的取值范围是．故选D．]
题号
2
1
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谢 谢 ！课后作业(三十六)　平面向量基本定理及坐标表示
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分
一、单项选择题
1．已知点A(1，0)，B(2，2)，向量＝ (　　)
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(3，1) D．(－3，－1)
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝ (　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－5，－10) D．(－4，－8)
3．(2026·浦东新区校级模拟)下列各组向量中，能作为基底的是 (　　)
A．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)
B．e1＝()
C．e1＝(1，2)，e2＝(2，－1)
D．e1＝(0，0)，e2＝(3，4)
4．已知点O(0，0)，向量＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是 (　　)
A．
C．
【知识拓展】　定比分点坐标公式
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当(λ≠0且λ≠－1)时，，点P的坐标是，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ<0且λ≠－1时，点P在线段P1P2的延长线上，称为外分点．
【加固训练】
(1)若过两点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为 (　　)
A．－
(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为 (　　)
A．(－14，16) B．(22，－11)
C．(6，1) D．(2，4)
5．(2025·广东广州一模)在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，，则μ＝ (　　)
A．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝ (　　)
A．
7．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，若m∥n，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，则△ABC的形状是 (　　)
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角非等腰三角形
8．(2026·江苏扬州模拟)如图，已知D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且满足，则实数λ的值为 (　　)
A．2 B．
D．3
二、多项选择题
9．(2026·辽宁名校联考期末)在△ABC中，点D在边BC所在的直线上，且BD＝4DC，若，则mn的值可能为 (　　)
A．－
10．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若，则 (　　)
A．当P为线段OC的中点时，μ＝
B．当P为线段OC的中点时，μ＝
C．无论μ取何值，恒有λ＝
D．存在μ∈R，λ＝
11．如图，△ABC中，，则下列说法正确的是 (　　)
A．
B．||
C．＝0
D．S△BFD∶S△AFB＝1∶3
三、填空题
12．已知向量＝(－4，－2)．若B，C，D三点共线，则m＝___________．
13．(2025·湖北武汉一模)已知在梯形ABCD中，，则x＋y＝___________．
14．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则||的取值范围是___________．
15．(人教A版必修第二册P53习题6.4T11改编)已知对任意平面向量
后得到点P，则点P的坐标为 (　　)
A．(1，3) B．(－3，1)
C．(2，5) D．(－2，3)
16．(2026·海淀区模拟)如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则λ的取值范围是 (　　)
A．
C．
课后作业(三十六)
1．C
2．D　[因为a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选D．]
3．C
4．C　[因为＝(2，3)，＝(6，－3)，可得＝(4，－6)，又因为点P是线段AB的三等分点，则，即点P的坐标为．故选C．]
【加固训练】
(1)A　(2)D　[(1)设P(x，0)，由定比分点坐标公式y＝得0＝，解得λ＝－．
(2)由＝2，可知P分有向线段所成的比是λ＝2，设O为坐标原点，所以，则P，即P(2，4)．]
5．C　[因为F是线段DE的中点，
所以)，
又，
所以)＝，
所以μ＝，故选C．]
6．A　[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以．]
7．B　[由题意，向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，m∥n，则bsin B－asin A＝0，由正弦定理可得b2＝a2，即b＝a．
又由(2a－c)cos B＝bcos C，可得2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，即2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A．∵0又∵b＝a，∴A＝B＝C＝，∴△ABC是等边三角形．]
8．B　[由D，O，C三点共线，设＝k＝k()＝k，k∈R，
所以＋k(1－k)＋k，①
由B，O，E三点共线，设＝μ＝μ()＝μ
＝μ，μ∈R，
所以＋μ＝(1－μ)，②
由①②知
故，
由＝λ＝，
由B，F，C三点共线，则＝1，可得λ＝．故选B．]
9．BC　[因为点D在边BC所在的直线上，且BD＝4DC，所以当点D位于如图1所示的位置时，)＝，
此时m＝，n＝，那么mn＝．
当点D位于如图2所示的位置时，
)＝－＋，
此时m＝－，n＝，那么mn＝－．
故选BC．]
10．AC　[＋λ＋λ()＝(1－λ)＋λ，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC的中点时，，则1－λ＝，λ＝，解得μ＝，故A正确，B错误．故选AC．]
11．ACD　[对于A，根据，
故)＝，故A正确；
对于B，设＝λ，
则＝λ
＝λ，
λ，
又，
∵A，F，D三点共线，设＝m，
则λ＝m，
∴m且λ＝m，
∴λ＝，m＝，故B错误；
对于D，由于m＝，
∴S△BFD∶S△AFB＝|FD|∶|AF|＝1∶3，故D正确；
对于C，，
λ，
＝－，
∴＋2＋2＝0，故C正确．
故选ACD．]
12．－1　[因为向量＝(m，2)，＝(1，3)，
则＝(1－m，1)，
而＝(－4，－2)，
又B，C，D三点共线，则有∥，
因此－2(1－m)＋4＝0，解得m＝－1．]
13．
14．[0，2]　[法一(坐标法)：如图，将矩形放在平面直角坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，||＝＝2，
转化为矩形内(包括边界)的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等且都是最大值，
即＝．
故||的取值范围是[0，2]．
法二(向量法)：取AB的中点H，易知＝2，
∴||＝2||，结合题意可知0≤||≤．
故||的取值范围为[0，2]．]
15．C　[依题意有A(1，2)，B(1－，2＋2＝(－，2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转可以看作点B绕点A沿逆时针方向旋转，
向量绕点A沿逆时针方向旋转，
即＝(1，3)，设P(x，y)，
则解得x＝2，y＝5，即P(2，5)．
故选C．]
16．D　[如图，在OA的反向延长线上取点C，使得OC＝OA，
过C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，
则CD＝OB，CE＝OB，
由于＝－＋λ，
要使得P点落在指定区域内，则P点应落在DE上(不含端点处)，
当点P在点D处时，＝－，
当点P在点E处时，＝－，
所以λ的取值范围是．故选D．]
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