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第37课时　平面向量的数量积及其应用
[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
1．(多选)(北师大版必修第二册P113习题2－5A组T1改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是 (　　)
A．0·a＝0
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b＝0 a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
2．(苏教版必修第二册P49本章测试T9改编)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝ (　　)
A．－3 B．3
C．－5 D．5
3．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为 (　　)
A． B．
C． D．
4．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为___________．
5．(人教B版必修第三册P83例2(1)改编)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝___________．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，向量夹角θ的取值范围是___________．
当___________时，a与b垂直，记作a⊥b；
当___________时，a与b共线且同向；
当___________时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝____．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b___________，叫做向量a在向量b上的__________________，记为__________________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ 　．
(2)模：|a|＝＝______________________．
(3)夹角：cos θ＝＝ 　．
(4)a⊥b的充要条件：a⊥b a·b＝0 ____________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤．
1．计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)利用基向量法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
3．向量夹角与数量积的关系
(1)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线．
(2)两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线．
(3)两个非零向量a，b的夹角为直角 a·b＝0．
考点一　平面向量数量积的运算
[典例1]　已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为___________，的最大值为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解数量积，灵活应用数量积的几何意义解题，可以避免烦琐的代数运算．
[巩固迁移]
1．(2025·江苏苏锡常镇一模)已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为b，则a·(a＋b)＝ (　　)
A．1 B．
C． D．
2．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为___________．
考点二　平面向量数量积的应用
　求向量的模
[典例2]　 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝ (　　)
A． B．
C． D．1
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量的夹角问题
[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为 (　　)
A． B．
C． D．
(2)(2026·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，若∠BAC为锐角，则实数k的取值范围是___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量的垂直问题
[典例4]　(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)求平面向量模的方法
①若a＝(x，y)，则|a|＝．
②利用公式|a|＝．
(2)求平面向量的夹角的方法
设平面向量a，b的夹角为θ．
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝．
③解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[巩固迁移]
3．(2025·河南鹤壁二模)已知向量a，b的夹角为锐角，且满足|a|＝|b|＝1，c＝a＋2b，则向量c的模可以为 (　　)
A． B．2
C．2 D．3
4．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，若(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为 (　　)
A． B．
C． D．π
5．(多选)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，3)，则下列说法中正确的是 (　　)
A．若|a＋b|＝，则m＝4
B．若|a＋b|＝|a－b|，则m＝
C．若a∥b，则m＝－6
D．若向量a，b的夹角为钝角，则m的取值范围是
第37课时　平面向量的数量积及其应用
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．CD　2．A　3．A　4．－e　5.2
No2．储备知识要点
1．[0，π]　θ＝　θ＝0　θ＝π
2．|a||b|cos θ　0
3．投影　投影向量　|a|cos θ e
5．(1)x1x2＋y1y2　(2)　(3)　(4)x1x2＋y1y2＝0
精研考点·提升素养
考点一
典例1　1　1　[法一(坐标法)：
以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，
所以()max＝1．
法二(投影法)：如图，设向量的夹角为θ，则|cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以|2＝1．要使上的投影向量的长度最大为||＝1，
所以()max＝||2＝1．
法三(基向量法)：因为＝()·|2＝1，＝()·|，所以要使最大，只要||最大即可，显然随着点E在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1．]
巩固迁移
1．B　[由a在b上的投影向量为b，得b，则，而b是单位向量，因此a·b＝，
又a是单位向量，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋．故选B．]
2．[4，6]　[·(||·cos∠PAB)，由投影的定义结合图形得，当过点P的直线与半圆弧BC相切于点P且平行于BC时，||cos∠PAB取最大值，最大值为3，此时|·(||·cos∠PAB)＝2×3＝6．
当点P与点C或点B重合时，
cos∠PAB取最小值，最小值为2，
此时·(·cos∠PAB)＝2×2＝4，
∴．]
考点二
考向1　典例2　(1)B　(2)　[(1)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B．
(2)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．]
考向2　典例3　(1)C　(2)　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－62
＝－，
|a|
，
|b|
，
故cos〈a，b〉，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝．
(2)，
因为∠BAC为锐角，
所以>0且不共线，
即
解得k∈，
所以实数k的取值范围是．]
考向3　典例4　　[a－b＝(1，1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以|a|＝．]
巩固迁移
3．C　4．C
5．BC　[A选项，a＋b＝(1，m＋3)，故，解得m＝0或m＝－6，A错误；
B选项，a－b＝(3，m－3)，|a＋b|＝|a－b|，即，
解得m＝，B正确；
C选项，由题意得2×3－×m＝0，解得m＝－6，C正确；
D选项，若向量a，b的夹角为钝角，则a·b<0且a，b不反向共线，故－2＋3m<0且2×3＋m≠0，解得m<且m≠－6，D错误．故选BC．]
6/6(共73张PPT)
第37课时　平面向量的数量积及其应用
第五章　平面向量、复数
[考试要求]
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
1．(多选)(北师大版必修第二册P113习题2－5A组T1改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b＝0 a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
以题引理·激活思维
√
√
CD　[对于A，0·a＝0，故A错误；
对于B，因为(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，
但a与c不一定共线，故B错误；
对于C，因为a·b＝0，所以a⊥b，故C正确；
对于D，由数量积的运算知(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，故D正确．故选CD．]
2．(苏教版必修第二册P49本章测试T9改编)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝(　　)
A．－3 B．3
C．－5 D．5
√
A　[由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，
则b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝－3b2＝－3，故选A．]
3．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．
A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13，
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝．]
√
4．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为_____________．
－e　[向量b在向量a上的投影向量为e．]
－e
5．(人教B版必修第三册P83例2(1)改编)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____________．
2　[a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，|a＋2b|＝＝2．]
2
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，向量夹角θ的取值范围是__________．
当______ 时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
[0，π]
θ＝0
θ＝π
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝__．
|a||b|cos θ
0
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，
叫做向量a在向量b上的___________，记为______________．
投影向量
|a|cos θ e
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__________________．
(2)模：|a|＝．
(3)夹角：cos θ＝．
(4)a⊥b的充要条件：a⊥b a·b＝0 ___________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
．
x1x2＋y1y2＝0
x1x2＋y1y2
1．计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)利用基向量法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
3．向量夹角与数量积的关系
(1)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线．
(2)两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线．
(3)两个非零向量a，b的夹角为直角 a·b＝0．
考点一　平面向量数量积的运算
[典例1]　已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为_____________．
精研考点·提升素养
1　1　[法一(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，
所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1．
1
1
法二(投影法)：如图，设向量的夹角为θ，则|cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以|2＝1．要使
上的投影向量的长度最大为||＝1，
所以()max＝||2＝1．
法三(基向量法)：因为＝()·|2＝1，＝()·|，所以要使最大，只要||最大即可，显然随着点E在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1．]
名师点评：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解数量积，灵活应用数量积的几何意义解题，可以避免烦琐的代数运算．
[巩固迁移]
1．(2025·江苏苏锡常镇一模)已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为b，则a·(a＋b)＝(　　)
A．1 B．
√
B　[由a在b上的投影向量为b，得b，则，而b是单位向量，因此a·b＝，
又a是单位向量，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋．故选B．]
2．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为_____________．
[4，6]
[4，6]　[，由投影的定义结合图形得，当过点P的直线与半圆弧BC相切于点P且平行于BC时，||cos∠PAB取最大值，最大值为3，此时|·
(||cos∠PAB)＝2×3＝6．
当点P与点C或点B重合时，cos∠PAB取最小值，最小值为2，
此时＝2×2＝4，
∴．]
【教用·备选题】
1．已知△ABC是边长为1的正三角形，＝(　　)
A．　　　D．1
√
A　[由可知E为BC的中点，所以AE⊥BC，AE＝．
，
所以．]
2．若非零向量a，b满足，则a＋2b在b方向上的投影向量为(　　)
A．2b B．
b
√
B　[根据，
所以2cos〈a，b〉＋＝0，
则cos〈a，b〉＝－，
所以a·b＝－，则a＋2b在b方向上的投影向量为b．
故选B．]
3．(2025·北京昌平二模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则a·b＝__________，(2a＋b)·c＝_____________．
0
－5
0　－5　[如图，建立平面直角坐标系，
则a＝(1，－1)，b＝(1，1)，c＝(－1，2)，
所以a·b＝1－1＝0，2a＋b＝(2，－2)＋(1，1)＝(3，－1)，(2a＋b)·c＝－3－2＝－5．]
考点二　平面向量数量积的应用
考向1　求向量的模
[典例2]　 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A．
D．1
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝_____________．
√
(1)B　(2)　[(1)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B．
(2)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．]
考向2　向量的夹角问题
[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A．
(2)(2026·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，
若∠BAC为锐角，则实数k的取值范围是_____________________．
√
(1)C　(2)　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6，
|a|＝，
|b|＝，
故cos〈a，b〉＝，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝．
(2)，
因为∠BAC为锐角，
所以>0且不共线，
即
解得k∈，
所以实数k的取值范围是．]
【教用·备选题】
若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是______________________．
　[因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，所以4k－6－6<0，所以k<3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是．]
考向3　向量的垂直问题
[典例4]　(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝_____________．
　[a－b＝(1，1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以|a|＝．]
名师点评：(1)求平面向量模的方法
①若a＝(x，y)，则|a|＝．
②利用公式|a|＝．
(2)求平面向量的夹角的方法
设平面向量a，b的夹角为θ．
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝．
③解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[巩固迁移]
3．(2025·河南鹤壁二模)已知向量a，b的夹角为锐角，且满足|a|＝|b|＝1，c＝a＋2b，则向量c的模可以为(　　)
A．
D．3
√
C　[设向量a，b的夹角为θ，因为向量a，b的夹角为锐角，所以0因为c＝a＋2b，所以c2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2
＝5＋4cos θ∈(5，9)，
所以|c|∈(，3)．故选C．]
4．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，若(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为(　　)
A．
D．π
√
C　[因为(a＋b)⊥(3a－2b)，所以(a＋b)·(3a－2b)＝0，
则a·b＝2|b|2－3|a|2，
又|a|＝|b|，
则a·b＝2|b|2－3|b|2，
所以cos〈a，b〉＝，
又0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为．]
5．(多选)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|a＋b|＝，则m＝4
B．若|a＋b|＝|a－b|，则m＝
C．若a∥b，则m＝－6
D．若向量a，b的夹角为钝角，则m的取值范围是
√
√
BC　[A选项，a＋b＝(1，m＋3)，故，解得m＝0或m＝－6，A错误；
B选项，a－b＝(3，m－3)，|a＋b|＝|a－b|，即，解得m＝，B正确；
C选项，由题意得2×3－×m＝0，解得m＝－6，C正确；
D选项，若向量a，b的夹角为钝角，则a·b<0且a，b不反向共线，故－2＋3m<0且2×3＋m≠0，解得m<且m≠－6，D错误．故选BC．]
一、单项选择题
1．(2025·河南省安阳三模)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，λ)，若a⊥b，则λ的值为(　　)
A．
B　[由a⊥b，得a·b＝2＋3λ＝0，解得λ＝－．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(三十七)　平面向量的数量积及其应用
√
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
√
C　[因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|·cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，
|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6(负根舍去)．故选C．]
16
3．(2025·黑龙江大庆一模)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是边BC上的动点，则)(　　)
A．为定值16
B．为定值32
C．最大值为32
D．与P的位置有关
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
B　[如图，取BC的中点为D，连接AD，
因为△ABC为等腰三角形，所以AD⊥BC，
又AB＝AC＝5，BC＝6，
所以AD＝＝4．
所以·()＝2|2＝32．
所以·()为定值32．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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12
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15
16
4．(2025·浙江温州二模)若向量a，b满足|b|＝3，a·b＝－6，则a在b上的投影向量是(　　)
A．－ b
C． b
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
√
D　[设所求投影向量是mb，则a·b＝mb·b＝m·|b|2＝9m＝－6，所以m＝－，即a在b上的投影向量是－b．故选D．]
16
5．(2025·福建泉州一模)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|a－2b|＝，则a与b的夹角为(　　)
A．
题号
2
1
3
4
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6
8
7
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12
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15
√
C　[由|a－2b|＝，得a2－4a·b＋4b2＝3，而|a|＝|b|＝1，则a·b＝，cos〈a，b〉＝，而0≤〈a，b〉≤π，
所以a与b的夹角为．故选C．]
16
6．已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　)
A．－
题号
2
1
3
4
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6
8
7
9
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11
12
13
14
15
√
16
D　[因为|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，等式两边同时平方得c2＝a2＋b2＋2a·b，
即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0．
法一：a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，
所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，
且|a－c|＝|2a＋b|＝，
|b－c|＝|a＋2b|＝，
所以cos〈a－c，b－c〉＝．
题号
2
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6
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16
法二：如图，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，
所以a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，
则cos〈a－c，b－c〉
＝＝．]
题号
2
1
3
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12
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15
16
7．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝(　　)
A．8
B．－8
C．4
D．－4
题号
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8
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15
√
16
B　[法一：cos∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos∠CAB＝AO＝2，所以×2＝－8．故选B．
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，
∴＝－8．故选B．]
题号
2
1
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6
8
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15
16
8．(2025·江西上饶一模)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
题号
2
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3
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15
√
16
D　[如图，以＝16，＝4，＝4×2cos 60°＝4．
且，
所以
＝－
＝－×4＋4＝3．
故选D．]
题号
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二、多项选择题
9．(2025·陕西省安康三模)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则(　　)
A．|a|＝
B．a＋2b＝(3，0)
C．cos〈a，b〉＝
D．a在b上的投影向量的坐标为
题号
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√
16
√
√
ABD　[因为a＝(1，2)，则|a|＝，故A正确；b＝(1，－1)，则2b＝(2，－2)，则a＋2b＝(3，0)，故B正确；a·b＝1×1＋2×(－1)＝－1，则cos〈a，b〉＝，故C错误；a在b上的投影向量为，故D正确．故选ABD．]
题号
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6
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16
10．(2025·贵州黔南三模)已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－2)，且b在a上的投影向量为c，则(　　)
A．若a∥b，则m＝－3
B．若|a－b|＝|a＋b|，则m＝1
C．若c＝2a，则m＝5
D．若c＝－
题号
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10
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√
16
√
BD　[对于A，因为a∥b，故2×(－2)＝1×m，故m＝－4，故A错误；
对于B，因为|a－b|＝|a＋b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0，
故2m＋1×(－2)＝0，故m＝1，故B正确；
对于C，b在a上的投影向量为a＝2a，
故＝2，故＝2，即m＝6，故C错误；
对于D，由C的分析可得，故a·b＝－，故D正确．故选BD．]
题号
2
1
3
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15
16
11．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A．||
B．||
C．
D．
题号
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15
√
16
√
AC　[由题可知，|＝1，
|＝1，
所以||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，
则P2，则||，故B错误；
题号
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16
因为＝cos(α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以，故C正确；
因为＝cos α，
＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则，故D错误．故选AC．]
题号
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三、填空题
12．(2026·江西新余模拟)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(x，3)的夹角为锐角，则实数x的取值范围是________________________．
题号
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　[由题可得a·b>0且a，b不共线，则 x>－6且x≠．]
13．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_____________．
题号
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－　[法一：由a＋b＋c＝0 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－．
－
法二：由a＋b＝－c a2＋b2＋2a·b＝c2 a·b＝－，
由a＋c＝－b a2＋c2＋2a·c＝b2 a·c＝－，
由b＋c＝－a b2＋c2＋2b·c＝a2 b·c＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
题号
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1
3
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8　[∵＝()·()
＝()·()＝＝20，
∴＝24，
∴＝()·()＝＝24－16＝8．]
14．[教材改编]如图所示，已知△ABC中，P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若BC＝8，______．
题号
2
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8
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8
15．(2026·四川成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为(　　)
A．
D．2
题号
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16
√
B　[依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝，
即(x，y)满足＝1．
而|c－a|可以看作圆＝1上的一点到点(1，0)的距离，
所以|c－a|的最大值即为，故选B．]
题号
2
1
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16．已知△ABC的面积S满足夹角的取值范围为_____________．
题号
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16
　[∵＝3，
∴的夹角θ为锐角，
则||cos θ＝3，∴|，
又S∈，∴|sin(π－θ)≤，
∴|sin θ≤，
∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1，
∴，
∴．]
题号
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谢 谢 ！课后作业(三十七)　平面向量的数量积及其应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分
一、单项选择题
1．(2025·河南省安阳三模)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，λ)，若a⊥b，则λ的值为 (　　)
A．
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝ (　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
3．(2025·黑龙江大庆一模)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是边BC上的动点，则) (　　)
A．为定值16 B．为定值32
C．最大值为32 D．与P的位置有关
4．(2025·浙江温州二模)若向量a，b满足|b|＝3，a·b＝－6，则a在b上的投影向量是 (　　)
A．－
b
C．
b
5．(2025·福建泉州一模)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|a－2b|＝，则a与b的夹角为 (　　)
A．
6．已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝ (　　)
A．－
7．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝ (　　)
A．8 B．－8
C．4 D．－4
8．(2025·江西上饶一模)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，＝ (　　)
A．1 B．
C．2 D．3
二、多项选择题
9．(2025·陕西省安康三模)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则 (　　)
A．|a|＝
B．a＋2b＝(3，0)
C．cos〈a，b〉＝
D．a在b上的投影向量的坐标为
10．(2025·贵州黔南三模)已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－2)，且b在a上的投影向量为c，则 (　　)
A．若a∥b，则m＝－3
B．若|a－b|＝|a＋b|，则m＝1
C．若c＝2a，则m＝5
D．若c＝－
11．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则 (　　)
A．||
B．||
C．
D．
三、填空题
12．(2026·江西新余模拟)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(x，3)的夹角为锐角，则实数x的取值范围是___________．
13．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝___________．
14．[教材改编]如图所示，已知△ABC中，P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若BC＝8，＝___________．
15．(2026·四川成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为 (　　)
A．
D．2
16．已知△ABC的面积S满足≤2S≤3，且＝3，的夹角为θ，则夹角的取值范围为___________．
课后作业(三十七)
1．B　2．C
3．B　[如图，取BC的中点为D，连接AD，
因为△ABC为等腰三角形，所以AD⊥BC，
又AB＝AC＝5，BC＝6，
所以AD＝＝4．
所以·()＝2＝2||·||cos∠PAD＝2||2＝32．
所以·()为定值32．故选B．]
4．D　[设所求投影向量是mb，则a·b＝mb·b＝m·|b|2＝9m＝－6，所以m＝－，
即a在b上的投影向量是－b．故选D．]
5．C　[由|a－2b|＝，得a2－4a·b＋4b2＝3，而|a|＝|b|＝1，则a·b＝，
cos〈a，b〉＝，而0≤〈a，b〉≤π，
所以a与b的夹角为．故选C．]
6．D
7．B　[法一：＝－＝－cos∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos∠CAB＝AO＝2，所以×2＝－8．故选B．
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，∴＝－8．故选B．
]
8．D　[如图，
以＝16，＝4，＝4×2cos 60°＝4．
且＝－，
所以·
＝－
＝－×16＋×4＋4＝3．
故选D．]
9．ABD　[因为a＝(1，2)，则|a|＝，故A正确；b＝(1，－1)，则2b＝(2，－2)，则a＋2b＝(3，0)，故B正确；a·b＝1×1＋2×(－1)＝－1，则cos〈a，b〉＝＝－，故C错误；a在b上的投影向量为b＝－b＝，故D正确．故选ABD．]
10．BD　[对于A，因为a∥b，故2×(－2)＝1×m，故m＝－4，故A错误；
对于B，因为|a－b|＝|a＋b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0，
故2m＋1×(－2)＝0，故m＝1，故B正确；
对于C，b在a上的投影向量为a＝2a，
故＝2，故＝2，即m＝6，故C错误；
对于D，由C的分析可得＝－，
故a·b＝－，故D正确．故选BD．]
11．AC　[由题可知，||＝＝1，||＝＝1，
所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，
则P2，则||≠||，故B错误；
因为＝cos(α＋β)，
＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以，故C正确；
因为＝cos α，＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，
则＝cos＝－≠，故D错误．故选AC．]
12．∪　13．－
14．8　[∵＝()·()＝()·()＝＝20，∴＝24，
∴＝()·()＝＝24－16＝8．]
15．B　[依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝，
即(x，y)满足＝1．
而|c－a|可以看作圆＝1上的一点到点(1，0)的距离，
所以|c－a|的最大值即为＋1＝1＋，故选B．]
16．　[∵＝3，
∴的夹角θ为锐角，
则||||cos θ＝3，
∴||||＝，
又S∈，
∴|||sin(π－θ)≤，
∴|||sin θ≤，
∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1，
∴≤θ≤，
∴．]
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