资源简介 第38课时 平面向量中的综合问题[考试要求] 1．能用向量的方法解决某些简单的平面几何问题(如三角形四心、平面向量中的范围、最值等)．2．能用向量的方法解决某些简单的物理问题(如航行、力的合成与分解、风速等)．考点一 平面向量在几何中的应用[典例1] (1)已知非零向量，则△ABC为 ( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形(2)(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是 ( )A．若，则P是△ABC的垂心B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心D．若＝0，则N是△ABC的重心[巩固迁移]1．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为___________．考点二 平面向量在物理中的应用[典例2] (多选)(2025·安徽黄山二模)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行，已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π)，则下列说法正确的为 ( )A．当船的航行时间最短时，θ＝B．当船的航行距离最短时，cos θ＝C．当θ＝时，船的航行时间为6分钟D．当θ＝ km2025课标新变化：跨学科应用素养． 名师点拨：用向量方法解决物理(几何)问题的步骤物理(几何)问题向量问题解决向量问题解决物理(几何)问题．[巩固迁移]2．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为 ( )级数 名称 风速大小(单位：m/s)2 轻风 1.6~3.33 微风 3.4~5.44 和风 5.5~7.95 劲风 8.0~10.7A．轻风 B．微风C．和风 D．劲风考点三 平面向量中的范围、最值问题[典例3] 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则)的最小值是 ( )A．－2 B．－C．－ D．－1 名师点评：平面向量中的范围、最值问题的求解方法主要有两种：函数单调性法和基本不等式法．转化的技巧有建系坐标法、极化恒等式、矩形大法等，其中利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解．[巩固迁移]3．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是 ( )A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6]4．(2025·江苏黄前高级中学月考)△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且＝x＋y，则x2＋y2的最小值是 ( )A． B．C．1 D．25．在平面内，⊥，||＝||＝1，．若||<，则||的取值范围是 ( )A． B．C． D．【知识拓展】 平面向量的矩形大法如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的关系：①PA2＋PC2＝PB2＋PD2 ；②． (人教A版必修第二册P24习题6.2拓广探索的第22，23题隐含给出了该结论)【加固训练】(1)如图，已知O为矩形P1P2P3P4内的一点，满足OP1＝4，OP3＝5，P1P3＝7，则的值为___________．(2)已知|a|＝|b|＝2，|c|＝1，(a－c)·(b－c)＝0，则|a－b|的取值范围是 ( )A．[－1，＋1] B．C．[－1，＋1] D．第38课时 平面向量中的综合问题精研考点·提升素养考点一典例1 (1)D (2)ACD [(1)∵，∴，∴cos〈〉＝cos〈〉，∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形，又∵，∴cos〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D．(2)对于A，由题意可得·()＝＝0，所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；对于B，如图，设，则||＝1，以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，则，所以，又因为AQ平分∠BAC，故直线AP必经过△ABC的内心，故B错误；对于C，因为||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确；对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意得，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．]巩固迁移1． [以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，设，则E(3λ，λ)，故＝(3λ，)．因为BE⊥AC，所以＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，故，|，即ED＝．]考点二典例2 AC [对于A，将船的速度v1和水流速度v2进行合成，船垂直河岸方向的分速度v＝|v1|sin θ，河宽d＝500 m＝0.5 km，则渡河时间t＝，当sin θ＝1，即θ＝时，t取得最小值，所以当船的航行时间最短时，θ＝，故A正确；对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，则cos(π－θ)＝，所以cos θ＝－，故B错误；对于C，当θ＝时，船垂直河岸方向的分速度v＝|v1|sin θ＝10×＝5 km/h，船的航行时间t＝ h，即6分钟，故C正确；对于D，将船的速度v1和水流速度v2进行合成，合速度记为v0，则v0＝v1＋v2，当θ＝时，v1·v2＝|v1||v2|cos＝－10，所以|v0|＝＝＝2 km/h，因为船垂直河岸方向的分速度v＝|v1|sin θ＝10× km/h，所以船的航行时间t＝ h，所以船的航行距离为|v0|·t＝2 km，故D错误．故选AC．]巩固迁移2．A考点三典例3 B [法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有，则·()＝2＝2()·()＝2(||2)．而|，当点P与点E重合时，||2有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2|．故选B．法二(坐标法)：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2，当x＝0，y＝·()取得最小值，最小值为－．故选B．]巩固迁移3．D [由题意易知，点P是单位圆C(C为圆心)上的动点，AB＝5．设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得，又|，即|，故|，|，∴()min＝＝－4，()max＝＝6．故的取值范围是[－4，6]．故选D．]4．A [由D是AC的中点得，所以，因为B，H，D三点共线，所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，所以x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5，当y＝时等号成立，此时x＝．故x2＋y2的最小值为，故选A．]5．D加固训练(1)－4 (2)C [(1)由矩形大法知，由余弦定理得cos∠P1OP3＝，所以＝||cos∠P1OP3＝＝＝－4．(2)如图，作＝a，＝b，＝c，则a－c＝，b－c＝．由(a－c)·(b－c)＝0，得＝0，故CA⊥CB．以CA，CB为邻边作矩形CBDA，由矩形大法知OC2＋OD2＝OA2＋OB2．因为OA＝OB＝2，OC＝1，代入上式得OD＝|，而|||，即＋1，故|a－b|的取值范围是[－1，＋1]．]4/4(共68张PPT)第38课时 平面向量中的综合问题第五章 平面向量、复数[考试要求]1．能用向量的方法解决某些简单的平面几何问题(如三角形四心、平面向量中的范围、最值等)．2．能用向量的方法解决某些简单的物理问题(如航行、力的合成与分解、风速等)．精研考点·提升素养考点一 平面向量在几何中的应用[典例1] (1)已知非零向量，则△ABC为( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形√(2)(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是( )A．若，则P是△ABC的垂心B．若，则直线AP必过△ABC的外心C．若||，则O为△ABC的外心D．若＝0，则N是△ABC的重心√√√(1)D (2)ACD [(1)∵，∴，∴cos〈〉＝cos〈〉，∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形，又∵，∴cos〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D．(2)对于A，由题意可得·()＝＝0，所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；对于B，如图，设，则||＝1，以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，则，所以，又因为AQ平分∠BAC，故直线AP必经过△ABC的内心，故B错误；对于C，因为||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确；对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意得，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．]【教用·名师点拨】向量具有形和数的双重属性，解题的关键是把几何问题向量化．[巩固迁移]1．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为_____________． [以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，设，则E(3λ，λ)，故＝(3λ，)．因为BE⊥AC，所以＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，故，|，即ED＝．]考点二 平面向量在物理中的应用[典例2] (多选)(2025·安徽黄山二模)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行，已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π)，则下列说法正确的为( )A．当船的航行时间最短时，θ＝B．当船的航行距离最短时，cos θ＝C．当θ＝时，船的航行时间为6分钟D．当θ＝ km2025课标新变化：跨学科应用素养．√√AC [对于A，将船的速度v1和水流速度v2进行合成，船垂直河岸方向的分速度v＝|v1|sin θ，河宽d＝500 m＝0.5 km，则渡河时间t＝，当sin θ＝1，即θ＝时，t取得最小值，所以当船的航行时间最短时，θ＝，故A正确；对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，则cos(π－θ)＝，所以cos θ＝－，故B错误；对于C，当θ＝时，船垂直河岸方向的分速度v＝|v1|sin θ＝10×＝5 km/h，船的航行时间t＝ h，即6分钟，故C正确；对于D，将船的速度v1和水流速度v2进行合成，合速度记为v0，则v0＝v1＋v2，当θ＝时，v1·v2＝|v1||v2|cos＝－10，所以|v0|＝ km/h，因为船垂直河岸方向的分速度v＝|v1|sin θ＝10× km/h，所以船的航行时间t＝ h，所以船的航行距离为|v0|·t＝2 km，故D错误．故选AC．]名师点拨：用向量方法解决物理(几何)问题的步骤物理(几何)问题 向量问题 解决向量问题 解决物理(几何)问题．[巩固迁移]2．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为( )A．轻风B．微风C．和风D．劲风√级数 名称 风速大小(单位：m/s)2 轻风 1.6~3.33 微风 3.4~5.44 和风 5.5~7.95 劲风 8.0~10.7A [真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，|∈(1.6，3.3)，故选A．]考点三 平面向量中的范围、最值问题[典例3] 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则)的最小值是( )A．－2 B．－D．－1√B [法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有，则·()＝2＝2()·()＝2(||2)．而|，当点P与点E重合时，||2有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2|．故选B．法二(坐标法)：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2，当x＝0，y＝·()取得最小值，最小值为－．故选B．]名师点评：平面向量中的范围、最值问题的求解方法主要有两种：函数单调性法和基本不等式法．转化的技巧有建系坐标法、极化恒等式、矩形大法等，其中利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解．【教用·备选题】1．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值是( )A．√B [如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得，所以当点P与点A(B)重合时，||最大，最大值为)max＝2．]2．已知A，P，Q是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ所对的圆心角为120°，则的最大值为( )A．6 B．3C．√A [因为弦PQ所对的圆心角为120°，且圆的半径为2，所以，取PQ的中点B，所以＝1，如图所示．因为|2－3，所以若最大，只需||最大，所以|＋r＝1＋2＝3，所以＝32－3＝6．故选A．]3．边长为1的正方形有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是_____________． [如图所示，设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，＝()·()＝|，当P为正方形ABCD的某边的中点时，|，当P与正方形ABCD的顶点重合时，|，即．][巩固迁移]3．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是( )A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6]√D [由题意易知，点P是单位圆C(C为圆心)上的动点，AB＝5．设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得，又|，即|，故|，|，∴()min＝＝－4，()max＝＝6．故的取值范围是[－4，6]．故选D．]4．(2025·江苏黄前高级中学月考)△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2＋y2的最小值是( )A．C．1 D．2√A [由D是AC的中点得，所以，因为B，H，D三点共线，所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，所以x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5，当y＝时等号成立，此时x＝．故x2＋y2的最小值为，故选A．]5．在平面内，|的取值范围是( )A．C．√D [法一(矩形大法)：如图(1)，由矩形大法知||2，所以12＋12＝||2＝2，所以||2．因为|，所以0≤||2≤2，所以|2≤2，解得．法二(坐标法)：建立如图(2)所示的平面直角坐标系，设AB1＝a，AB2＝b，O(x，y)，则B1(a，0)，B2(0，b)，P(a，b)，(x－a)2＋y2＝1且x2＋(y－b)2＝1，可得(x－a)2＋(y－b)2＝2－x2－y2．因为|，所以(x－a)2＋(y－b)2<，从而2－x2－y2<，即x2＋y2>．因为(x－a)2＋y2＝1，x2＋(y－b)2＝1，所以x2≤1，y2≤1，则x2＋y2≤2，故＋y2≤2，所以|．]【知识拓展】 平面向量的矩形大法如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的关系：①PA2＋PC2＝PB2＋PD2 ；②．(人教A版必修第二册P24习题6.2拓广探索的第22，23题隐含给出了该结论)【加固训练】(1)如图，已知O为矩形P1P2P3P4内的一点，满足OP1＝4，OP3＝5，P1P3＝7，则的值为_____________．－4(2)已知|a|＝|b|＝2，|c|＝1，(a－c)·(b－c)＝0，则|a－b|的取值范围是( )A．[C．[√(1)－4 (2)C [(1)由矩形大法知，由余弦定理得cos∠P1OP3＝，所以＝＝－4．(2)如图，作＝a，＝b，＝c，则a－c＝，b－c＝．由(a－c)·(b－c)＝0，得＝0，故CA⊥CB．以CA，CB为邻边作矩形CBDA，由矩形大法知OC2＋OD2＝OA2＋OB2．因为OA＝OB＝2，OC＝1，代入上式得OD＝|，而|||，即＋1，故|a－b|的取值范围是[－1，＋1]．]一、单项选择题1．物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W＝F·S(其中W是功，F是力，S是位移)．一物体在力F1＝(2，4)和F2＝(－5，3)的作用下，由点A(1，0)移动到点B(2，4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功为( )A．25 B．5C．－5 D．－25题号135246879101112课后作业(三十八) 平面向量中的综合问题√A [因为F1＝(2，4)，F2＝(－5，3)，所以F1＋F2＝(－3，7)，又A(1，0)，B(2，4)，所以＝(1，4)，故W＝(F1＋F2)·＝－3×1＋7×4＝25．故选A．]题号135246879101112题号2134568791011122．设P是△ABC所在平面内一点，若，则点P是△ABC的( )A．外心 B．内心C．重心 D．垂心√A [由·()＝2，得·()＝0，即·[()＋()]＝0，所以·()＝0．设D为AB的中点，则＝0，故＝0．由，得()·()＝－2，即()·＝0．设E为BC的中点，则(2)·＝0，则2＝0，故＝0．所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．]题号2134568791011123．在四边形ABCD中，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝( )A． B．5C．10 D．20题号213456879101112√B [因为＝(1，2)，＝(－4，2)，所以＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，又|，|，所以四边形ABCD的面积S＝＝5．]4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为( )A．(0，16)B．[0，16]C．(0，4)D．[0，4]题号213456879101112√B [取CD的中点E，连接PE，则，由极化恒等式得－4，设AB的中点为O，连接OE交圆弧于点H，则当点P与点H重合时，||最小，最小值为2，此时|＝4．当点P与点A或点B重合时，||最大，最大值为，此时|＝20，所以．故选B．]题号2134568791011125．(2025·江苏南京二模)在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD的中点，F是线段BE上的动点，则的最小值为( )A．－题号213456879101112√C [以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，所以A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，E(0，1)，而F是线段BE上的动点，从而可设＋(1－λ)＝(2λ，0)＋(0，1－λ)＝(2λ，1－λ)，λ∈[0，1]，所以点F的坐标是(2λ，1－λ)，题号213456879101112所以＝(2－2λ，－1＋λ)，＝(1－2λ，1＋λ)，＝(2－2λ)(1－2λ)＋(－1＋λ)(1＋λ)＝4λ2－6λ＋2＋λ2－1＝5λ2－6λ＋1＝5，λ∈[0，1]，所以当λ＝有最小值，最小值是－．故选C．]题号2134568791011126．已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )A．[]C．[]题号213456879101112√A [a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以点(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故＋1，∴＋1．]题号213456879101112二、多项选择题7．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A．若)，则点D是边BC的中点B．若，则直线AD过△ABC的垂心C．若，则点D在边BC的延长线上D．若，则△BCD的面积是△ABC面积的一半题号213456879101112√√√ABD [对于A，∵)，即，即点D是边BC的中点，故A正确；对于B，＝(－||)＝0，即AD⊥BC，故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；题号213456879101112对于C，∵，即，即点D在边CB的延长线上，故C错误；对于D，∵，且x＋y＝，设，则，且2x＋2y＝1，故M，B，C三点共线，且||，即△BCD的面积是△ABC面积的一半，故D正确．]题号2134568791011128．(2026·广东开学考试)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机沿x轴正方向线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1，－1)(单位：m/s)，则( )题号213456879101112A．地速大小为5 m/sB．地速向量的方向与空速向量方向相同C．纵向偏移量与标准值无偏差D．该无人机需要调整飞行姿态2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础．题号213456879101112√√√ACD [设空速向量为a，风速向量为b，地速向量为c，则a＝(3，4)，b＝(1，－1)，所以c＝a＋b＝(3，4)＋(1，－1)＝(4，3)，所以|c|＝＝5，所以地速大小为5 m/s，故A正确；由a＝(3，4)，c＝(4，3)可知地速向量的方向与空速向量方向不相同，故B错误；由于纵向偏移量为4 m/s，与标准值无偏差，故C正确；由于无人机沿x轴正方向线路巡检，而地速向量为c＝(4，3)，横向偏移量大于2 m/s，所以需要调整飞行姿态，故D正确．故选ACD．]题号213456879101112三、填空题9．一条两岸平行的河流，水流速度为1 m/s，小船的速度为2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝___________________的方向行驶．题号213456879101112与水速成120°角与水速成120°角 [如图所示，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与河岸垂直，又|v水|＝||＝1，|v船|＝||＝2，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝30°．所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．]题号21345687910111210．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos〈b，3b－a〉的最小值是_____________．题号213456879101112 [由|a－3b|＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1．又因为|a|＝|b|，所以a·b＝，所以cos〈b，3b－a〉＝，当且仅当|b|＝时取等号，所以cos〈b，3b－a〉的最小值是．]四、解答题11．如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上．已知物体M的重力大小为20 N，且∠AOM＝150°，当角θ为多少时，绳OB承受的拉力最小？题号213456879101112[解]作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为，则||＝20，以ON为对角线作平行四边形OPNQ，则，||是绳OB承受的拉力大小，由∠AOM＝150°，得∠AON＝30°，所以∠ONQ＝∠AON＝30°，在△ONQ中，由正弦定理得，题号213456879101112即，可得|，结合0°<θ<180°，可知当θ＝90°时，||取到最小值10．综上所述，当角θ＝90°时，绳OB承受的拉力最小．题号21345687910111212．如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是正方形ABCD所在平面上一点，且满足2的最小值．题号213456879101112[解] (1)因为直线l过中心O且与两边AB，CD分别交于点M，N．所以O为MN的中点，所以，所以＝()·()＝||2．因为Q是BC的中点，所以||＝1，1≤|，所以－1≤||2≤0，即的取值范围为[－1，0]．题号213456879101112(2)令＋(1－λ)，∴，∴，∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所以||≥1，从而|＝()·()＝||2，因为1≤|，所以，即的最小值为－．题号213456879101112谢 谢 ！课后作业(三十八) 平面向量中的综合问题说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分一、单项选择题1．物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W＝F·S(其中W是功，F是力，S是位移)．一物体在力F1＝(2，4)和F2＝(－5，3)的作用下，由点A(1，0)移动到点B(2，4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功为 ( )A．25 B．5C．－5 D．－252．设P是△ABC所在平面内一点，若，则点P是△ABC的 ( )A．外心 B．内心C．重心 D．垂心3．在四边形ABCD中，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝ ( )A． B．5C．10 D．204．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为 ( )A．(0，16) B．[0，16]C．(0，4) D．[0，4]5．(2025·江苏南京二模)在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD的中点，F是线段BE上的动点，则的最小值为 ( )A．－6．已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ( )A．[]C．[]二、多项选择题7．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 ( )A．若)，则点D是边BC的中点B．若，则直线AD过△ABC的垂心C．若，则点D在边BC的延长线上D．若，则△BCD的面积是△ABC面积的一半8．(2026·广东开学考试)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机沿x轴正方向线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1，－1)(单位：m/s)，则 ( )A．地速大小为5 m/sB．地速向量的方向与空速向量方向相同C．纵向偏移量与标准值无偏差D．该无人机需要调整飞行姿态2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础．三、填空题9．一条两岸平行的河流，水流速度为1 m/s，小船的速度为2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝___________的方向行驶．10．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos〈b，3b－a〉的最小值是___________．四、解答题11．(13分)如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上．已知物体M的重力大小为20 N，且∠AOM＝150°，当角θ为多少时，绳OB承受的拉力最小？12．(15分)如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是正方形ABCD所在平面上一点，且满足2＝λ＋(1－λ)的最小值．课后作业(三十八)1．A [因为F1＝(2，4)，F2＝(－5，3)，所以F1＋F2＝(－3，7)，又A(1，0)，B(2，4)，所以＝(1，4)，故W＝(F1＋F2)·＝－3×1＋7×4＝25．故选A．]2．A3．B [因为＝(1，2)，＝(－4，2)，所以＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，又||＝，||＝＝2，所以四边形ABCD的面积S＝|||＝×2＝5．]4．B [取CD的中点E，连接PE，则＝2＝2，由极化恒等式得＝||2－||2＝－4，设AB的中点为O，连接OE交圆弧于点H，则当点P与点H重合时，||最小，最小值为2，此时|＝4．当点P与点A或点B重合时，||最大，最大值为＝2，此时|＝20，所以∈．故选B．]5．C [以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，所以A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，E(0，1)，而F是线段BE上的动点，从而可设＝λ＋(1－λ)＝(2λ，0)＋(0，1－λ)＝(2λ，1－λ)，λ∈[0，1]，所以点F的坐标是(2λ，1－λ)，所以＝(2－2λ，－1＋λ)，＝(1－2λ，1＋λ)，＝(2－2λ)(1－2λ)＋(－1＋λ)(1＋λ)＝4λ2－6λ＋2＋λ2－1＝5λ2－6λ＋1＝5，λ∈[0，1]，所以当λ＝有最小值，最小值是－．故选C．]6．A [a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以点(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1．]7．ABD [对于A，∵)，即，即点D是边BC的中点，故A正确；对于B，(－||＋||)＝0，即AD⊥BC，故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；对于C，∵＝2，即，即点D在边CB的延长线上，故C错误；对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝，设＝2，则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，故M，B，C三点共线，且||＝2||，即△BCD的面积是△ABC面积的一半，故D正确．]8．ACD [设空速向量为a，风速向量为b，地速向量为c，则a＝(3，4)，b＝(1，－1)，所以c＝a＋b＝(3，4)＋(1，－1)＝(4，3)，所以|c|＝＝5，所以地速大小为5 m/s，故A正确；由a＝(3，4)，c＝(4，3)可知地速向量的方向与空速向量方向不相同，故B错误；由于纵向偏移量为4 m/s，与标准值无偏差，故C正确；由于无人机沿x轴正方向线路巡检，而地速向量为c＝(4，3)，横向偏移量大于2 m/s，所以需要调整飞行姿态，故D正确．故选ACD．]9．与水速成120°角 [如图所示，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与河岸垂直，又|v水|＝||＝1，|v船|＝||＝2，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝30°．所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．]10． [由|a－3b|＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1．又因为|a|＝|b|，所以a·b＝，所以cos〈b，3b－a〉＝×2，当且仅当|b|＝时取等号，所以cos〈b，3b－a〉的最小值是．]11．解：作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为，则||＝20，以ON为对角线作平行四边形OPNQ，则，||是绳OB承受的拉力大小，由∠AOM＝150°，得∠AON＝30°，所以∠ONQ＝∠AON＝30°，在△ONQ中，由正弦定理得，即，可得||＝OQ＝，结合0°<θ<180°，可知当θ＝90°时，||取到最小值10．综上所述，当角θ＝90°时，绳OB承受的拉力最小．12．解：(1)因为直线l过中心O且与两边AB，CD分别交于点M，N．所以O为MN的中点，所以＝－，所以＝()·()＝||2－||2．因为Q是BC的中点，所以||＝1，1≤||≤，所以－1≤||2－||2≤0，即的取值范围为[－1，0]．(2)令＝2＝2＝λ＋(1－λ)，∴＝λ－λ，即＝λ－λ，∴＝λ，∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所以||≥1，从而||≥＝()·()＝||2－||2，因为1≤||≤，所以＝||2－||2≥－2＝－，即的最小值为－．4/4 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第五章 第38课时 平面向量中的综合问题.docx 第五章 第38课时 平面向量中的综合问题.pptx 课后作业38 平面向量中的综合问题.docx
资源列表
