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第39课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
1．(苏教版必修第二册P122习题12.1T2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论中正确的是 (　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．若a＝b＝0，则z不是复数
2．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是 (　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
3．(北师大版必修第二册P180习题5－1A组T6改编)当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数的共轭复数是___________．
5．(湘教版必修第二册P112例3改编)若复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，则z·＝______．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是____，虚部是____．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di ___________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 ___________(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作____或___________，即|z|＝|a＋bi|＝___________(a，b∈R)．(即表示点Z(a，b)与原点O的距离)
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点___________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________　；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________　；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；
④除法：＝____________________(c＋di≠0)．
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即．
[二级结论]
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
(2)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
(3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n．
(4)若ω＝－±i，则
①ω3k＝1(k∈Z)；②ω2＋ω＋1＝0．
1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题．
2．复数的加、减及乘法运算类似于多项式的加、减及乘法运算；复数的除法类似于分母有理化，其关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
3．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一　复数的有关概念
[典例1]　(1)(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为 (　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
(2)(2025·内蒙古呼和浩特二模)已知i为虚数单位，若复数z－1为纯虚数，z＋2i为实数，则|z|＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[巩固迁移]
1．(多选)已知复数z，下列结论正确的是 (　　)
A．若z＋1∈R，则z∈R
B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|＝1，则z＝±1
D．若z2∈R，则z∈R
2．已知复数z满足z＋|z|＝2＋4i，则z的共轭复数的虚部为___________．
考点二　复数的四则运算
[典例2]　(1)(2023·全国甲卷)＝ (　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
(2)(2025·山东省枣庄市三模)已知1－2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a＋bi|＝ (　　)
A．2 B．3
C．5 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：复系数方程的根成对出现，且满足根与系数的关系．
[巩固迁移]
3．(多选)已知复数z＝－i，则 (　　)
A．|z＋|＝1 B．|z－|＝1
C．z2＝1 D．z3＝1
4．(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则＝___________．
考点三　复数的几何意义
[典例3]　(1)(2026·河南重点高中模拟)已知z＝1－i，则在复平面内，复数zi＋对应的点位于 (　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
(2)(2025·黑龙江佳木斯三模)已知复数z满足|z－1|＝1，则|z－i|的最小值为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[巩固迁移]
5．复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，－2) B．(－3，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3)
6．(2026·山东济南模拟)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是 (　　)
A．1 B．
C．2 D．
7．(2025·广东佛山三模)复平面内A，B两点对应的复数分别是1＋3i，－2＋i，向量对应的复数为z，则|z|＝___________．
第39课时　复数
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．D　3．A　4．2＋i　5． 5
No2．储备知识要点
1．(1)a　b　(2)＝　≠　(3)a＝c且b＝d　(4)a＝c且b＝－d　(5)|z|　|a＋bi|　
2．Z(a，b)
3．(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　i
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)C　(2)　[(1)(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．故选C．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题可知z－1＝(a－1)＋bi为纯虚数，
即解得a＝1，
又z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，可得b＋2＝0，即b＝－2，因此z＝1－2i，
所以|z|＝．]
巩固迁移
1．AB　2．－4
考点二
典例2　(1)C　(2)D　[(1)由题意知，＝1－i，故选C．
(2)法一：由题意，得(1－2i)2＋a(1－2i)＋b＝0，
整理得(a＋b－3)－(4＋2a)i＝0，即
解得所以|a＋bi|＝，故选D．
法二：由复系数方程根的特征可知1±2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的两个根，故
解得
所以|a＋bi|＝，故选D．]
巩固迁移
3．AD　[因为z＝－i，所以z＋i＝－1，所以|z＋|＝1，故A正确；z－i，所以|z－，故B不正确；z2＝i，故C不正确；z3＝＝1，故D正确．]
4．　[．]
考点三
典例3　(1)C　(2)－1　[(1)因为z＝1－i，所以zi＋＝i(1－i)＋＝i＋1＋1＋i＝2＋2i．
所以复数zi＋在复平面内所对应的点的坐标为(2，2)，位于直线y＝x上．故选C．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝1得|x－1＋yi|＝1，
所以(x－1)2＋y2＝1，
即点(x，y)是圆心为(1，0)，半径为1的圆上的动点，
|z－i|＝，表示的是点(x，y)与点(0，1)的距离，
所以其最小值为点(0，1)到圆心(1，0)的距离减去半径，
即|z－i|的最小值为－1．]
巩固迁移
5．D
6．B　[设复数i，－i在复平面内对应的点分别为A(0，1)，B(0，－1)，复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，由|z＋i|＋|z－i|＝2可知复数z在复平面内对应的点到A，B两点的距离之和为2，
而|AB|＝2，所以点Z(a，b)在线段AB上，故a＝0，b∈[－1，1]，则|z－1|＝|bi－1|＝，
当b＝±1时，|z－1|取最大值，最大值为．
故选B．]
7．　[由题意可得，A(1，3)，B(－2，1)，则＝(－3，－2)，
所以z＝－3－2i，得|z|＝．]
5/5(共100张PPT)
第39课时　复数
第五章　平面向量、复数
[考试要求]
1．通过方程的解认识复数．
2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
1．(苏教版必修第二册P122习题12.1T2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论中正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．若a＝b＝0，则z不是复数
以题引理·激活思维
√
C　[对于A，当a＝0且b＝0时，a＋bi为实数，故A错误；
对于B，a＝3，b＝－2，故B错误；
对于C，若b＝0，则a＋bi为实数，C正确；
对于D，若a＝b＝0，则z＝0，也是复数，故D错误．故选C．]
2．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D　[由复数的几何意义可知，＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)．所以向量对应的复数是－3－4i．]
√
3．(北师大版必修第二册P180习题5－1A组T6改编)当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
A　[由z＝m(3＋i)－(2－i)＝3m－2＋(m＋1)i，
又0，m＋1>0，
所以复数z＝3m－2＋(m＋1)i在复平面内对应的点为(3m－2，m＋1)，位于第一象限，故选A．]
4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数的共轭复数是_____________．
2＋i　[＝2－i，
故其共轭复数是2＋i．]
2＋i
5．(湘教版必修第二册P112例3改编)若复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，则z·＝_____________．
5　[因为复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，所以z＝1－2i，则＝1＋2i，
所以z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5．]
5
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是__，虚部是__．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
a
b
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di ______________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 ________________(a，b，c，d∈R)．
a＝c且b＝d
a＝c且b＝－d
(5)复数的模
设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，向量
(a，b∈R)．(即表示点Z(a，b)与原点O的距离)
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点__________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
Z(a，b)
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_________________________；
④除法：(c＋di≠0)．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即．
[二级结论]
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
(2)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
(3)z·|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n．
(4)若ω＝－i，则
①ω3k＝1(k∈Z)；②ω2＋ω＋1＝0．
1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题．
2．复数的加、减及乘法运算类似于多项式的加、减及乘法运算；复数的除法类似于分母有理化，其关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
3．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一　复数的有关概念
[典例1]　(1)(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
(2)(2025·内蒙古呼和浩特二模)已知i为虚数单位，若复数z－1为纯虚数，z＋2i为实数，则|z|＝_____________．
精研考点·提升素养
√
(1)C　(2)　[(1)(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．故选C．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题可知z－1＝(a－1)＋bi为纯虚数，
即解得a＝1，
又z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，可得b＋2＝0，即b＝－2，因此z＝1－2i，
所以|z|＝．]
名师点评：解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[巩固迁移]
1．(多选)已知复数z，下列结论正确的是(　　)
A．若z＋1∈R，则z∈R
B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|＝1，则z＝±1
D．若z2∈R，则z∈R
√
√
AB　[对于A，设z＝a＋bi，由z＋1＝(a＋1)＋bi∈R得b＝0，那么z＝a＋bi也是实数，故A正确；对于B，设z＝a＋bi，由z＋i＝a＋(b＋1)i∈R得b＝－1，那么z的虚部为－1，故B正确；对于C，若z＝i，则|z|＝1，此时z≠±1，故C错误；对于D，若z＝i，则z2＝i2＝－1为实数，此时z不是实数，故D错误．]
－4　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
则z＋|z|＝2＋4i，即a＋＋bi＝2＋4i，
所以
所以z＝－3＋4i，＝－3－4i，
所以z的共轭复数的虚部为－4．]
2．已知复数z满足z＋|z|＝2＋4i，则z的共轭复数的虚部为_____________．
－4
【教用·备选题】
1．已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　　)
A．－
√
A　[由z(1＋i)＝i2 024得z＝i，
故z的虚部为－．故选A．]
2．(多选)已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是(　　)
A．若z1＝，则z1＋z2与z1z2均为实数
B．若z1＋z2与z1z2均为实数，则z1＝
C．若z1，z2均为纯虚数，则为实数
D．若为实数，则z1，z2均为纯虚数
√
√
√
ABC　[设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，b≠0，d≠0)．
z1＋z2＝a＋c＋i，z1z2＝ac－bd＋(ad＋bc)i．
若z1＝，则a＝c，b＋d＝0，所以z1＋z2＝2a∈R，z1z2＝a2＋b2∈R，所以A正确；
若z1＋z2与z1z2均为实数，则b＋d＝0，且ad＋bc＝0，又b≠0，d≠0，所以a＝c，所以B正确；
若z1，z2均为纯虚数，则a＝c＝0，所以∈R，所以C正确；
取z1＝2＋2i，z2＝1＋i，则为实数，但z1，z2不是纯虚数，所以D错误．故选ABC．]
考点二　复数的四则运算
[典例2]　(1)(2023·全国甲卷)＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
(2)(2025·山东省枣庄市三模)已知1－2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a＋bi|＝(　　)
A．2 B．3
C．5 D．
√
√
(1)C　(2)D　[(1)由题意知，＝1－i，故选C．
(2)法一：由题意，得(1－2i)2＋a(1－2i)＋b＝0，
整理得(a＋b－3)－(4＋2a)i＝0，即
解得所以|a＋bi|＝，故选D．
法二：由复系数方程根的特征可知1±2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的两个根，故
所以|a＋bi|＝，故选D．]
名师点评：复系数方程的根成对出现，且满足根与系数的关系．
[巩固迁移]
3．(多选)已知复数z＝－i，则(　　)
A．|z＋ |＝1
C．z2＝1 D．z3＝1
√
√
AD　[因为z＝－i，所以z＋i＝－1，所以|z＋|＝1，故A正确；z－i，所以|z－，故B不正确；z2＝i，故C不正确；z3＝＝1，故D正确．]
4．(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则＝_____________．
　[．]
【教用·备选题】
1．(多选)(2024·1月九省联考卷)已知复数z，w均不为0，则(　　)
A．z2＝|z|2 B．
C．
√
√
√
BCD　[设z＝a＋bi，w＝c＋di．
对于A，因为z＝a＋bi，则z2＝＝a2－b2＋2abi，
|z|2＝＝a2＋b2，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋i，则i，
＝a－bi，＝c－di，则i，
即有，故C正确；
对于D，＝
＝＝
＝＝，
＝＝，
故，故D正确．故选BCD．]
2．(多选)若z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两个虚数根，则
(　　)
A．a的取值范围为[－2，2]
B．z1的共轭复数是z2
C．z1z2＝1
D．z1＋为纯虚数
√
√
√
BCD　[因为z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0的两个虚数根，所以Δ＝a2－4<0，所以－2考点三　复数的几何意义
[典例3]　(1)(2026·河南重点高中模拟)已知z＝1－i，则在复平面内，复数zi＋对应的点位于(　　)
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝x上
D．直线y＝－x上
(2)(2025·黑龙江佳木斯三模)已知复数z满足|z－1|＝1，则|z－i|的最小值为_____________．
√
－1
(1)C　(2)－1　[(1)因为z＝1－i，所以zi＋＝i(1－i)＋＝i＋1＋1＋i＝2＋2i．
所以复数zi＋在复平面内所对应的点的坐标为(2，2)，位于直线y＝x上．故选C．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝1得|x－1＋yi|＝1，所以(x－1)2＋y2＝1，
即点(x，y)是圆心为(1，0)，半径为1的圆上的动点，
|z－i|＝，表示的是点(x，y)与点(0，1)的距离，
所以其最小值为点(0，1)到圆心(1，0)的距离减去半径，
即|z－i|的最小值为－1．]
名师点评：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[巩固迁移]
5．复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2) B．(－3，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3)
√
D　[由复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，
可得 解得a<－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3)．]
6．(2026·山东济南模拟)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是(　　)
A．1 B．
√
B　[设复数i，－i在复平面内对应的点分别为A(0，1)，B(0，－1)，复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，由|z＋i|＋|z－i|＝2可知复数z在复平面内对应的点到A，B两点的距离之和为2，
而|AB|＝2，所以点Z(a，b)在线段AB上，故a＝0，b∈[－1，1]，则|z－1|＝|bi－1|＝，
当b＝±1时，|z－1|取最大值，最大值为．
故选B．]
7．(2025·广东佛山三模)复平面内A，B两点对应的复数分别是1＋3i，－2＋i，向量对应的复数为z，则|z|＝_____________．
　[由题意可得，A(1，3)，B(－2，1)，则＝(－3，－2)，
所以z＝－3－2i，得|z|＝．]
【教用·备选题】
1．已知复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，则在复平面内对应的点为(　　)
A．
C．
√
C　[依题意得z＝1－2i，
所以＝i，
则．
故选C．]
2．复平面内复数z满足|z－2|－|z＋2|＝2，则|z－i|的最小值为(　　)
A．
√
B　[因为|z－2|－|z＋2|＝2，所以复数z对应的点的轨迹是以点(2，0)，(－2，0)为焦点，实半轴长为1的双曲线的左支，则b2＝c2－a2＝3，所以复数z对应的点的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．设z＝x＋yi，所以|z－i|＝，当且仅当y＝时取等号，所以|z－i|的最小值为．故选B．]
一、单项选择题
1．(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
A　[＝－i，故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(三十九)　复数
√
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(2026·河北石家庄模拟)设复数z＝4－3i的共轭复数为＝(　　)
A．－25 B．10
C．13 D．25
√
D　[由z＝4－3i可得＝4＋3i，则z·＝(4－3i)·(4＋3i)＝16－9i2＝16＋9＝25．故选D．]
16
3．(2025·山东泰安一模)已知i为虚数单位，若(1－i)·(2＋ai)是纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．1 D．2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[因为(1－i)(2＋ai)＝2－2i＋ai－ai2＝2＋a＋(a－2)i，
所以解得a＝－2．故选B．]
16
4．已知复数z满足在复平面内对应的点位于
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D　[由题意知z＝＝1＋2i，
所以＝1－2i，所以位于第四象限．故选D．]
16
5．(2026·江西九江模拟)若2＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则b＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D　[因为2＋i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一个根，
所以(2＋i)2＋a(2＋i)＋b＝0，整理得3＋2a＋b＋(4＋a)i＝0，
所以故选D．]
16
6．(2025·湖南长沙三模)在复平面内，复数z1对应的点与复数z2＝对应的点关于实轴对称，则z1＝(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[z2＝＝－1－i，所以z1＝－1＋i．故选C．]
16
7．(2025·辽宁三省四市二模)若z＝，则(　　)
A．z＋ ＝0
C．z· ＝i
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[因为z＝＝－1，则＝－1，所以z＋＝－2，z－＝0，z·＝1，＝1，B正确，ACD均错误．故选B．]
16
8．(2025·云南曲靖一模)已知复数z1和z2满足|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝(　　)
A．
D．1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[因为复数z1和z2满足|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝2(1＋1)＝4，
所以|z1＋z2|2＋1＝4，所以|z1＋z2|＝．故选C．]
16
二、多项选择题
9．在复平面内，复数z1＝i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是(　　)
A．＝1
B．z1·z2＝
C．向量对应的复数是1
D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
AD　[因为z1＝i，所以z2＝－i，
所以A，B＝1，A正确；
z1·z2＝＝－1，B错误；
由上可得，对应的复数为－1，C错误；
＝1，＝1，D正确．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．(2026·浙江宁波模拟)设z为复数，i是虚数单位，则下列选项正确的是(　　)
A．i2 025＝i
B．z2＝|z|2
C．在复平面内，若i·z对应的点在第二象限，则对应的点也在第二象限
D．若|z－i|＋|z＋i|＝4，则|z|的最小值是
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
AD　[对于A，i2 025＝i4×506+1＝i，故A正确；
对于B，取z＝i，z2＝－1，|z|2＝1，z2≠|z|2，故B错误；
对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，若i·z＝－b＋ai对应的点(－b，a)在第二象限，
则－b<0，a>0，所以＝a－bi对应的点(a，－b)在第四象限，故C错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，若|z－i|＋|z＋i|＝4，
则在复平面内复数z对应的点到F1(0，－1)，F2(0，1)距离之和为常数2a＝4，且|F1F2|<2a，
则在复平面内复数z对应的点的轨迹是以F1(0，－1)，F2(0，1)为焦点的椭圆，
其中a＝2，c＝1，b＝，
|z|的最小值就是椭圆上的点到原点的距离的最小值，故|z|min＝b＝，故D正确．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
11．(2026·江苏南通模拟)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则下列说法正确的是(　　)
A．若z1－z2<0，则z1B．若＝0，则|z1|＝|z2|
C．若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则＝0
D．若，则z1·z2＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
BC　[如z1＝1＋i，z2＝2＋i，此时z1与z2无大小关系，A错误；
∵＝0，∴，∴||，
∴|z1|2＝|z2|2，∴|z1|＝|z2|，B正确；
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，|z1＋z2|＝|z1－z2|，
即，
则ac＋bd＝0，＝ac＋bd＝0，C正确；
设＝(1，1)，＝(1，－1)，此时＝0，即，但z1z2＝2≠0，D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
0　[因为＝i，
所以＝i2 026＝－1．
所以的虚部为0．]
三、填空题
12．已知i是虚数单位，则的虚部为_________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
0
16
1＋i或－1－i(任选一个作答即可)　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，由条件①可以得到，两边平方化简可得a＝b，由＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±．]
13．请写出一个同时满足①＝2的复数z，即z＝______________________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1＋i或－1－i(任选一个作答即可)
16
14．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝____．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
2　[法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i．
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12．
所以|z1－z2|＝．
2
法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1＋z2对应向量．
由题意知||＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应的向量为，且||＝2，可得||sin 60°＝2．故|z1－z2|＝|．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
15．(多选)(人教A版必修第二册P81阅读与思考改编)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1的值可能为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
AD　[因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)·(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．
即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
16．(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
2　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z2＝，可得(a＋bi)2＝(a－bi)2，即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi，故ab＝0．由|z|≤1可得≤1，即a2＋b2≤1．
2
法一：当a＝0时，－1≤b≤1，|z－2－3i|＝|－2＋(b－3)i|＝，此时|z－2－3i|min＝．当b＝0时，－1≤a≤1，|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝，此时|z－2－3i|min＝．当a＝0，b＝0时，|z－2－3i|＝|－2－3i|＝．
综上，|z－2－3i|的最小值为2．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
法二：设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，其中x＝0(－1≤y≤1)或y＝0(－1≤x≤1)，表示两条相交线段．|z－2－3i|表示复数z在复平面内对应的点到点(2，3)的距离，作出图象如图，结合图知，当z在复平面内对应的点为(0，1)时，|z－2－3i|取到最小值，为．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
一、单项选择题
1．(2026·广东深圳开学考试)已知z＝，则|z|＝(　　)
A．
D．5
A　[z＝i，故|z|＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
阶段评估(七)　(第35课时~第39课时)
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2026·河北张家口模拟)在△ABC中，B＝＝(　　)
A．2 B．－
√
C　[依题意，|cos(π－B)＝2×＝
－2．故选C．]
3．若z＝(m－i)(3＋i)(m∈R)是纯虚数，则m＝(　　)
A．－
C．－3 D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[∵z＝(m－i)(3＋i)＝3m＋1＋(m－3)i是纯虚数，
∴得m＝－．故选A ．]
4．(2026·浙江金华模拟)已知|a|＝1，|a＋b|＝
，则|b|＝(　　)
A．1 B．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由题意可得，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|×|b|＋1＝5，解得|b|＝或－2(舍)．故选B．]
5．(2026·湖北武汉模拟)已知2－2i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根，则(　　)
A．b＝4，c＝8 B．b＝4，c＝－8
C．b＝－4，c＝8 D．b＝－4，c＝－8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[因为2－2i是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根，所以2＋2i也是该方程的一个根，则所以b＝－4，c＝8．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2025·吉林长春二模)在△ABC中，
，则x＝(　　)
A．－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[因为，
则＝x(－)＋)＝，
因为B，E，D三点共线，所以＝1，解得x＝－．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．已知向量a＝(1，1)，b＝(x，－2)，则“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由已知得a·b＝x－2，
当a与b共线时，可得1×＝x，解得x＝－2．
当a与b的夹角为钝角时，可得a·b<0且a与b不共线，
则x－2<0且x≠－2，解得x<2且x≠－2．
因此，“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．已知i是虚数单位，复数z满足的最小值为
(　　)
A．
＋1 D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[＝1的几何意义是在复平面内复数z对应的点Z到点A的距离为1，即点Z在以点A为圆心，1为半径的圆上，|z－|的几何意义是点Z到点B(，0)的距离．如图所示，
|－1＝2－1＝1．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
9．(2026·湖南长沙模拟)已知复数z1，z2满足2z1＋z2＝4＋i，z1－z2＝5－4i，则(　　)
A．z1＝3－i
B．z2在复平面内对应的点位于第一象限
C．z2－6i的虚部为－3
D．z1z2的共轭复数为3＋11i
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
AC　[由题意得
解得故A正确； z2在复平面内对应的点为(－2，3)，位于第二象限，故B错误；因为z2－6i＝－2＋3i－6i＝－2－3i，所以z2－6i的虚部为－3，故C正确；因为z1z2＝(3－i)(－2＋3i)＝－3＋11i，所以z1z2的共轭复数为－3－11i，故D错误．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．(2026·河北保定模拟)已知平面向量a＝(－1，－2)，b＝(1，
－3)．a与b的夹角为θ，则(　　)
A．a∥b
B．a⊥(a－b)
C．θ＝45°
D．b在a上的投影向量为
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BC　[对于A，因为，即不存在实数λ使a＝λb，所以a与b不共线，故A不正确；
对于B，a－b＝(－1，－2)－(1，－3)＝(－2，1)，a·(a－b)＝－1×(－2)＋(－2)×1＝0，所以a⊥(a－b)，故B正确；
对于C，因为cos θ＝＝，0°≤θ≤180°，所以θ＝45°．故C正确；
对于D，b在a上的投影向量为a＝(－1，－2)．故D不正确．
故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
11．(2026·河南九校联盟联考)已知在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，AD＝BC＝，连接PQ并延长，与DC的延长线交于点M，则(　　)
A．若，则λ＋μ＝－1
B．若
C．若ADMP为平行四边形，则μ＝2λ
D．若2＝1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BC　[因为，所以λ＝－1，μ＝1，λ＋μ＝0，A错误；
因为，所以λ＝，μ＝1，λ＋μ＝，B正确；
过点D作DE⊥AB，在等腰梯形ABCD中，AD＝，AE＝1，所以∠DAB＝∠CBA＝45°，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
当四边形ADMP为平行四边形时，∠QPB＝∠DAB＝∠CBA＝45°，即∠BQP＝90°，
所以BP＝BQ，即λ||，
又||，所以μ＝2λ，C正确；
当2时，C是DM的中点，则，
因为P，Q，M三点共线，所以＝1，故＝2，D错误．
故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
12．(2025·广东茂名二模)已知向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则实数λ＝_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
－　[向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，
设2e1＋λe2＝k(3e1－2e2)，即2e1＋λe2＝3ke1－2ke2，
所以]
－
13．(2026·山东师大附中模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋2b|＝|a－b|，则|a＋b|＝_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2　[因为|a＋2b|＝|a－b|，
所以a2＋4a·b＋4b2＝a2－2a·b＋b2，化简得b2＋2a·b＝0．
又因为(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＝4，
所以|a＋b|＝2．]
2
14．(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝；
的最小值为_______．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
　[以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，，
因为＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
12
13
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因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，
因为G为AF的中点，则G，
可得＝(a＋1，－3a)，，
则＋(－3a)·，a∈，所以当a＝－取到最小值－．]
题号
2
1
3
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5
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13
14
谢 谢 ！课后作业(三十九)　复数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分
一、单项选择题
1．(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝ (　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
2．(2026·河北石家庄模拟)设复数z＝4－3i的共轭复数为＝ (　　)
A．－25 B．10
C．13 D．25
3．(2025·山东泰安一模)已知i为虚数单位，若(1－i)(2＋ai)是纯虚数，则实数a＝ (　　)
A．－4 B．－2
C．1 D．2
4．已知复数z满足在复平面内对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2026·江西九江模拟)若2＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则b＝ (　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．(2025·湖南长沙三模)在复平面内，复数z1对应的点与复数z2＝对应的点关于实轴对称，则z1＝ (　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
7．(2025·辽宁三省四市二模)若z＝，则 (　　)
A．z＋＝0
C．z·＝i
8．(2025·云南曲靖一模)已知复数z1和z2满足|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝ (　　)
A．
D．1
二、多项选择题
9．在复平面内，复数z1＝i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是 (　　)
A．＝1
B．z1·z2＝
C．向量对应的复数是1
D．
10．(2026·浙江宁波模拟)设z为复数，i是虚数单位，则下列选项正确的是 (　　)
A．i2 025＝i
B．z2＝|z|2
C．在复平面内，若i·z对应的点在第二象限，则对应的点也在第二象限
D．若|z－i|＋|z＋i|＝4，则|z|的最小值是
11．(2026·江苏南通模拟)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则下列说法正确的是 (　　)
A．若z1－z2<0，则z1B．若＝0，则|z1|＝|z2|
C．若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则＝0
D．若，则z1·z2＝0
三、填空题
12．已知i是虚数单位，则的虚部为___________．
13．请写出一个同时满足①＝2的复数z，即z＝___________．
14．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝___________．
15．(多选)(人教A版必修第二册P81阅读与思考改编)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1的值可能为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
16．(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是___________．
课后作业(三十九)
1．A　2．D　3．B　4．D　5．D
6．C　[z2＝＝－1－i，所以z1＝－1＋i．故选C．]
7．B　[因为z＝＝－1，则＝－1，所以z＋＝－2，z－＝0，z·＝1，＝1，B正确，ACD均错误．故选B．]
8．C　[因为复数z1和z2满足|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝2(1＋1)＝4，
所以|z1＋z2|2＋1＝4，所以|z1＋z2|＝．故选C．]
9．AD
10．AD　[对于A，i2 025＝i4×506+1＝i，故A正确；
对于B，取z＝i，z2＝－1，|z|2＝1，z2≠|z|2，故B错误；
对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，若i·z＝－b＋ai对应的点(－b，a)在第二象限，
则－b<0，a>0，所以＝a－bi对应的点(a，－b)在第四象限，故C错误；
对于D，若|z－i|＋|z＋i|＝4，
则在复平面内复数z对应的点到F1(0，－1)，F2(0，1)距离之和为常数2a＝4，且|F1F2|<2a，
则在复平面内复数z对应的点的轨迹是以F1(0，－1)，F2(0，1)为焦点的椭圆，
其中a＝2，c＝1，b＝，
|z|的最小值就是椭圆上的点到原点的距离的最小值，故|z|min＝b＝，故D正确．故选AD．]
11．BC　[如z1＝1＋i，z2＝2＋i，此时z1与z2无大小关系，A错误；
∵＝0，∴＝－，
∴||＝|－|，∴|z1|2＝|z2|2，
∴|z1|＝|z2|，B正确；
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
|z1＋z2|＝|z1－z2|，
即＝，
则ac＋bd＝0，＝ac＋bd＝0，C正确；
设＝(1，1)，＝(1，－1)，此时＝0，即，但z1z2＝2≠0，D错误．故选BC．]
12．0
13．1＋i或－1－i(任选一个作答即可)　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，由条件①可以得到，两边平方化简可得a＝b，由＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±．]
14．2
15．AD　[因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，
所以x＝1或x＝．
即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．]
16．2　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z2＝，可得(a＋bi)2＝(a－bi)2，即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi，故ab＝0．由|z|≤1可得≤1，即a2＋b2≤1．
法一：当a＝0时，－1≤b≤1，|z－2－3i|＝|－2＋(b－3)i|＝，此时|z－2－3i|min＝＝2．当b＝0时，－1≤a≤1，|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝，此时|z－2－3i|min＝．当a＝0，b＝0时，|z－2－3i|＝|－2－3i|＝．综上，|z－2－3i|的最小值为2．
法二：设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，其中x＝0(－1≤y≤1)或y＝0(－1≤x≤1)，表示两条相交线段．|z－2－3i|表示复数z在复平面内对应的点到点(2，3)的距离，作出图象如图，结合图知，当z在复平面内对应的点为(0，1)时，|z－2－3i|取到最小值，为＝2．]
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