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2025-2026学年北师大版七年级（下）期末数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共10小题）
1．2026意大利冬奥会于北京时间2月6日凌晨3点举行开幕式，以下是历届冬奥会会徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．某实验室发布的全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围扩展至0.0000001m．将数据0.0000001用科学记数法表示为（　　）
A．1×10﹣7 B．1×10﹣8 C．100×10﹣9 D．1×108
3．计算的结果是（　　）
A．21x2y2﹣14xy3 B．
C．﹣21x2y2+14xy3 D．
4．如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
5．已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（　　）
A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次
B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生
C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次
D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在50%左右
6．如图，已知BE＝CF，AC∥DE，现添加以下哪个条件仍无法判定△ABC≌△DFE的是（　　）
A．AC＝DE B．AB∥DF C．AB＝DF D．∠A＝∠D
7．弹簧挂上物体会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间的关系如表：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂的物体的质量为8kg时，弹簧的长度为14cm
C．在弹性限度内物体质量每增加1kg，弹簧的长度y增加0.5cm
D．弹簧不挂物体时的长度为10cm
8．在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+∠CEB1的度数为（　　）
A．30° B．80° C．60° D．100°
9．如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（　　）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）
A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6
二．填空题（共6小题）
11．芬芬任意买一张电影票的座位号是偶数是　 　 事件．（填随机或必然或不可能）
12．已知，在同一平面内，∠ABC＝110°，AD∥BC，那么∠DAB＝　 　 ．
13．在△ABC中，a＝1，b＝5，若第三边c的长度是整数，则c＝　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝11，则DF的长为 　 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．沿过点A的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，折痕为AD，连接EC交AD于点F，则CE的长为　 　 ．
16．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和32，则正方形A，B的面积之和为 　 　 ．
三．解答题（共9小题）
17．完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据．
已知：如图∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC．
证明：∵∠4＝∠B（已知）
∴AB∥　 　 ，
∴∠2＝∠3 　 　 ，
∴∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AD∥　 　 ，
∴∠ADF+∠GFD＝　 　 ，
又∵∠ADF＝90°（已知），
∴∠GFD＝90°，
∴GF⊥BC　 　 ．
18．已知A＝（a+2b）（a﹣b）﹣a5÷a3﹣（2b）2．
（1）化简A；
（2）当a＝1，b＝﹣3时，求A的值．
19．如图，在四边形ABCD中，DE∥AB，交BC于点E，AF∥DC交BC于F（点E在点F的左侧），BE＝CF．求证：△ABF≌△DEC．
20．用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
如图，已知线段a，求作△ABC，使AB＝AC＝2a，BC＝a．
21．如图，点B、D、C、F在同一条直线上，AB＝EF，BD＝CF，∠B＝∠F．
求证：
（1）△ABC≌△EFD；
（2）AC∥DE．
22．周末，小明骑自行车到太白湖公园游玩，他从家出发0.8小时后达到新华书店，逗留一段时间后继续骑自行车到太白湖公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往太白湖公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是　 　 ，因变量是　 　 ；
（2）小明家到太白湖公园的路程为　 　 ；
（3）小明爸爸驾车的平均速度为　 　 ；
（4）爸爸驾车追上小明时离太白湖公园还有多远？
23．（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为90°，转动转盘，当转盘停止时，求指针落在蓝色区域的概率；
（2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为．
24．已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，CA＝BA，Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，连接CE．
（1）如图1，求证：CE＝BD；
（2）如图2，当D在AC上，E在BA的延长线上，直线BD、CE相交于点F，求证：CE⊥BD．
25．如图1，已知钝角△ABC中（∠ACB为钝角），∠B＝∠BAC，点D是线BC上的一个动点，且不与B、C重合，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）若∠B＝30°，∠CAD＝20°，求α、β的度数；
（2）试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）如图2，设∠B＝m°，将“点D是线段BC上的一个动点”改为“若D是BC延长线上点”，其它条件不变，探究α与β的关系．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【考点】科学记数法—表示较小的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：0.0000001＝1×10﹣7．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【考点】单项式乘多项式
【分析】利用单项式乘多项式运算法则计算即可．
解：原式＝21x2y2xy3，
故选：B．
【点评】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4．【考点】平行线的性质
【分析】延长AB交直线n于点D，根据平行线的性质求出∠ADC，再根据三角形的外角性质解答即可．
解：延长AB交直线n于点D，如图所示．
∵m∥n，
∴∠ADC＝∠1＝35°．
在△BCD中，∠2＝90°﹣∠ADC＝90°﹣35°＝55°，
所以∠2的度数是55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
5．【考点】概率的意义
【分析】概率反映随机事件发生的可能性大小，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，概率不代表试验中必然得到确定的结果．
解：A、概率为仅表示发生可能性，做100次重复试验，该事件不一定恰好发生50次，选项说法错误，不符合题意；
B、每次试验都是独立的随机事件，第一次试验该事件没发生，第二次试验不一定发生，选项说法错误，不符合题意；
C、两次重复试验中，该事件可能发生0次，1次或2次，不是必定发生一次，选项说法错误，不符合题意；
D、重复多次试验时，该事件发生的频率稳定在概率50%左右，符合概率的基本意义，选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，掌握概率的意义是关键．
6．【考点】全等三角形的判定
【分析】根据BE＝CF求出BC＝FE，根据平行线的性质求出∠ACB＝∠DEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝FE，
A．添加AC＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能证明△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
B．添加AB∥DF，得出∠B＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能证明△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
C．添加AB＝DF，不能符合全等三角形的判定定理，不能证明△ABC≌△DFE，故本选项符合题意；
D．添加∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理AAS，能证明△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握AAS证明两个三角形全等，此题难度不大．
7．【考点】函数的表示方法；常量与变量
【分析】根据表格数据逐一进行判断即可．
解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，说法正确，不符合题意；
B、由表格可知，在弹性限度内物体质量每增加1kg，弹簧的长度y增加0.5cm，当所挂的物体的质量为8kg时，无法确定是否在弹性限度内，无法确定弹簧的长度，故说法错误，符合题意；
C、由表格可知，在弹性限度内物体质量每增加1kg，弹簧的长度y增加0.5cm，说法正确，不符合题意；
D、弹簧不挂物体时的长度为10cm，说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查利用表格法表示变量之间的关系．正确的分析数据是解题的关键．
8．【考点】三角形内角和定理
【分析】由∠B＝40°，根据三角形内角和定理求得∠BDE+∠BED＝140°，由折叠得∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED，则∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°，由140°+140°+∠ADB1+∠CEB1＝2×180°＝360°，求得∠ADB1+∠CEB1＝80°，于是得到问题的答案．
解：∵∠B＝40°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝140°，
∵将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，
∴∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED，
∴∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°，
∵∠B1DE+∠B1ED+∠BDE+∠BED+∠ADB1+∠CEB1＝2×180°＝360°，
∴140°+140°+∠ADB1+∠CEB1＝360°，
∴∠ADB1+∠CEB1＝80°，
故选：B．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、翻折变换的性质等知识，推导出∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED，进而证明∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°是解题的关键．
9．【考点】轴对称的性质
【分析】根据轴对称的性质的得到OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB，则OM＝ON，由∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°，得到∠MON＝60°，则△MON是等边三角形，由此即可求解．
解：如图所示，连接OP，
∵点P关于OA、OB的对称点是M、N，
∴OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB，
∴OM＝ON，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝30°，
∴∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝8cm，
∴8×3＝24（cm），即△MON的周长是24cm，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握以上知识得到△MON是等边三角形是解题的关键．
10．【考点】等腰三角形的性质；垂线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】随机事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可求解．
解：根据题意可知，题干事件是随机事件．
故答案为：随机．
【点评】本题主要考查了随机事件，掌握随机事件的概念是关键．
12．【考点】平行线的性质
【分析】画出相应的简图，再利用平行线的性质进行求解即可．
解：①如图，
∵AD∥BC，∠ABC＝110°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝70°；
②如图，
∵AD∥BC，∠ABC＝110°，
∴∠DAB＝∠ABC＝110°，
综上所述，∠AEB的度数为：70°或110°．
故答案为：70°或110°．
【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
13．【考点】三角形三边关系
【分析】由三角形三边关系定理得到4＜c＜6，即可得到答案．
解：由三角形三边关系定理得到：5﹣1＜c＜5+1，
∵4＜c＜6，
∵第三边c的长度是整数，
∴c＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
14．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【分析】设∠BCD＝α，延长AC到点G，使AG＝AB，连接 BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．
解：设∠BCD＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣α，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α，
∴∠ABC＝90°﹣2α，
∵EF⊥CD，
∴∠CKF＝90°，
∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠CEF＝90°﹣α，
如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，
∵AD＝AC，
∴BD＝CG＝CE，
∵AG＝AB，
∴，
∴∠ADC＝∠ABG，
∴CD∥GB，
∴∠GBC＝∠BCD＝α，
∴∠G＝90°﹣α，
∴∠G＝∠CEF，
延长EF和CA交于点H，
∴∠H＝α＝∠GBC，
∵∠CAB＝2α，
∴∠AFH＝α，
∴∠H＝∠AFH，
∴AH＝AF＝2，
在△CEH和△CGB中，
，
∴△CEH≌△CGB（ASA），
∴CH＝CB＝11，
∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝11﹣4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
15．【考点】翻折变换（折叠问题）
【分析】根据勾股定理得到BA＝5，求出BE＝1，再分别证出Rt△BDE∽Rt△BAC和Rt△FCD∽Rt△FAC，再根据相似三角形的性质计算求解即可．
解：在Rt△ABC中：BA2＝BC2+AC2，
解得BA＝5，
由折叠得：AE＝AC＝4，
∴BE＝1，
∵∠B+∠BDE＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△BDE和Rt△BAC中，
，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴，
解得：，
∴，
在Rt△ACF中，
AF2＝AC2﹣CF2，
设CF＝x，
∴，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，∠DCF+∠CAD＝90°，
∴∠DCF＝∠CAD，
在Rt△FCD和Rt△FAC中，
，
∴Rt△FCD∽Rt△FAC，
∴，
即，
解得：，
∴CE＝2x，
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠问题，掌握其性质是解题的关键．
16．【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意可得（a﹣b）2＝5，ab＝16，由a2+b2＝（a﹣b）2+2ab代入计算即可．
解：正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1中阴影正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2＝5，
图2中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝32，即ab＝16，
∴正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝5+32＝37．
故答案为：37．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据同位角相等，两直线平行得到AB∥DE，然后由两直线平行，内错角相等得到∠2＝∠3，继而得到∠1＝∠3，可证明AD∥GF，最后由两直线平行，同旁内角互补即可得证．
证明：∵∠4＝∠B（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠ADF＝90°（已知），
∴∠GFD＝90°，
∴GF⊥BC（垂直的定义）．
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；同位角相等，两直线平行；180°；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，垂直的定义．掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
18．【考点】整式的混合运算；代数式求值
【分析】（1）根据多项式乘多项式，同底数幂的除法、积的乘方化简即可；
（2）代入数据求解即可．
解：（1）A＝a2﹣ab+2ab﹣2b2﹣a2﹣4b2
＝ab﹣6b2；
（2）当a＝1，b＝﹣3时，
A＝1×（﹣3）﹣6×（﹣3）2
＝﹣3﹣6×9
＝﹣57．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，同底数幂的除法、积的乘方以及求代数式的值，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
19．【考点】全等三角形的判定；平行线的性质
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠DEC，∠AFB＝∠C，再证BF＝CE，利用ASA即可证明△ABF≌△DEC．
证明：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠DEC，
∵AF∥DC，
∴∠AFB＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（ASA）．
【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
20．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质
【分析】作线段BC＝a，分别以B，C为圆心，2a为半径画弧，两弧交于点A，则△ABC就是求作的图形．
解：如图，
作线段BC＝a，分别以B，C为圆心，2a为半径画弧，两弧交于点A，
则△ABC就是求作的图形．
【点评】本题考查了作等腰三角形，解决问题的关键是熟练掌握符合条件的线段用圆规作法．
21．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据BD＝CF可证BC＝FD，根据SAS可证△ABC≌△EFD；
（2）根据全等三角形对应角相等，可证∠ACB＝∠EDF，根据内错角相等两直线平行，可证结论成立．
证明：（1）∵BD＝CF，
∴BC+DC＝CF+DC，即BC＝FD，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SAS）；
（2）∵△ABC≌△EFD，
∴∠ACB＝∠EDF，
∴AC∥DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【考点】函数的图象；常量与变量
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程；
（3）根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间；
（4）根据（3）的结论可得爸爸驾车追上小明的时间，再根据追击问题关系式即可解答．
解：（1）自变量是时间，因变量是路程；
故答案为：时间，路程；
（2）小明家到太白湖公园的路程为30km；
故答案为：30km；
（3）小明出发2.5小时后爸爸驾车出发
小明爸爸驾车的平均速度为：；
故答案为：30km/h；
（4）小明从新华书店出来骑自行车的速度为：km/h，
爸爸驾车经过追上小明；
∴爸爸追上小明时离太白湖公园km．
【点评】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
23．【考点】几何概率
【分析】（1）用蓝色区域的圆心角度数除以360°即可；
（2）分别求出各区域的圆心角即可．
解：（1）∵转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为90°，
∴P（指针落在蓝色区域）；
（2）∵当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为，
∴，
，
，
如图，
．
【点评】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解题的关键．
24．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【分析】（1）由SAS证得△EAC≌△DAB，即可得出结论；
（2）由SAS证得△EAC≌△DAB，得出∠ECA＝∠DBA，由三角形外角的性质得出∠CFD＝∠BAD＝90°，即可得出结论．
证明：（1）∵∠EAC＝∠DAE+∠DAC＝90°+∠DAC，∠DAB＝∠CAB+∠DAC＝90°+∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
（2）在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴∠ECA＝∠DBA，
∵∠CDB为△CFD、△ADB的外角，
∴∠CDB＝∠ECA+∠CFD＝∠DBA+∠BAD，
∴∠CFD＝∠BAD＝90°，
∴CE⊥BD．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键．
25．【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【分析】（1）由角平分线的定义得到，进而求得∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝10°，∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝20°，从而根据三角形的内角和定理与外角的性质求出∠AEH＝90°﹣∠BAE＝70°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°，即可解答；
（2）设∠BAC＝∠B＝x，∠DAC＝2y，则，根据（1）的思路得到α＝90°﹣（x﹣y），β＝2x﹣2y，从而2α+β＝180°；
（3）设∠CAD＝2n°，则，从而∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝（m+n）°，进而推出α＝90°﹣（m+n）°，β＝180°﹣2（m+n）°，可得β＝2α．
解：（1）∵∠CAD＝20°，AE平分∠CAD，
∴，
∵∠BAC＝∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝30°﹣10°＝20°，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣20°＝70°，即α＝70°，
∵∠B＝30°，∠BAD＝10°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+10°＝40°，即β＝40°．
（2）设∠DAC＝2y，∠BAC＝∠B＝x，
∵AE平分∠DAC，
∴，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝x﹣y，
∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝x﹣2y，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（x﹣y），
即α＝90°﹣（x﹣y），
∵∠BAD＝x﹣2y，∠B＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x﹣2y，
即β＝2x﹣2y，
∴，
∴2α+β＝180°．
（3）设∠CAD＝2n°，
∵AE平分∠CAD，
∴，
∵∠BAC＝∠B＝m°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝（m+n）°，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（m+n）°，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（m+n）°，即α＝90°﹣（m+n）°，
∵∠B＝m°，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝（m+2n）°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣m°﹣（m+2n）°＝180°﹣2（m+n）°，
即β＝180°﹣2（m+n）°，
∴β＝2α．
【点评】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练运用相关知识是解题的关键
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